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1、浅谈条件概率在生活中的应用 摘要条件概率实际概率论中特别重要的概念之一。也有很多学者对其中应用方面进行探讨,取得许多重要成果。本文在其基础上,通过查阅各类资料,问卷调查等方面收集各方面的信息,分析统计得到一些生活中较常见的应用实例。在深刻理解条件概率的定义、相关性质、概率计算以及三个重要公式的基础上,本文主要探讨了条件概率在生活中的应用广泛性,在对其应用进行列举分析外,并对好用实例进行进一步的说明和拓展。 关键词条件概率全概率贝叶斯应用 中图分类号:O21文献标识码:A 人类在解决工农业生产,工程技术,科学探讨和各种社会活动中的各种各样的实际问题时,有必要也有可能考虑随机因素的影响。在实际问题
2、中,经常须要计算较为困难的事务的概率,当探讨一个或多个随机变量时,经常会遇到这样的情形,在已知某随机事务(一般说来与被探讨的随机变量有关)发生的条件下,求这个或这些随机变量取值的条件概率。例如:“在事务B发生的条件下,计算事务A发生的概率”。这就是条件概率问题,而本文就条件概率的定义、三个重要公式及应用进行探讨。 1 条件概率的定义 定义1:对随意事务A和B,P(B)0,则称P(A|B)= 。为在事务B已知发生的条件下,事务A发生的条件概率。 定义2:若事务A发生的可能性不受事务B发生的影响,即P(A|B)=P(A),则称事务A与B是独立的。 在古典概型中,设试验E的基本领件总数为N,B所含的
3、基本领件数为m(m0)。AB所含的基本领件数为k,即有: P(A|B)= 2 关于条件概率的三个重要公式 2.1 乘法公式 由条件概率的定义,马上可以得到下述公式 乘法公式 设A、B为两事务,若P(B) 0,则P(AB)=P(B)P(A|B) 若P(A) 0,则P(AB)=P(A)P(B|A) 上述两式可以用来求某些积事务的概率,且很简单推广到多个事务的积事务的状况。 如:设A、B、C为事务,且P(AB) 0,则有P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB) 在这里,留意到由假设P(AB) 0,可推得P(A)P(AB) 0一般,假设A1、A2、An为n个随意事务n2,P(A1A2An-1
4、) 0,则有: P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A1A2An-1)。 2.2 全概率公式 贝努利概型 假如试验E只有两个可能的结果,B与B,并且P(A)= P(0 0,则P(A)=P(AB)+P(AB)= P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B) 上式是概率论中颇为简洁事务,为了求困难事务的概率,最终利用概率可加性得到最终结果,这一方法的一般化就是所谓的全概率公式。 定义3:设S为试验E的样本空间,B1、B2、Bn为E的一组事务。 若:(1)BiBj = ij,i = j =1、2、3、n (2)B1B2Bn = S 则称B1、B2、Bn为样本空间S的一
5、个划分。 若B1、B2、Bn是样本空间的一个划分,那么,对每次试验,事务B1、B2、Bn中必有一个且只有一个发生。 全概率公式 设试验E的样本空间为S,A为E的事务,B1、B2、Bn为S的一个划分,且P(Bi) 0,(i = 1,2,n)则对随意事务A,有: P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn) =P(Bi)P(A|Bi) 2.3 贝叶斯公式 贝叶斯公式 设试验E的样本空间为S,A为E的事务,B1、B2、Bn为S的一个划分,且P(A) 0,P(Bi) 0(i = 1,2,n) 则P(Bi|A) = (i=1,2,n) 3 条件概率的实际应用 3
6、.1 条件概率在天气预料中的应用 由长期的统计资料分析各有关规律,以便应用于来年的此类状况的预料是一个特别重要的手段,而在下例中就是从某地区六月的下雪打雷状况进行分析得到概率,对以后的同一时间下雨和打雷状况预料有肯定参考。 例1、由长期的统计资料得知,在重庆东南地区的某一山区六月下雨(记作事务A)的概率为,打雷(记作事务B)的概率,既下雨又打雷的概率为,求P(A|B),P(B|A),P(AB)。 解:已知P(A) = ,P(B) = ,P(AB) = 由条件概率公式可得: 由事务和的概率公式可得: P(AB)= P(A)+ P(B)- P(AB) =+-= 0.466 3.2 条件概率在抽签问
7、题中的应用 在日常生活中我们经常须要确定一个次序问题,除了一般的某种特别规定条件下的次序外,而许多状况下都是采纳抽签的方法。 例2、某一聘请面试讲课中共有10个课题,有3个较生疏的课题讲起来较难三个人参与抽签考试,不重复地抽,每个人抽一次,甲先抽,乙次之,丙最终,证明三个人抽到难签的概率相等。 证明:设A、B、C分别为甲、乙、丙抽到难签的事务。分别计算P(A),P(B),P(C)。 (1)P(A) = = 0.4 (2)P(B) = PB(A+A) = P(BA+BA) = P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) 其中A+A= ,AA = = + = 0.4 (3)P(C)=PC(A B+
8、AB+AB+AB), 且A B+AB+AB+AB=, 且A BABABAB = P(C) = P(A)P(B|A)P(C|AB)+ P(A)P(B|)P(C|AB)+ P(A)P(B|A)P(C|AB)+P(A)P(B|A)P(C|AB) = 0.4 P(A) = P(B) = P(C) = 0.4 即抽到难签的概率与抽签先后依次无关。 3.3 条件概率在产品质量检测中的应用 产品质量对于我们消费者来说特别重要,所以我们要对质量进行检测,产品质量检测须要我们计算出产品被消费者接收的概率或其次品率,用条件概率的三个重要公式很简单计算出相应的概率。 例3、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造
9、厂供应的,供应依据以往的记录有以下的数据: 设这三家工厂的产品在仓库中是匀称混合的,且无区分的标记。 (1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率。 (2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少?试求这些概率。 解:设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂供应的”,易知,B1,B2,B3是样本空间S的一个划分,且有: P(B1)= 0.15,P(B2)= 0.80,P(B3)= 0.05,P(A|B1)= 0.02, P(A|B2)= 0.01,P(A|B3)= 0.03。
10、(1)全概率公式: P(A)= P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) = 0.0125 (2)由贝叶斯公式: 同理可算得:P(B2|A) = 0.64P(B3|A) = 0.12 以上结果表明,这只次品来自第而家工厂的可能性最大。 3.4 概率在临床医学中的应用 条件概率在诊断疾病方面的应用也是特别有效的。 例4、假设用某种简化的试验来诊断结核,经诊断真正患有结核者被诊断为结核的概率是0.95未患结核的概率为0.90,现对一批患结核为万分之四的人进行结核普查试验,某人被诊断患有结核。试求此人真正患有结核的概率有多大? 解:设A=某人被诊断为患有结核,A1
11、=某人真正患有结核,A2=某人未患有结核,明显B能且只能与A1、A2之一同时发生,即B = A1+A2,已知P(A1) = 0.0004。P(A2) = 0.10196,P(B| A1)= 0.5,P(B| A2) = 1-0.90 = 0.10 由全概率公式可得: P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)(B|A2) = 0.0004?.95+0.10196?.10 = 0.10134 再由逆概率公式得: 此结果说明,诊断患有结核者,真正患有结核的可能性不大,(一千人中不到四人),故不必太惊慌。建议做一下其他项目的相应检查,经多次论证。才能得到比较准确的结果。但是也有可能有人回怀疑
12、这个结果,认为0.38%太小了,事实上,我们假设某城市有101万人,则有3800人患有结核,而101万6200人未患肺结核,出现这种不符合的状况缘由,在于未患结核而被错误地诊断为肺结核太多了,所以对于医学诊断方面还须要更先进行的技术使正确率提高。 3.5 条件概率在无线电通讯中的应用 在通信系统的设计中,应用条件概率,确定最佳接收件,使信源的消息在有噪声和干扰存在的信道中传输,信息到达目的地后产生的错误,概率为最小,来自信源的消息经过信道编码,调制等加工处理进行信道在噪声和干扰的信道中传输,到达接收端经信道解码,检测、判决送给接收者。 例5、在通讯渠道中,可传送字符AAAA、BBBB、CCCC
13、三者之一,假定传送这三者的概率分别为0.3,0.4,0.3,由于通道噪声的干扰,正确接收到被传送字母的概率为0.6,而收到其他字母的概率为0.2,假定前后字母是否被歪曲互不影响,若接收到的是ABCA,问被传送的是AAAA的概率? 解:分别以A、B、C表示传送字符AAAA、BBBB、CCCC以M表示接收到ABCA。 由题意知:P(A) = 0.3,P(B) = 0.4,P(C) = 0.3, P(M|A)= 0.62?.22,P(M|B)= 0.6?.23,P(M|C)= 0.6?.23 由贝叶斯公式有: P(A|M) 3.6 条件概率在问卷调查中的应用 在做有关敏感性问题的调查时,往往由于被调
14、查者对真实状况的隐瞒而得不到真实的调查结果。而在下面就以学生考试作弊为例,供应了一个简洁的方法可以解决被调查者对真实状况的隐瞒的状况。 例6、设计了以下方案,这个方案的核心是以下两个问题: 问题1:你的生日是在7月1号之前? 问题2:你是否在考试时作过弊? 被调查者只需回答其中一个问题,至于回答哪一个问题与被调查者从一个袋子里事先摸出一个球,看过颜色后放回,若抽出白球则回答问题1;若抽出红球则回答问题2。袋中只有白球和红球,且红球的比率是已知的。即 P(红球) = ,P (白球) = 1- 被调查者无论回答问题1还是问题2,只需在下面问卷上认可的方框内打勾,然后将答卷放入一只密封的投票箱内。由
15、于抽题与答卷都是在无人的房间进行的如何外人都不知道被调查者抽到什么颜色的球和在什么地方打勾,这样就比较简单使被调查者确信他(她)参与这个调查不会泄露个人隐私。 当有较多人参与调查后,就打开投票箱进行统计。设有n张答卷,其中k张答“是”,答“是”的比率为,可以用 = k/n估计,记为P(是)=k/n 这里的“是”包含摸到白球后回答问题1“是”,这是一个条件概率,而一般认为是0.5,即P(是|白球)=0.5;还有就是摸到红球后回答问题2“是”,者也是一个条件概率,即考试作弊同学在全体同学中所占的比率p,即 P(是|红球) = p 由全概率公式得到: P(是)= P(是|白球)P(白球)+ P(是|
16、红球)P(红球) = 0.5(1-)+ p 像这类敏感性问题的调查是社会调查中的一类,如一群人中参与赌博的比率,学生中上网玩大型嬉戏的比率等等都可以参照此方法组织调查,得到比较真实的数据。 5 小结 本文在条件概率的定义和性质的基础上,提出了一些简便的多元随机变量的条件概率的计算方法,本文还立足于生活,对条件概率在生活中的简洁应用进行列举,并对所举例子进行了简洁总结。 参考文献 1黄歌润.概率论M.四川:四川高校出版社,2022. 2盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计M.北京:高等教化出版社,2001. 3徐辉等.利用Bayes公式在经济问题上作决策J.东华理工学院学报,2004.27(3):193-195. 4李光忠,张新成,李世奎. Bayes公式及应用J.河南:洛阳师范学院学报,2003.35(8):2420-2422. 5汪忠志.概率论及统计应用M.合肥:合肥工业高校出版社,2022.5(3):30-31. 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页