《2022高三数学冲刺教案总复习：空间向量在立体几何中的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022高三数学冲刺教案总复习：空间向量在立体几何中的应用.doc（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、总复习：空间向量在立体几何中的应用编稿：辛文升 审稿：孙永钊 【考纲要求】1. 理解直线的方向向量与平面的法向量.2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.【知识网络】 【考点梳理】【高清课堂：空间向量在立体几何中的应用401056 知识要点】考点一：立体几何中垂直和平行命题对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明考点二：立体几何中有
2、关角的求解利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。考点三：立体几何中有关距离的计算设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。考点四：利用平面法向量求角设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。（注意：线线角的范围00,900）线面角的求法：设n是平面的法向量，
3、是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）考点五：利用法向量求空间距离 点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中， 是平面的法向量。【典型例题】类型一：利用空间向量证明有关平行或垂直例1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点（1）求证：ADD1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED平面A1FD1【思路点拨】涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐
4、标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法【解析】建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) ，D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0) (1)证明： =01+21+0(-2)=0, ADD1F（2）解：=（2，0，1）， =（1，0，-2），| ，|设AE与D1F的夹角为，则cos=所以，直线AE与D1F所成的角为90.（3）证明：由（1）知D1FAD，由（2）知D1FAE，又ADAE=A，D1F平面AED，D1F平面A1FD1M平面AED平面A
5、1FD1 。【总结升华】用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为0。举一反三：【变式1】如图，在棱长为2的正方体中，分别为、的中点，分别为与的中点指出直线与平面的位置关系【解析】以AB、AA1、AD所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系如图所示，则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2),从而E(1,0,2),F(0,1,2),G(2,1,0),H(1,1,2),，即,又,.类型二：利用空间向量求异面直线所成的角例2在正四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求异面直线AF、CE所成角的余弦值
6、.【思路点拨】求异面直线所成的角，可通过过某一点作异面直线的平行线，转化为求相交直线所成的角.这里因为E为AD的中点，故可取FD的中点G，由三角形的中位线定理知EG/AF，从而求AF、CE所成的角.【解析】如图，连DF，取DF的中点G，连GE、GC，E为AD的中点，EG/AF， GEC即为AF、CE所成的角.设正四面体的棱长为a, 则CE=AF=DF=a, EG=FG=a,在RtGFC中,CG=a.在ECG中，由余弦定理可得：cosGEC=,异面直线AF、CE所成的角的余弦值.【总结升华】作异面直线所成的角常用的方法平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位
7、线；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.一般来说，平移法是最常用的，应作为求两异面直线所成角的首选方法；向量法：用夹角公式.举一反三：【变式1】如图，正四棱柱中，则异面直线所成角的余弦值为（ ）A B C D【解析】D；设，则 ，以为坐标原点建立直角坐标系如图所示，则, 所以异面直线所成角的余弦值为。类型三：直线与平面所成的角例3、正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a, 求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值；【思路点拨】先作出PQ在面ABCD内的射影，由于面BFGC面ABCD，作QMBC于M，则MP就是QP在
8、面ABCD内的射影，QPM就是要求的角.【解析】作QMBC于M，连MP，则QPM就是直线PQ与平面ABCD所成的角易得：QM=， MP=（1-tanQPM=【总结升华】求直线和平面所成的角，关键是作出斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角. 举一反三：【变式1】如图，三棱锥P-ABC中，ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA面ABC(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；【解析】(1)以A为坐标原点，分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.在直角ABC中,AB=，AC=2，BC=1A
9、(0,0,0)，B(0,0)，C(1,0)，P(0,0,1).(0,0)，(1,),cos=直线AB与直线PC所成的角余弦为.(2)取平面ABC的一个法向量=(0，0，1)，设PC和面ABC所成的角为，则sin=|cos|=.PC和面ABC所成的角的正弦值为类型四：有关二面角问题例4. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCBB11，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的正切值【解析】如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)设平面DBE的方程为：（过原点D=0）则平面DBE的一个法向量为又因为平面BCD的一个法向量为二面角EBDC的余弦值为：二面
10、角EBDC的正切值为举一反三：【变式1】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面底面（1）与是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角的正切值；（3）求证：平面平面【解析】取的中点，由侧面底面，是等边三角形，得底面以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则在直角梯形中，在等边三角形中，（1）与相互垂直.证明如下：（2）连结，设与相交于点；连结由得又为在平面内的射影，为二面角的平面角在中，在中，二面角正切值为（3）取的中点，连结，则的坐标为又，平面,平面平面类型五：利用空间向量求空间距离例5.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，,求点E
11、到平面ACD的距离。【解析】以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则设平面ACD的法向量为则，令得是平面ACD的一个法向量。又点E到平面ACD的距离【总结升华】求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|cos，。举一反三：【变式1】在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离【解析】如下图，因为ACD=90，所以 =0， 同理，=0因为AB与CD成60角，所以，=60或120因为=
12、，所以所以=2或，即B、D间的距离为2或。类型六：空间向量在立体几何中的综合应用例6. 如图，在三棱锥中，ACBP（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求点到平面的距离解析：（）取中点，连结ACBDP，平面平面，ACBEP（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的正弦值为（）由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中， 点到平面的距离为举一反三：【变式1】如图，在直四棱柱中，已知，BCDAEG（）设是的中点，求证：平面；（）求二面角的余弦值【解析】（）连结，则四边形为正方形，且，四边形为平行四边形又平面，平面，平面（）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，BCDAEzyxFM不妨设，则，设为平面的一个法向量由，得 取，则又，设为平面的一个法向量，由，得取，则，设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，即所求二面角的余弦为