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1、【巩固练习】一、选择题1. 若平面，的法向量分别为（1，2，4），（，1，2），并且，则的值为（ ） A10 B10 C D2. 正方体中，直线与平面夹角的余弦值是（ ） A B C D3. 如图，是直三棱柱，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）AB CD4. 若向量与的夹角的余弦值为，则( )A B C或 D2或5. 在三棱锥中，点分别是的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值（ ）A B C D6. 在正四面体中，是棱的中点，则与面所成角满足（ ） A=30 B C=60 D7. 在三棱锥中，点分别是的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A B C D二、填空题8若向
2、量，那么 .9正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小是_.10. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为 .11. 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，则平面和平面的夹角余弦值是_. 三、解答题12. 如图，正方体的棱长为.（1）求直线和所成角的大小；（2）求直线和平面所成角的大小.13. 已知是长方体的棱的中点，,. 求平面和平面夹角的的正切值.14. 如图（1），在Rt中，90，3，6，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）(1) 求证：平面；(2) 若是的中点，求与平面所成角的大
3、小；(3) 线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由15. 如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求平面与平面的夹角的余弦值【答案与解析】1. 【答案】B 【解析】 若，则它们的法向量也互相垂直，（1，2，4）（，1，2）=0，解得=10，故选B.2.【答案】C 【解析】此类题通常找出其在相应平面内的射影，用定义法去解；也可用空间向量法.3.【答案】A 【解析】如图所示，以为原点建立的空间直角坐标系， 则 由中点公式可知， ， .4.【答案】C 【解析】由可得，即， 即或.5.【答案】D【解析】 6.【答案】B【解析】以BCD
4、的中心O为原点，OC、OA分别为x轴、z轴，平面BCD内垂直于OC的直线为y轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为1，则，所以，所以，平面BCD的一个法向量为n=（0，0，1），所以， 即.7.【答案】D 【解析】8.【答案】【解析】，所以向量，的夹角是.9.【答案】【解析】 以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2，0，0），则E（1，0，0），F（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2）， .10.【答案】 【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形AB
5、C， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， .11.【答案】 【解析】因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEAB. 又因为平面ABEF平面ABCD，AE平面ABEF，平面ABEF平面ABCD=AB，所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1，则B（0，1，0），D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ).因为FA=F
6、E， AEF = 45，所以AFE= 90.从而，.所以，设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）.， 由 得 取y=1，则x=1，z=3.从而.由AE平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则.12.【解析】（1）如图，以为坐标原点，直线、 分别轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则，.因为 ，所以直线和所成角的大小为.（2）连结，记，连结.因为，所以平面，从而是直线与平面所成的角. 易知，从而，因为 ，所以直线与平面的夹角是. 13.【解析】如图，建立坐标系，则,设平面DBE的法向量为，则，即，化简得令，则，平面的一个法向量为又因为平面的一个法向量为设平面和平面的夹角为，则，由于，所以平面和平面夹角的正切值为.14.【解析】15.【解析】所以，平面与平面的夹角的余弦值为.