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1、高考冲刺 三角函数的概念图象和性质编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容
2、时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。从近几年高考试题
3、来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测今年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【知识升华】方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，
4、变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下
5、方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；（2）利用的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数，的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数
6、的简图，并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.（三）正弦型函数的图象变换方法如下：先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得的图象先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得的图象【典型例题】类型一、三角函数的概念【例1】在平面直角坐标系xOy中，将点A(1，)绕原点O顺时针旋转90到点B，那么点B的坐标为_；若直线OB的倾斜角为，则sin 2的值为_【思路点拨】根据三角函数的定义求出点B的坐标，进而求出角，可求sin 2.【答案】(，1)【解析】如图所示，点A的坐标为(，1)，AOx60，又AOB90，BOx30，过B作BCx轴于
7、C，OB2，OC，BC1，点B的坐标为(，1)，则直线OB的倾斜角为，即，sin 2sin sin .【总结升华】三角函数的定义与诱导公式的应用(1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件举一反三：【变式】在(0,2)内，使sin xcos x成立的x的取值范围为A. B. C. D. 答案C【解析】在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2)内，sin xcos x，则x.【例2】若角的终边经过点P(1,-2),则tan 2的值为.【思路点拨】
8、根据三角函数的定义求解。【解析】【总结升华】一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。举一反三：【变式1】【变式2】若角的终边落在直线上，求的值【解析】角的终边在第二象限 则；角的终边在第二象限 则.类型二、同角三角函数基本关系【例3】已知求；【解析】解法一：由得法二：也可以对进行分类讨论，得到的关系，再利用，解出.【例4】已知，且是方程的两根，求的值。解析：由题意举一反三：【变式】是第四象限角，则（ ）ABCD【解析】由，所以，有，是第四象限角，解得：【总结升华】由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：，同样要能想
9、到隐含条件：。类型三、诱导公式【例5】化简：【思路点拨】化简时注意观察题设中的角出现了，需讨论是奇数还是偶数。【解析】当时，当时综上，原式=-1【总结升华】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与cos对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中+的整数k来讲的，象限指+中，将看作锐角时，+所在象限，如将cos(+)写成cos（+），因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又+看作第四象限角，cos(+)为“+”，所以有cos(+)=sin。【例6】已知，求的值。【思路点拨】化简已知条件化简所求三
10、角函数式，用已知表示代入已知求解【解析】，【总结升华】已知角的三角函数值求角的一般步骤是：（1）由三角函数值的符号确定角所丰的象限；（2）据角所在的象限求出角的最小正角；（3）最后利用终边相同的角写出角的一般表达式。举一反三：【变式1】若 .【解析】由可知，；而。类型四、三角函数的图象和性质【例7】求函数的定义域。【思路点拨】找出使函数有意义的不等式组，并解答即可.【解析】 将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x-5,5，故下面的不等式的范围只取落入-5，5之内的值，即：因此函数的定义域为：。【总结升华】sinx中的自变量x的单位是“弧度”，xR，不是角度。求定义域时
11、，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.举一反三【变式】已知的定义域为，求的定义域.【答案】中，中，解得，的定义域为：.【例8】求函数的单调递减区间；【思路点拨】题目所给解析式中x的系数都为负，把x的系数变为正数，解相应不等式求单调区间。【解析】由得，由得又x-,-x,.函数 x-,的单调递减区间为-，。【总结升华】（1）准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础；（2）形如y=Asin(x+)(A0,0)的函数的单调区间，基本思路是把x+看作一个整体，由求得函数的增区间，由求得函
12、数的减区间。（3）形如y=Asin(-x+)(A0,0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y=-Asin(x-)，由得到函数的减区间，由得到函数的增区间。【例9】已知函数（1）用五点法作出它的图象；（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间；（3）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？【解析】（1）.列表描点绘图如下:02xy020-20 （2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为，频率为，初相为.单调增区间为 kZ ，单调减区间为kZ.（3）【总结升华】五点法作(, )的简图时，五点取法是设，由取0、来求相应的值及对应的值，再描点作图；由的图象变换出的图象一般
13、先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少；此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及的系数是相同的.举一反三：【变式】画出函数在区间上的图象.【解析】由知道：x0y1010故函数在区间上的图象：【例10】下图是函数（，）的图象则、的值是（）A， B，C， D，【解析】由图象可得：，由得，由 ，得 （）由，得满足时，或由此得到，注意到，即，因此，这样就排除了，【总结升华】因为函数是周期函数
14、，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、的值本题虽然给出了，的条件，但是仅靠(0，1 )、两点，不能完全确定、的值在确定的过程中，比较隐蔽的条件（）起了重要作用举一反三：【变式1】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A B C D【答案】C；把点代入选项即得。【变式2】写出下列函数图象的解析式（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。（2）将函数的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位，得到所求函数的图象。【答案】（1）；按图象变换的顺序，自变
15、量的改变量依次是：，倍。图象的解析式依次为： .（2）；按图象变换的顺序，自变量的改变量依次是：2倍，。图象的解析式依次为： 即.【例11】已知函数的定义域为，函数的最大值为1，最小值为-5，求a和b的值。【思路点拨】求出的范围a0时，利用最值求a、b a0，则，解得；若a0,则，解得。综上可知，或，【总结升华】解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的最值，再由方程的思想解决问题。【例12】求函数的值域【思路点拨】（1）因xR时，cos-1,1,可利用分离参数法求解；（2）利用cosx的有界性，把cosx用y表示出来解。【解析】方
16、法一：函数的定义域为R，y=1+,-1cosx1,当cosx=-1时，2-cosx有最大值3，此时;当cosx=1时，2-cosx有最小值1，此时,函数的值域为，2。方法二：由解出cosx得。-1cosx1,即，也即两边同时平方得，即（y-2）(3y-4)0,函数的值域为，2【总结升华】求三角函数的值域主要有三条途径：（1）将sinx或cosx用所求变量y来表示，如sinx=f(y),再由|sinx|1得到一个关于y 的不等式|f(y)|1，从而求得y的取值范围；（2）将y用sinx或cosx来表示，或配方或换元或利用函数的单调性或基本不等式来确定y的取值范围；（3）利用数形结合或不等式法求解
17、。在解答过程中，注意化归思想的应用以及应用过程中的等价转化。举一反三：【变式1】设，则（ ）ABCD【解析】，因为，所以，选D【总结升华】掌握正弦函数与余弦函数在0， 的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：0,1，也要掌握。【变式2】求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）.【答案】（1）当时，有最大值；当时，有最小值.值域为（2）,，即，解得，值域为.（3），值域为.类型五、函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用【例13】已知函数f(x)=sin(x+)-cos(x+)(00)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为。（1）
18、求f()的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间。【思路点拨】（1）化简f(x)由奇偶性和周期性求和求f()；（2）变换f(x)的图象得到g(x)的解析式求g(x)的单调减区间。【解析】（1）f(x)= sin(x+)-cos(x+)=2sin(x+)- cos(x+)=2sin(x+-).因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此，sin(-x+-)=sin(x+-),即-sinxcos(-)+cosxsin(-)=sinxcos(-)+cosx
19、sin(-),整理得sinxcos(-)=0,因为0.且xR,所以cos(-)=0,又因为0，故-=，所以f(x)=2sin(x+)-2cosx.由题意得，所以=2，故f(x)=2cos2x,因此f()=2cos=.（1） 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f(x-)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不为，得到f(-)的图象。所以g(x)= f(-)=2cos2(-)=2cos(),当2k2k+(kZ),即4 k+x4 k+(kZ)时，g(x)单调递减。因此g(x)的单调递减区间为4 k+，4 k+(kZ)。【总结升华】函数y=Asin(x+)的图象关于直线x=xk
20、（其中xk+=k+,kZ）成轴对称图形，也就是说过波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴。函数y=Asin(x+)的图象关于点（xj,0）(其中xj+=k,kZ)成中心对称图形，也就是说函数图象与x轴的交点（平衡位置点）是其对称中心。举一反三：【变式1】把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）ABCD【解析】y=，故选（C）。【例14】已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象？ 【思路点拨】根据倍角公式将函数解析式化为一般要转化为y=Asin(x+
21、)+k的形式求解。【解析】(1) = = = 最小正周期 单调递增区间 ， (2) 向左平移个单位；向下平移个单位 【总结升华】解析式与三角函数有关的函数若求函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要转化为y=Asin(x+)+k的形式。举一反三：【变式1高清视频三角函数的概念、图象和性质例4 ID: 368995】已知函数。（）求的最小正周期：（）求在区间上的最大值和最小值。【解析】（）因为所以的最小正周期.（）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值1【变式2】已知函数（）求的最小正周期和单调递增区间；（）求在区间上的最大值与最小值【解析】（）由已知可得 的最小正周期是 由， 得 所以函数的单调递增区间为 （）由（）因为，所以 ， 当时，即时，取得最大值