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1、 1 第六节第六节 三角函数图象与性质的综合问题三角函数图象与性质的综合问题 三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、零点、不等式等的交汇创新问题零点、不等式等的交汇创新问题 题型一题型一 三角函数图象与性质中的参数范围问题三角函数图象与性质中的参数范围问题 策策 略略 一一 针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象
2、和性质的问题是多针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数 yAsin(x)(0，A0)的图象的单调性、对称性、周期性等问题一般来说：的图象的单调性、对称性、周期性等问题一般来说： (1) 若函数若函数 yAsin(x)(0，A0)有两条对称轴有两条对称轴 xa，xb，则，则有有|ab|T2kT2(kZ) (2) 若函数若函数 yAsin(x)(0， A0)有两个对称中心有两个对称中心 M(a,0)， N(b,0)，则有则有|ab|T2kT2(kZ) (3) 若函数若函数 yAsin(x)(0，A0
3、)有一条对称轴有一条对称轴 xa，一个对称，一个对称中心中心 M(b,0)，则有，则有|ab|T4kT2(kZ) 策策 略略 二二 研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数用导数的正负比较容易控制，但对于函数 yAsin(x)(0，A0)含含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决式才能解决 典例典例 已知函数已知函数 f(x)sin(x) 0，|2， x4为为 f(x)的零点，的零
4、点， x4为为 yf(x)图象的对称轴，且图象的对称轴，且 f(x)在在 18，536上单调，则上单调，则 的最大值为的最大值为( ) A11 B9 C7 D5 解题观摩解题观摩 法一：排除法法一：排除法 由由 f 40 得，得，4k(kZ)，k4. 当当 5 时，时，k 只能取只能取1，4，f(x)sin 5x4，则，则 f 41，x4是函数图象的对称是函数图象的对称轴，符合题意；当轴，符合题意；当 x 18，536时，时，5x4 1936，3436，这个区间不含，这个区间不含2n12(nZ)中的中的 2 任何一个，函数任何一个，函数 f(x)在在 18，536上单调，符合题意上单调，符合题
5、意 当当 7 时，时，k 只能取只能取2，4，f(x)sin 7x4，则，则 f 41，x4是函数图象的对是函数图象的对称轴，符合题意；当称轴，符合题意；当 x 18，536时，时，7x4 536，2636，这个区间含有，这个区间含有2，则函数，则函数 f(x)在在 18，536上不可能单调，不符合题意上不可能单调，不符合题意 当当 9 时，时，k 只能取只能取2，4，f(x)sin 9x4，则，则 f 41，x4是函数图象的对称轴，是函数图象的对称轴，符合题意；当符合题意；当 x 18，536时，时，9x4 34，32，这个区间不含，这个区间不含2n12(nZ)中的任何一中的任何一个，函数个
6、，函数 f(x)在在 18，536上单调，符合题意上单调，符合题意 当当 11 时，时，k 只能取只能取3，4，f(x)sin 11x4，则，则 f 41，x4是函数图象的对是函数图象的对称轴，符合题意；当称轴，符合题意；当 x 18，536时，时，11x4 1336，4636，这个区间含有，这个区间含有2，则函数，则函数 f(x)在在 18，536上不可能单调，不符合题意上不可能单调，不符合题意 综上，综上， 的最大值为的最大值为 9.故选故选 B. 法二：特殊值法法二：特殊值法 从从 T22k1，2k1(kN)来思考，来思考， 需要最大值，只有需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从从选
7、项中的最大数开始，即从前往后一一验证： 当前往后一一验证： 当 11 时，时， T211， 从单调区间的一个端点， 从单调区间的一个端点 x4往前推算， 靠近往前推算， 靠近 18，536的单调区间为的单调区间为 44，344， 344，744，容易看出，容易看出183440，A0)的单调区间的特征，每个区间的单调区间的特征，每个区间长度为长度为T2，从靠近区间的特殊极值点，从靠近区间的特殊极值点4开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求所求区间包含在单调区间内区间包含在单调区间内”即可即可 针对训练针对训练 1若函数若函数 f(x)2sin 2x
8、6在区间在区间 0，x03和和 2x0，76上都是单调递增函数，则实数上都是单调递增函数，则实数 x0的的取值范围为取值范围为( ) A. 6，2 B 3，2 C. 6，3 D 4，38 解析：解析：选选 B 由由 2k22x62k2(kZ)得得 k3xk6(kZ)，在原点附近的，在原点附近的递增区间为递增区间为3，6， 23，76，因此，因此 x036，2x023，解得解得3x02. 2已知函数已知函数 f(x)Asin(2x)12 A0，00，02的图象在的图象在 y 轴上的截距为轴上的截距为 1， Asin 121， 即， 即 Asin 32.函数函数 f(x)Asin(2x)12的图象
9、关于直线的图象关于直线 x12对称，对称， 212k2(kZ)，又，又 00)的图象与的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为轴相邻两个交点的距离为2. (1)求函数求函数 f(x)的解析式；的解析式； (2)若将若将 f(x)的图象向左平移的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点的图象恰好经过点 3，0 ，求当求当 m 取得最小值时，取得最小值时，g(x)在在 6，712上的单调递增区间上的单调递增区间 解解 (1)由函数由函数 f(x)的图象与的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为轴相邻两个交点的距离为2，得函数，得函数 f(x)的最小正周期的最小
10、正周期 T2222，解得，解得 1，故函数，故函数 f(x)的解析式为的解析式为 f(x) 3sin 2x3. (2)将将 f(x)的图象向左平移的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数个单位长度得到函数 g(x) 3sin2(xm)3 3sin 2x2m3的图象，根据的图象，根据 g(x)的图象恰好经过点的图象恰好经过点 3，0 ， 可得可得 3sin 232m30，即，即 sin 2m30， 所以所以 2m3k(kZ)，mk26(kZ)， 因为因为 m0，所以当，所以当 k0 时，时，m 取得最小值，且最小值为取得最小值，且最小值为6.此时，此时，g(x) 3sin 2x23. 因为因
11、为 x 6，712，所以，所以 2x23 3，116. 当当 2x23 3，2，即，即 x 6，12时，时，g(x)单调递增；单调递增； 当当 2x23 32，116，即，即 x 512，712时，时，g(x)单调递增单调递增 综上，综上，g(x)在区间在区间 6，712上的单调递增区间是上的单调递增区间是 6，12和和 512，712. 归纳总结归纳总结 解决三角函数综合问题的一般步骤解决三角函数综合问题的一般步骤 第一步：将第一步：将 f(x)化为化为 asin xbcos x 的形式的形式 第二步：构造第二步：构造 f(x) a2b2( (aa2b2 sin xba2b2 cos x)
12、). 第三步：和角公式逆用，得第三步：和角公式逆用，得 f(x) a2b2sin(x)(其中其中 为辅助角为辅助角) 5 第四步：利用第四步：利用 f(x) a2b2sin(x)研究三角函数的图象与性质研究三角函数的图象与性质 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 针对训练针对训练 已知角已知角 的顶点在坐标原点，始边与的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点轴的正半轴重合，终边经过点 P(3， 3) (1)求求 sin 2tan 的值；的值； (2)若函数若函数 f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数，
13、求函数 g(x) 3f 22x 2f 2(x)在区间在区间 0，23上的值域上的值域 解：解：(1)角角 的终边经过点的终边经过点 P(3， 3)， sin 12，cos 32，tan 33. sin 2tan 2sin cos tan 323336. (2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x， g(x) 3cos 22x 2cos2x 3sin 2x1cos 2x2sin 2x61. 0 x23，62x676， 12sin 2x61， 22sin 2x611， 故函数故函数 g(x) 3f 22x 2f2(x)在区间在区间 0，23上的值域是上的值域是2,1 课时跟踪
14、检测课时跟踪检测 一、综合练一、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1已知函数已知函数 ysin 3x6在在0，t上至少取得上至少取得 2 次最大值，则正整数次最大值，则正整数 t 的最小值为的最小值为( ) A6 B7 C8 D9 解析：解析：选选 B 函数函数 ysin 3x6的周期的周期 T6，当，当 x0 时，时，y12，当，当 x1 时，时，y1，所以，所以函数函数 ysin 3x6在在0，t上至少取得上至少取得 2 次最大值，有次最大值，有 t1T，即，即 t7，所以正整数，所以正整数 t 的的最小值为最小值为 7.故选故选 B. 2已知函数已知函数 f(x)4cos(x)(0,00,
15、0)为奇函数，所以为奇函数，所以 cos 0(00)的图象向右平移的图象向右平移23个单位后与原图个单位后与原图象重合，则象重合，则 的最小值是的最小值是( ) A3 B32 C.43 D23 解析：解析：选选 A 将将 f(x)的图象向右平移的图象向右平移23个单位后所得到的图象对应的函数解析式为个单位后所得到的图象对应的函数解析式为 y2sin x23612sin x2361，由题意知，由题意知232k(kZ)，所以，所以 3k(kZ)，因为，因为 0，所以，所以 的最小值为的最小值为 3.故选故选 A. 4若函数若函数 f(x)sin x 3cos x 在区间在区间a，b上是减函数，且上
16、是减函数，且 f(a)2，f(b)2，则函数，则函数g(x)cos x 3sin x 在区间在区间a，b上上( ) A是增函数是增函数 B是减函数是减函数 C可以取得最大值可以取得最大值 2 D可以取得最小值可以取得最小值2 解析：解析：选选 D f(x)2sin x3，g(x)2cos x32sin x23， 则则 g(x)的图象的图象是由是由 f(x)的图象向左平移的图象向左平移2个单位得到的个单位得到的 f(x)在区间在区间a，b上是减函数，且上是减函数，且 f(a)2，f(b)2， 令令 x3t，则可取，则可取 t 2，32 ， 将将 y2sin t 的图象向左平移的图象向左平移2个单
17、位，即个单位，即14个周期，个周期， 可得可得 g(t)2sin t2的图象的图象 g(t)在在 t 2，32 时的最小值为时的最小值为2， 7 即即 g(t)可以取得最小值可以取得最小值2.故选故选 D. 5 直线 直线 ya 与函数与函数 f(x)tan x4(0)的图象的相邻两个交点的距离为的图象的相邻两个交点的距离为 2， 若， 若 f(x)在在(m，m)(m0)上是增函数，则上是增函数，则 m 的取值范围是的取值范围是( ) A. 0，4 B 0，2 C. 0，34 D 0，32 解析：解析：选选 B 直线直线 ya 与函数与函数 f(x)的图象的相邻两个交点的距离是一个周期，的图象
18、的相邻两个交点的距离是一个周期， 12，f(x)tan 12x4. 由由 k212x4k2(kZ)， 得得 2k32x0)的一个的一个最大值点和一个最最大值点和一个最小值点，那么小值点，那么 m 的取值范围是的取值范围是( ) A2，) B 2 153， C. 2 155， D 8 1515， 解析：解析： 选选 D 化简化简 f(x)2sin2 mx512 3cos(2mx3)得得 f(x)2sin2xm1， 所以， 函数， 所以， 函数 f(x)靠近圆心靠近圆心(0,1)的最大值点为的最大值点为 m4，3 ，最小值点为，最小值点为 m4，1 ， 所以只需所以只需 m42 31 2m2， m
19、42 11 2m2， 解得解得 m8 1515 m8 1515舍去舍去 .故选故选 D. 8设函数设函数 f(x)sin(2x4) x 0，98，若方程，若方程 f(x)a 恰好有三个根，分别为恰好有三个根，分别为 x1，x2，x3(x1x2x3)，则，则 x1x2x3的取值范围是的取值范围是( ) A. 98，54 B 54，118 C. 32，138 D 74，158 解析：解析：选选 B 画出函数画出函数 f(x)在在 x 0，98上的大致图象，如图所示，上的大致图象，如图所示，由图知，当由图知，当22a1 时，方程时，方程 f(x)a 恰好有三个根，恰好有三个根， 由由 2x42得得
20、x8. 结合题意得结合题意得 x1x24，x398， 则则54x1x2x30,0)的图象经过点的图象经过点 12，0 和和 12，32， 当， 当 x 0，2 9 时，方程时，方程 f(x)2a 3有两个不等的实根，则实数有两个不等的实根，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：点点 12，0 在函数图象上，在函数图象上，Asin 2 120.0，6.又点又点 12，32在函数图象上，在函数图象上， Asin 212632， A 3， f(x) 3sin(2x6).x 0，2，2x6 6，76，当方程，当方程 f(x)2a 3有两个不等的实根时，函数有两个不等的实根时，函数 yf(
21、x)的图象与直线的图象与直线y2a 3有两个不同的交点，由图象可知有两个不同的交点，由图象可知322a 3 3，3 34a 3. 答案：答案： 3 34， 3 10 已知定义在 已知定义在 R 上的函数上的函数 f(x)， 恒有， 恒有 f x212f x2， 当， 当 x0， )时，时， f(x) sin x若若x(，a，恒有，恒有 f(x)4 3，则，则 a 的取值集合为的取值集合为_ 解析：解析：由由 f x212f x2得得 f(x)12f(x)， 则函数则函数 f(x) 12sin x ，x0，sin x，0 x，2sin x ，x2，4sin x，2x3，8sin x3 ，3x4，
22、 易知当易知当 x(，0)时时 f(x)12. 由由 x0，)上的图象可先作出上的图象可先作出0,4)上的图象，如图上的图象，如图 当当 3x4 时，时， 由由 f(x)4 3得得 8sin(x3)4 3， sin(x3)32， 解得解得 x1103，x2113. 10 要使要使x(，a，恒有，恒有 f(x)4 3， 则根据图象知则根据图象知 a 的取值范围为的取值范围为 a a103. 答案：答案： a a0 时，得时，得 2aab8，b5，a3 23，b5； 当当 a0，0，|2图象的一部分，对图象的一部分，对任意的任意的 x1，x2a，b，且，且 x1x2，若，若 f(x1)f(x2)，
23、有，有 f(x1x2)1，则，则 的值为的值为( ) A.12 B6 C.4 D3 解析：解析： 选选 B 由题图可得由题图可得 A2， x1， x2关于函数关于函数 f(x)图象的对称轴对称， 即直线图象的对称轴对称， 即直线 xx1x22是是f(x)图象的一条对称轴， 且图象的一条对称轴， 且 f x1x222， 可得， 可得 2sinx1x222， 可得， 可得 x1x2222k(kZ)， f(x1x2)1，2sin(x1x2)1， 可得可得 (x1x2)62k 或或562k(kZ)， 令令 k0，由，由得得 6或或56， |0)，周期是，周期是2. (1)求求 f(x)的解析式以及的解
24、析式以及 x 0，3时时 f(x)的值域；的值域； (2)将将 f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再向左平移倍，再向左平移6个单位，最后将整个函数个单位，最后将整个函数图象向上平移图象向上平移32个单位后得到函数个单位后得到函数 g(x)的图象， 若的图象， 若|g(x)m|2 成立的充分条件是成立的充分条件是6x 23，求求 m 的取值范围的取值范围 解：解：(1)f(x) 3sin xcos xcos2x 32sin 2x12(1cos 2x) sin 2x612. 由由 T222，解得解得 2. 函数函数 f(x)sin 4x612. 0
25、x3，64x676， 14 结合函数结合函数 ysin 4x612的图象及性质得，的图象及性质得， 12sin 4x61，1sin 4x61212， 即函数即函数 f(x)在在 0，3上的值域是上的值域是 1，12. (2)依题意依题意 g(x)sin 2x61. |g(x)m|2，g(x)2mg(x)2. 当当 x 6，23 时，时，g(x)2mg(x)2 恒成立，恒成立， 只需只需g(x)2maxmg(x)2min， 转化为求转化为求 g(x)的最大值与最小值的最大值与最小值 当当 x 6，23 时，时，2x6 2，32 ， g(x)max112，g(x)min110， 从而从而g(x)2max0，g(x)2min2， 0m2，m 的取值范围是的取值范围是(0,2)