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1、第8讲 机械能守恒 难点突破基础知识梳理 重点知识回顾1重力势能 定义式：，其中是物体相对零势能面的高度。重力势能是标量、状态量。 重力势能是相对量，大小与零势能面的选取有关，要确定重力势能，必须事先选定零势能面。 重力势能是物体与地球所组成的系统共有的，而不是物体单独具有的，通常说物体具有的重力势能，只是一种简化的说法。 重力做功与重力势能的关系 重力对物体做正功，物体的重力势能减少；重力对物体做负功（物体克服重力做功），物体的重力势能增加。 重力对物体所做的功等于物体重力势能增量的负值，即。2弹性势能 弹簧弹性势能的表达式：（了解即可，不要求掌握），其中为弹簧的劲度系数，为形变量。对于同一
2、个弹簧，压缩和伸长相同形变量时弹性势能是一样的。 弹性势能具有相对性，其大小与零势能面的选取有关，通常规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。 弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能也是系统共有的。 弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减少；弹簧的弹力做负功时（克服弹力做功），弹簧的弹性势能增加。3机械能守恒定律 内容：在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 机械能守恒的条件：只有重力或系统内弹簧弹力做功。具体表现为以下三种情况： 只受重力或弹簧弹力； 还受其它力，但其它力不做功；其它力做功，
3、但做功的代数和为零。 机械能守恒的判断方法 根据做功条件分析 根据能量转化分析：如果只有系统内物体间动能、重力势能、弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，则系统的机械能守恒。 有时可以直接从机械能的各种形式能量的增减情况判断。例如：动能与势能均增加或减少，则机械能不守恒；动能发生变化而势能不变，或势能发生变化而动能不变，则机械能不守恒。 对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞后粘合在一起的问题，除非题目特别说明，否则机械能一定不守恒。 机械能守恒的表达式 ，即初态的机械能等于末态的机械能 ，即动能的增加量等于势能的减少量基础训练*教师版说明：由于寒假学过机械能守恒的基本内容，本讲后面的
4、模块中主要处理的是相对比较复杂的系统（多物体）机械能守恒问题。因此，基础训练部分配的题相对较多，重点复习了机械能守恒条件的判断以及机械能守恒定律的简单应用，老师可以根据情况选用。*1 关于重力做功和重力势能的变化，下列叙述正确的是A做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，重力做负功，重力势能减少B做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，竖直方向的重力势能增加C做平抛运动的物体，重力势能在不断减少，但始终大于零D只要物体高度降低了，重力势能一定减少【答案】 D2 两个截面积都是的铁桶放在同一水平面上，桶内装水，水面的高度分别为和，且，如图所示，现将连接两桶的水管阀门打开，最后两桶水面高度相同，若水的密度是，
5、则A重力对水做的功为B重力势能减少了C重力既做正功，又做负功，其总功为零D重力势能减少，说明重力做负功【答案】 B*教师版说明：有关重力势能的计算不是本讲的重点内容，因此没有放在后面的模块中讲，下面补充两道稍微复杂一些的重力势能的计算问题，如果老师想讲一下这类问题，可以选用。【补充1】 如图所示，在半径为、质量分布均匀的铅球中挖取一球形空穴，空穴与原球面最高点相切，并通过铅球的球心，在未挖取空穴前铅球的质量为，求挖取空穴后的铅球相对水平地面的重力势能是多大？ 【答案】【补充2】 质量为的均匀链条长为，开始放在光滑的水平桌面上时，有的长度悬在桌边缘，如图所示，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条
6、刚好滑离桌面过程中重力势能变化了多少？【答案】*3 关于物体的弹性势能，下列说法中正确的是A任何发生形变的物体都具有弹性势能B拉伸时弹性势能一定大于压缩时的弹性势能C拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，弹性势能越大D弹簧变长时，它的弹性势能一定变大【答案】 C*教师版说明：第4题至第7题是关于机械能守恒条件的判断，老师可以作为一个小模块集中练习一下。*4 下列说法正确的是A物体做匀速运动，它的机械能一定守恒B物体所受合外力的功为零，它的机械能一定守恒C物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒D物体所受的合外力等于零，它的机械能一定守恒【答案】 C5 在下列几个实例中，机械能守恒的是A做平抛运
7、动的物体B在光滑水平面上被细线拴住做匀速圆周运动的小球C沿粗糙斜面下滑的物体，物体下滑过程中受到沿斜面向下的拉力，拉力大小等于滑动摩擦力的大小D以的加速度竖直向上做匀减速直线运动的物体E如图甲所示，在光滑水平面上压缩弹簧过程中的小球F如图乙所示，子弹打入木块并最终留在木块内的过程中，子弹和木块组成的系统G如图丙所示，轻弹簧下端挂一质量为的物体，另一端悬挂于点，现将物体拉到与悬点等高的位置并保持弹簧处于原长状态，放手后物体向下运动。在向下运动过程中的物体、弹簧组成的系统。 图甲 图乙 图丙【答案】 ABCG6 如图所示，斜面置于光滑水平地面上，光滑的斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程
8、中，下列说法正确的是 A物体的重力势能减少，动能增加 B斜面的机械能不变 C斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功 D物体和斜面组成的系统机械能守恒【答案】 AD7 如图所示，一轻弹簧左端固定在长木块的左端，右端与小物块连接，且与及与地面间光滑接触。开始时，和均静止，现同时对、施加等大反向的水平恒力和，从两物体开始运动到速度再次同时为零的过程中，对、和弹簧组成的系统（整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度），正确的说法是A由于、等大反向，故系统机械能守恒B由于、分别对、做正功，故系统动能不断增加C由于、分别对、做正功，故系统机械能不断增加D当弹簧弹力大小与、大小相等时，、的动能最大【答案】
9、CD*教师版说明：第8题到第13题是机械能守恒的基本应用，由于单个物体的机械能守恒问题很多情况下也可以用动能定理求解，而且寒假也讲过这些机械能守恒的基础内容，所以后面的模块中没有重复讲，如果老师认为有必要讲，可以利用这些题讲一下。*8 如图所示，、三个物体质量相同，竖直上抛，沿光滑斜面上滑，从固定的炮筒射出，斜面和炮筒的倾角相同，若三个物体初速度大小相等，初始都处于同一水平面上，斜面足够长，不考虑空气阻力，则：A物体比上升得高B物体、上升得一样高，物体上升得较低C物体、上升得一样高，物体上升得较低D三个物体上升得一样高【答案】 B9 一根长为的细绳。一端系一小球，另一端悬挂于点，将小球拉起使细
10、绳与竖直方向成角，在点正下方、三处先后钉一光滑小钉，使小球由静止摆下后分别被三个位置不同的钉子挡住。已知，则小球继续摆动的最大高度、（、与点的高度差）之间的关系A B C D 【答案】 D10 一物体从高处自由下落，当其动能等于重力势能时（以地面为零势能面），物体的速度为A B C D【答案】 A11 如图所示，把小球拉起使悬线呈水平状态后，无初速度地释放小球。小球运动到最低点时，悬线碰到钉子，是整个线长的。则下列说法中，正确的是A碰到钉子后，悬线对小球的拉力是碰到钉子前的3倍B碰到钉子后，小球的速度是碰到钉子前的倍C碰到钉子前后的瞬间，小球的机械能保持不变D碰到钉子以后，小球将能越过最高点【
11、答案】 CD*教师版说明：下面再补充一道与圆周运动结合的问题，此题看上去是两个物体，实际是对单个物体应用机械能守恒，老师可以选用。【补充3】 如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球和，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为的球置于地面上，质量为的球从水平位置静止释放。当球对地面压力刚好为零时，球摆过的角度为，下列结论正确的是ABC球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小D球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大【答案】 AC*12 如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量的小球。现将小球拉到A点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被
12、拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点。地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长，B点离地高度，A、B两点的高度差，重力加速度g取，不计空气影响，求地面上DC两点间的距离s；【答案】13 在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为（单位：），式中。将一光滑小环套在该金属杆上，并从处以的初速度沿杆向下运动，取重力加速度。则当小环运动到时的速度大小为多少？该小环在轴方向最远能运动到哪里？【答案】 ， 系统机械能守恒知识点睛对于涉及两个或两个以上的物体组成的连接体问题，常把这几个物体看成一个系统。如果只有系统内重力或弹簧弹力做功，则系统机械能守恒。但对于一个物体而言，机械能不一定
13、守恒，系统内一部分物体增加的机械能等于另一部分减少的机械能。因此，机械能守恒的表达式，除了前面提到的两种：；，对于连接体问题，还可以写成：（物体减少的机械能等于物体增加的机械能）。应用机械能守恒定律分析解决实际问题的一般步骤： 合理选取研究对象 明确研究过程，判断是否符合机械能守恒定律 选定势能参考平面，确定始末状态的机械能（如果利用或的形式，则只需明确对应的能量变化，不需要零势能面） 根据机械能守恒定律列出方程求解例题精讲*例题说明：例1例4是绳子连接的连接体，例1是比较基础的问题；例2需要分过程研究，例3与动能定理结合，而且要注意两物体的下落高度和上升高度不同，例4涉及绳末端速度关联问题；
14、例5例7本质上是杆连接的问题，涉及绕同轴转动的物体角速度相同；例8、例9涉及弹簧的弹性势能，其中例9涉及弹性势能的表达式，老师可以选讲；例10是一道连续体的问题，但难度不大。挑战极限部分的例11、例12有一定难度，涉及多个物体多个过程，需要正确分析清楚运动状态。*【例1】 如图，质量分别为和的小球和，系在长为的细线两端，桌面水平光滑，高，球无初速度从桌边滑下，落在沙地上静止不动，则球离开桌边时的速度为：A BC D【答案】 A【例2】 在倾角的光滑斜面上，通过滑轮连结着质量的两个物体，如图所示。开始时用手托住，离地面高，位于斜面底端，撤去手后，求： 即将着地时，的动能和系统的总势能（以地面为零
15、势能）各为多少？ 设着地后不反弹，求物体势能的最大值和离开斜面底端的最远距离是多少？（）【答案】 ， ，【例3】 如图所示是一个横截面为半圆、半径为的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系住物体、（、可以看成质点），且的质量为，的质量为，在图示位置由静止开始释放物体，当物体到达半圆顶点过程中，求绳对物体所做的功。【答案】【例4】 如图所示，在一个半径为的半圆形光滑固定轨道边缘，装着一个定滑轮，两边用细绳系着两个质量分别为、的物体（），轻轻释放后，从轨道边缘沿圆弧滑至最低点时的速度多大？（假设绳子足够长，且能滑到最低点）【答案】*教师版说明：下面再补充一道涉及速度关联的绳连接体的问题，老师可以选
16、用【补充4】 如图所示，重物、质量相等，、用细绳绕过轻小定滑轮相连接，开始时、静止，滑轮间细绳长。现将物体轻轻挂在绳的中点，求下落的最大距离。【答案】*【例5】 如图所示，一根轻质细杆的两端分别固定着、两只质量均为的小球，点是一光滑水平轴，已知，使细杆从水平位置由静止开始转动，当球转到点正下方时，它对细杆的拉力大小是多大？【答案】【例6】 如图所示，在一根长为的轻杆上的点和末端点各固定一个质量为的小球，杆可以在竖直面内绕固定点转动。现将杆拉到水平位置后从静止释放，求 末端点摆到最低点时速度的大小； 杆对做了多少功（，杆的质量与摩擦均不计）【答案】 ，【例7】 如图所示，半径为，质量不计的圆盘盘
17、面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴，在盘的右边缘固定有一个质量为的小球，在点正下方离点处固定一个质量也为的小球，放开盘让其自由转动。问： 当转动到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少? 球转到最低点时的线速度是多少? 若在转动过程中半径向左偏离竖直方向的最大角度为，求的值.【答案】 *教师版说明：下面再补充一道类似的问题，本题需要用到一些三角函数的知识，老师可以选用【补充5】 一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为和的小球和。支架的两直角边长度分别为和，支架可绕固定轴在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时边处于水平位置，由静止释放，则A球的最大速度为B球速度最大时，两小球
18、的总重力势能最小C球速度最大时，两直角边与竖直方向夹角为D、两球最大速度之比为【答案】 BCD*【例8】 如图所示是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，为半径为、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量的小钢珠。假设某次发射的钢珠沿轨道内侧恰好能经过的上端点水平飞出，取，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为A B C D【答案】 B【例9】 一个质量的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖直的圆环上的点，弹簧的上端固定于环的最高点，环的半径，弹簧的原长，劲度系数为，如图所示。若小球从图中所示位置点由静
19、止开始滑到最低点，求小球到点时的速度的大小。()（提示：弹簧的弹性势能，为弹簧的形变量）【答案】【例10】 如图所示，粗细均匀的形管内装有总长为的水。开始时阀门闭合，左右支管内水面高度差为。求打开阀门后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）【答案】挑战极限【例11】 如图所示，物块的质量为，物块、的质量都是，并都可看做质点，且。三物块用细线通过滑轮连接，物块与物块的距离和物块到地面的距离都是。现将物块下方的细线剪断。若物块距滑轮足够远且不计一切阻力，认为物体落地后不会发生反弹并与其它物体碰撞。求： 物块上升时的最大速度； 若不能着地，求满足的条件。【答案】 【例12】 如图所示，质量为的物体经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体相连，弹簧的劲度系数为，、都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为的物体并从静止状态释放，已知它恰好能使离开地面但不继续上升。若将换成另一个质量为的物体，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次刚离地时的速度的大小是多少？已知重力加速度为。【答案】