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1、第3讲 功3.1 功知识点睛1“守恒律”思想的渊源我们先举一个生活中的例子：正常的水表连在自来水管道中，总表的读数应该等于各分表读数的总和。这就是守恒的观点。若发现水表不相等了，你会怎么想？是守恒的关系不成立了吗，还是会去思考可能表坏了或者水管破裂了。守恒的思考指导我们的生活实践，在物理学发展中也起着很重要的作用。追寻“不变性”是科学思想的萌芽，白云苍狗，沧海桑田，看起来世界是变幻无常的。但细心的观察者们早已察觉到，在这变化着的一切背后，存在着一种不变的秩序，也就是说，在他们看来，那些表面的变化，不过是自然界中不变的成分，遵照一定的规律重新安排的结果。科学就是要在那万般变化的自然界里找出“不变
2、性”,这就是各种各样的“守恒律”。诺贝尔物理学奖获得者费曼曾说：“有一个事实，如果你愿意，也可以说是一条定律，支配着至今所知的一切自然现象。这条定律称做能量守恒定律。它指出某一个量，我们把它称之为能量，在自然界经历的多种多样的变化中它不变化。那是一个最抽象的概念”。然而，正是这个最抽象的概念，却是物理学中最重要，意义也最深远的概念之一。理查德费曼Richard Feynman（1918年5月11日1988年2月15日）美国著名的物理学家。1965年诺贝尔物理奖得主。提出了费曼图、费曼规则和重正化的计算方法，是研究量子电动力学和粒子物理学不可缺少的工具。所有的自然现象与人类任何活动都离不开能量：
3、开动的汽车具有动能；高处的物体具有势能；交通工具燃烧汽油释放的化学能；生活中离不开的电能；绿色植物生长所需的太阳能；核电站利用原子核裂变释放的核能可见“能量”是物理学中极为普遍的物理量，具有各种各样的形式，且各种形式的能量可以相互的转换。能量这一概念的重要价值，还在于它转换时的守恒性。物理学史中不止一次的发生这样的情况；在某类新现象里似乎有一部分能量消失或者凭空产生了，后来物理学家们总得以确认一种新的形式的能量，使能量守恒律得以保持。费曼在他著名的物理学讲义中编造了一个故事，其大意如下： 一个孩子有28块积木，这些积木完全一样，而且不可破坏。每天早晨妈妈将这孩子和所有的积木关在一间房子里，晚上
4、她回来后，总仔细地把积木数一遍，多少天来一直是28块。有一天积木只剩下了27块，她在室内细心地寻找，发现有一块积木在小地毯下面。又有一天积木只剩下了26块，在室内她找遍了也没发现丢的两块积木，忽然她发现窗子开着，便探头向外张望，发现两块积木在外边。再有一天，她惊愕地发现积木变成30块。后来她才知道，是一个小朋友带着同样的积木来玩过，多出来的积木是这孩子留下的。她处置了多余的积木后，把窗子关起来，再不让别的孩子进来。于是在相当一段时间里情况正常，直到有一天她只能找到25块积木为止。这孩子有个玩具箱，妈妈想打开这箱子找积木，孩子尖叫起来，不让她开箱。妈妈只好称一下这箱子的质量。她以前知道，每块积木
5、质量是100g，空箱子的质量是500g，她计算一下得到：。于是她确信，缺失的积木被锁在玩具箱里。这箱子没再打开过，可是积木又少了许多。仔细调查发现，澡盆里脏水的水位升高了。显然，孩子把一些积木丢进了澡盆。但是水太浑浊，妈妈无法看清，然后她知道，澡盆里的水原来有深，每块积木使水位升高，于是她的计算公式里又添了一项：。随着事态一步步地复杂化，越来越多的积木跑到她无法看到的地方。可是她找到一系列附加项，需要添加到她的计算公式里，以代表那些看不到的积木块数。这个复杂的公式保持着那个数目不变，即遵循着守恒。费曼的上述比喻与前面的能量的探讨有什么联系？聪明的同学们肯定已经早已领会了。牛顿力学中主要给出的是
6、“力与运动”的直接联系，并没有阐述能量。但是在牛顿之前，我们就能在力学领域发现它的萌芽。在伽利略的实验中就已经显现出来了，右图的油画中描绘了伽利略做理想斜面实验的现场：实验中的斜面光滑，小球一旦滚下斜面，它就要继续滚上另一个斜面。重要的是，伽利略发现了具有启发性的事实：无论斜面比斜面更陡些还是更缓些，小球总会在斜面上的某点速度变为0，这点距斜面低端的竖直高度与它出发时的高度相同。小球好像“记得”自己起始的高度或与高度相关的某个量。后来物理学家把这一事实说成“某个量是守恒的”，并且把这个量叫做能量，它是一个抽象的概念。当小球从桌面被提到起始点高度时，小球具有了一种形式的能量，我们称它为势能。相互
7、作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能。释放小球之后，小球向下运动，获得速度。当它到达斜面底端时，由于高度而具有的势能已经消失了，但是势能并为丢失，而是转化成另一种形式的能量，我们称它为动能。物体由于运动而具有的能量叫做动能。在这一章中，我们只限于研究物体与物体系的动能与势能，他们总称为机械能。能量如何定量地量度?如何定量的描述能量的转化？这需要我们建立起功的概念。2 功的基本概念功的概念起源于早期工业发展的需要。人类对于能量及其转化的认识与功的概念紧密相连。当时的工程师们为了比较蒸汽机的效益，逐渐同意用机器燃烧同样多的燃料时，机械举起的重量与举起的高度的乘积来度量机器的效能。19世纪中叶，
8、法国科学家科里奥利明确的把作用力和受力点沿力的方向的位移乘积叫做“力的功”甲 球在脚的作用下动能增加了乙 握力器在手的压力作用下弹性势能增加了丙 杠铃在人的作用下重力势能增加了丁 人推石头但是却没有推动，人对石头不做功通过以上的例子我们认识到，力和物体在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素。在丁图中就由于没有在力的方向上发生位移，所以人并没有对物体做功。此外，我们力对物体做功会导致物体能量的变化，或者我们说如果物体在力的作用下能量发生变化，这个力一定对物体做了功。如图所示若物体受到恒力的作用，力的方向与物体的运动方向一致。物体受力为,水平移动位移为，则力所做的功为：。但是，若力的方
9、向与物体的运动方向存在一定角度时，力所做功又怎么计算呢？将力分解为两个分力：跟位移方向一致的分力与跟位移方向垂直的分力。根据做功的要素，分力没有做功，只有分力做功。，可得。功的定义：物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，我们就说，力对物体做了功，大小等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦值三者的乘积。公式：（其中是恒力，是受力点对地的位移），单位是，。功是标量，只有大小没有方向。想一想：当用手推墙时，墙没有动，人对墙做功了吗？公式的两种理解：位移在力方向上的投影；力在位移方向上的投影。3 功的正负物体只受一个力的作用，如果使物体的能量增多了，我们就说这个力对物体做了正功；如果使
10、物体的能量减少了，我们就说这个力对物体做了负功。力对物体做正功还是做负功，从公式的角度来说，由和方向间的夹角大小来决定。 当时，。这说明力不做功； 当时，。这说明力做正功，充当动力 当时，。这说明力做负功，充当阻力。某力对物体作负功，往往也说成“物体克服某力做功（取绝对值）”。例如：物体克服摩擦力做了的功，表示摩擦力对物体做了的负功。所做的功和能量的改变这两者之间的关系是由19世纪物理学家焦耳建立的。如果力对系统做的功是正的，系统的能量便增加；如果力对系统做负功，那么系统的能量减小。总之，功的力学意义就是能量转化的量度。对做功正负的理解：意义动力学角度能量角度正功力对物体做正功，这个力对物体来
11、说是动力力对物体做正功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量负功力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用物体克服外力做功，向外输出能量（以消耗自身的能量为代价），即为负功表示物体失去了能量说明不能把负功的负号理解为力与位移方向相反，更不能错误地认为功是矢量，负功的方向与位移方向相反。某力对物体做了的功，我们也可以说该物体克服这个力做了的功。试分析的功与的功谁大？4总功 定义：当一个物体在几个力的作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，等于各个力分别对物体所做功的代数和，它可以看成是这几个力的合力对物体所做的功。 公式： 或 。想一想两个互相垂直的力和作用在同一物体上，使物体
12、运动，如图所示物体通过一段位移，通过此例，请同学们证明合力所做的功等于各个分力所做功的代数和。判断以下情景中力的做功情况： 一个小球沿光滑曲面由点滑到点，此过程中小球所受轨道支持力是否做功？请说明原因。 运动员从下蹲状态向上起跳，经过一段时间，在跳起但未离开地面的过程中，地面对运动员做功情况？ 用板擦擦黑板时，摩擦力对黑板做的功，摩擦力对板擦做的功。例题精讲题型：做功的概念与判断【例1】 在光滑水平面上的物块和在粗糙水平面上的同一物块分别被同一个力推，物块通过的位移也相同，则A推力对物块做的功一样多B在光滑水平面上推力做的功比较多C在粗糙水平面上推力做的功比较多D无法确定【答案】 A【例2】
13、光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，则轨道对小球 （填“做正功”、“做负功”或“不做功”）。【答案】 不做功【例3】 如图，重物放在粗糙的水平板上，当水平板绕端缓慢抬高，在重物没有滑动之前，下列说法中正确的是A受到的支持力不做功B受到的支持力做正功C受到的摩擦力做负功D受到的摩擦力做正功【答案】 B题型：做功的大小计算【例4】 如图所示，分别用、将质量为的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，物体到达斜面顶端时，力、的功的关系为 A B C D【答案】 A【例5】 如图所示，在水平推力作用下物体与斜面保持
14、相对静止，且沿水平方向向左匀速移动了。那么，在此过程中对的支持力做了多少功？（设的质量为，的倾角为）【答案】【例6】 如图所示，质量为的物体置于粗糙的水平面上，物体与平面间的滑动摩擦因数为。物体在大小为，与水平方向成夹角为的恒力作用下由静止开始运动，取。求： 力对物体做的功； 物体克服摩擦力做的功。【答案】 题型：力对物体的总功【例7】 如图所示，一个质量的物体，受到与水平方向成角斜向上方的拉力，在水平地面上移动的距离，地面对物体的滑动摩擦力（已知）求： 此过程中对物体所做的功 此过程中外力对物体所做的总功【答案】 【例8】 如图所示，站在汽车上的人用手推车的力为，脚对车向后的静摩擦力为，对下
15、列说法正确的是A当车匀速运动时，和所做的总功为零B当车加速运动时，和的总功为负功C当车加速运动时，和的总功为正功D不管车做何种运动，和的总功都为零【答案】 AB3.2 常见力做功1重力做功我们知道物体由于被举高而具有重力势能。学习了做功之后，我们知道做功是能量转换的量度。同学们可以思考，当一个物体被举高，或者下落的时候，物体的重力分别作了负功和正功，显然重力势能的变化与重力做功有关。我们要系统的认识重力势能这种能量，必须先研究一下重力的做功特点。 一个质量为的物体，从高为的位置，竖直向下运动到高度为的位置，这个过程中重力做的功为： 同一个物体从相同高度的点，沿着倾斜直线运动了的距离，下滑到了高
16、度的点，过程中重力做的功为： 如果物体沿任意的曲线路径从高度的点运动到高度的点，我们把整个路径分成许多很短的时间间隔，每一段路程都非常的短，所以可以把一小段曲线运动看成是直线运动进行处理，每一小段直线运动中重力做功为：。将所有分段累加起来就是整个曲线路径重力所做的功。通过上述推导我们可得：重力对它做的功只跟它的起点和终点的高度差有关，而跟物体运动的路径无关。2摩擦力做功一个物块沿着粗糙的斜面上滑，沿斜面上滑长度为，当滑到最高点时，摩擦力做功，若物块又从最高点滑到起点时，摩擦力做功，从而全程摩擦力做功为，全程虽然位移为，但全程摩擦力的方向改变了所以不能全程求，要分段求，摩擦力做功就不是。在这个过
17、程中物体的位移为零，但是做功却不为零，而与物体的运动总路程有关。滑动摩擦力做功：由于滑动摩擦力的方向始终与相对运动的方向相反，所以与物体的运动路径有关，也就是与物体的路程有关。可以做正功，也可以做负功或不做功。静摩擦力做功：可以做正功，也可以做负功或不做功。想一想说明恒力做功与路径无关，只与力和初末位置（或者位移）有关。滑动摩擦力和静摩擦力均可能做正功，负功，甚至不做功，请举出能够体现这些做功情况的例子。在重力做功中，下滑斜面和曲面是否光滑对计算“重力做的功”有影响吗？例题精讲题型：重力与恒力做功 【例9】 如图所示，一质量为的小球，用长为的轻绳悬挂在点，小球在水平恒力作用下，从静止开始由平衡
18、位置点移动到点，此时绳与竖直方向的偏角为，则力所做的功为A B C D 【答案】 C 【例10】 如图所示，小球从点在外力的作用下运到与竖直方向成角的点，绳长是，求重力做了多少功。【答案】题型：摩擦力做功 【例11】 如图所示，两个相同的质量为的物块，分别从斜面和水平面，从左端滑到右端，斜面长为，角度为，摩擦因数为，水平面长度为是斜面在水平面的投影，试比较两种情况摩擦力所做功的大小关系。 【答案】 相等【例12】 如图所示，物体从点滑到点，摩擦力做功为，若该物体从沿两斜面滑到，摩擦力做总功为，已知物体与各接触面的动摩擦因数均相同，则A BC D不能确定的大小关系【答案】 A【例13】 斜块固定
19、在地面上，其表面粗糙，摩擦因数为，斜面长度为，角度为，现有一个质量为的小块从斜块底端冲上斜面最高点后又回到底端，求全程摩擦力做的功。【答案】题型：相互作用力做功【例14】 一颗子弹射入一个可以自由移动的木块，设相互作用力大小为F，经过一段时间，子弹和木块的位置如图所示，则：子弹对木块做功；木块对子弹做功。【答案】 子弹对木块做功为；木块对子弹做功为。3.3 功率不同的物体做相同的功，所用的时间往往不同，这也就是说做功的快慢不一样。如图所示，挖掘机和人同时开始挖地，经过相同的时间之后，挖掘机做的功更多，那么我们就说挖掘机做功比人做功快。在物理学中，做功的快慢用功率表示。我们也就说挖掘机的功率比人
20、的功率大。1功率 物理意义：功率是反应物体做功快慢的物理量。 定义：一个力所做的功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，即（此公式不仅适用于恒力也适用于变力做功求功率），单位是，生活中的一些功率大小：一般人在通常情况下的连续功率是70W左右，训练有素的运动员、武警、公安、军人、保镖等的瞬时突发功率最高可达；小鸟飞翔的功率大约为；起重车的功率大约为；火车的功率大概在；3000箱位即3000ETU的集装箱货船主机至少要有以上的功率。2平均功率 定义：表示在一段时间内力做功的平均快慢程度。 公式：3瞬时功率我们会发现，这个计算式计算出来的本质是平均功率，但是我们知道生活中的实际物体的功率可能在时刻变化
21、，那么为了表示力在每时每刻的做功快慢，我们必须使用物体的瞬时功率。让我们联想一下平均速度和瞬时速度的联系，在一段非常短的时间内，物体的运动可以近似的看成匀速直线运动，那么瞬时速度与平均速度的大小相同，所以在趋近于无穷小时，就表示瞬时功率 定义：表示力在某一瞬间做功的快慢程度。 公式：（式中是瞬时速度，是力与速度的夹角的余弦值）例题精讲题型：功率的基本概念 【例15】 一个物体在水平恒力的作用下，从静止起沿水平面由点运动到点，则A当水平面光滑时，力对物体做功的平均功率较大B当水平面不光滑时，力对物体做功的平均功率较大C当水平面光滑时，力在点的瞬时功率大D当水平面不光滑时，力在点的瞬时功率大【答案】 AC题型：平均功率与瞬时功率的计算【例16】 从空中以的初速度沿着水平方向抛出一个重为的物体，不计空气阻力，求： 在抛出后内重力的功率； 在抛出后时重力的功率。（设时未落地）【答案】 150W，300W【例17】 如图所示，一个质量为的物体，沿倾角为的光滑固定斜面由静止下滑，当它在竖直方向下落了高度时，求重力的瞬时功率和整个过程中重力的平均功率。【答案】题型：功率的估算【例18】 人的心脏每跳一次大约输送的血液，正常人血压（可看做心脏送血的压强）的平均值为，心跳约每分钟70次，据此估计心脏工作的平均功率约为。（已知心脏对血液的做功，心脏输血的体积）【答案】