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1、空间向量在立体几何中的应用1. (选修21P97习题14改编)若向量a(1，2)，b(2，1，2)且a与b的夹角的余弦值为，则_答案：2或2. (选修21P89练习3)已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且 a, b, c，用a，b，c表示向量 _答案：(bca)3. (选修21P101练习2改编)已知l，且l的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，则m_.答案：84. (选修21P86练习3改编)已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a、b、c三个向量共面，则实数等于_答案：5. (选修21P110例4改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E
2、为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_答案：1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量(2) 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n.此时把向量n叫做平面的法向量2. 线面关系的判定直线l1的方向向量为e1(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为e2(a2，b2，c2)，平面的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面的法向量为n2(x2，y2，z2)(1) 如果l1l2，那么e1e2e2e1a2a1，b2b1，c2c1(2) 如果l1l2，那么e1e2e1e20a1a2
3、b1b2c1c20(3) 若l1，则e1n1e1n10a1x1b1y1c1z10(4) 若l1，则e1n1e1kn1a1kx1，b1ky1，c1kz1(5) 若，则n1n2n1kn2x1kx2，y1ky2，z1kz2(6) 若，则n1n2n1n20x1x2y1y2z1z203. 利用空间向量求空间角(1) 两条异面直线所成的角范围：两条异面直线所成的角的取值范围是.向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为，则有cos|cos|.(2) 直线与平面所成的角范围：直线和平面所成的角的取值范围是.向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有
4、sin|cos|或cossin.(3) 二面角二面角的取值范围是0，二面角的向量求法：() 若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图)() 设n1、n2分别是二面角l的两个面、的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)题型1空间向量的基本运算例1如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则_.答案：abc已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)设a，b.(1) 求a和b的夹角；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值题
5、型2空间中的平行与垂直例2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1) 试证：A1、G、C三点共线；(2) 试证：A1C平面BC1D；题型3空间的角的计算例3(2013苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO4，底面半径OB2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EFDE.(1) 求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2) 求二面角OOFE的正弦值(2013江苏卷)如图所示，在直三棱柱A1B1C1
6、ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1) 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值1. 设A1、A2、A3、A4、A5是空间中给定的5个不同的点，则使0成立的点M的个数为_答案：1 个2. (2013连云港模拟)若平面的一个法向量为n(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a(2，3，3)，则l与所成角的正弦值为_答案：3. (2013新课标全国卷)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AA1ACCBAB.(1) 证明：BC1平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值4. (20
7、13重庆)如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.(1) 求PA的长；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值5. (2013连云港调研)在三棱锥SABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45角(1) 若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CDAB；(2) 求二面角S-BC-A的余弦值大小1. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点(1) 求二面角D1-AE-C的大小；(2) 求证：直线BF平面AD1E.2. (2
8、013苏州调研)三棱柱ABCA1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB2，AC4，A1A3.D是BC的中点(1) 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值3. (2013南通二模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC，且ABACA1B2.(1) 求棱AA1与BC所成的角的大小；(2) 在棱B1C1上确定一点P，使二面角PABA1的平面角的余弦值为.4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD中，已知A45，C90，ADC105，ABBD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点(1) 求证： DC平面ABC； (2) 求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3) 求二面角BEFA的余弦值