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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共计50 分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1下列函数中，周期为2的是（）sin2xysin 2yxcos4xycos4yx2已知全集UZ，101 2A， ， ，2Bx xx，则UABI e为（）12，10 ，01 ，12，3在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为20 xy，则它的离心率为（）552324已知两条直线mn，两个平面，给出下面四个命题：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn其中正确命题的序号是（）、5函数( )
2、sin3cos (0 )f xxx x，的单调递增区间是（）56，566，03，06，6 设 函 数( )f x定 义 在 实 数 集 上 ， 它 的 图 像 关 于 直 线1x对 称 ， 且 当1x时 ，( )31xf x，则有（）132323fff231323fff精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 213332fff321233fff7 若对于任意的实数x， 有3230123(2)(2)(2)xaa xaxax， 则2a的值为
3、（）369128设2( )lg1f xax是奇函数，则使( )0f x的x的取值范围是（）( 10)，(0 1)，(0)，(0)(1)U，9已知二次函数2( )f xaxbxc的导数为( )fx，(0)0f，对于任意实数x，有( )0f x ，则(1)(0)ff的最小值为（）35223210在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域()100Axy xyxy， ，且 ， ，则平面区域() ()BxyxyxyA，的面积为（）211214二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共计30分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上11若1cos()5，3cos()5，则tantang_12
4、某校开设9门课程供学生选修，其中ABC， ，三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有 _种不同的选修方案（用数值作答）13已知函数3( )128f xxx在区间3 3，上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_14正三棱锥PABC的高为2，侧棱与底面ABC成45o角，则点A到侧面PBC的距离为_15在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点( 4 0)A，和(4 0)C，顶点B在椭圆221259xy上，则sinsinsinACB_16某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t时，点A与钟面上标12的点B重合将AB，两点间的距离(cm)d
5、表示成(s)t的函数，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - d_，其中0 60t，三、解答题：本大题共5 小题，共计70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分12 分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后第2 位）：（1）5 次预报中恰有2 次准确的概率；（4 分）（2）5 次预报中至少有2 次准确的概率；（4 分）（3）5 次预报中恰有2 次准确，且其中第3 次预报
6、准确的概率（4 分）18（本题满分12 分）如图，已知1111ABCDA B C D是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC（1）求证：1EBFD， ， ，四点共面；（ 4 分）（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂足为H，求证：EM 平面11BCC B；（ 4 分）（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCC B所成的锐二面角的大小，求tan（ 4 分）19（本题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线，与抛物线2yx相交于AB，两点 一 条 垂 直 于x轴 的 直 线 ， 分 别 与 线 段AB和
7、直 线:lyc交于点PQ，（1）若2OA OBu u u r uuu rg，求c的值；（ 5 分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5 分）（3）试问（ 2）的逆命题是否成立？说明理由（4 分）20（本题满分16 分）已知na是等差数列，nb是公比为q的等比数列，11ab，221aba， 记nS为数列nb的前n项和（1）若kmba（mk，是大于2的正整数），求证：11(1)kSma；（ 4 分）（2）若3iba（i是某个正整数） ，求证：q是整数， 且数列nb中的每一项都是数列na中的项；（ 8 分）CBAGHMDEF1B1A1D1CA B C P Q O x y l
8、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （3）是否存在这样的正数q，使等比数列nb中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由（4 分）21（本题满分16 分）已知abcd， ， ，是不全为零的实数，函数2( )f xbxcxd，32( )g xaxbxcxd 方 程( )0f x有 实 数 根 ， 且( )0f x的 实 数 根 都 是( )0g f x的根；反之，( )0g fx的实数根都是( )0f
9、x的根（1）求d的值；（ 3 分）（2）若0a，求c的取值范围；（6 分）（3）若1a，(1)0f，求c的取值范围（7 分）2007 年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算每小题5 分，共计50 分12345678910二、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题5 分，共计30 分111212751332146 5515541610sin60t三、解答题17本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12 分解：（ 1）5次预报中恰有2次准确的概率为225 2
10、2355(2)0.8(10.8)100.80.20.05PC（2）5次预报中至少有2次准确的概率为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 551(0)(1)PP005 0115 15510.8(10.8)0.8(10.8)CC10.00032 0.00640.99（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为14 12340.80.8(10.8)4 0.80.20.02C18本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直
11、、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力满分12 分解法一：（1）如图， 在1DD上取点N，使1DN，连结EN，CN，则1AEDN，12CFND因为AEDN，1NDCF， 所以四边形ADNE，1CFD N都为平行四边形从而ENAD，1FDCN又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而1FDBE因此，1EBFD， ，四点共面（2）如图，GMBF，又BMBC，所以BGMCFB，tantanBMBGBGMBGCFBgg23132BCBGCFg因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM又AB平面11BCC B，所以EM 平
12、面11BCC B（3）如图，连结EH因为MHBF，EMBF，所以BF 平面EMH，得EHBF于是EHM是所求的二面角的平面角，即EHM因为MBHCFB，所以sinsinMHBMMBHBMCFBgg22223311332BCBMBCCFg，tan13EMMH解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(3 01)BEuu u r，(0 3 2)BFuuu r，1(3 33)BDuuu u r， ，CBAGHMDEF1B1A1D1CN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - -
13、 - - - - - - 所以1BDBEBFuuu u ruu u ruuu r，故1BDu uu u r，BEuuu r，BFuuu r共面又它们有公共点B，所以1EBFD， ，四点共面（2）如图，设(0 0)Mz，则203GMzuu uu r，而(0 3 2)BFuuu r， ，由题设得23203GM BFzuuuu r u uu rggg，得1z因为(0 0 1)M，(3 01)E，有(3 0 0)MEu uu r，又1(0 0 3)BBu uu r， ，(0 30)BCuuu r，所以10ME BBuuu r uuu rg，0ME BCuuu r u uu rg，从而1MEBB，MEB
14、C故ME 平面11BCC B（3）设向量(3)BPxyuuu r， ， 截面1EBFD，于是BPBEuu u ruuu r，BPBFuu u ruu u r而(3 01)BEuuu r，(0 3 2)BFu uu r，得330BP BExuu u r uu u rg，360BP BFyuuu r uuu rg，解得1x，2y，所以( 12 3)BPuuu r，又(3 0 0)BAuuu r， 平面11BCC B，所以BPu uu r和BAuu u r的夹角等于或（为锐角）于是1cos14BP BABP BAuu u r uu u rguuu ruu u rg故tan1319本小题主要考查抛物线
15、的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力满分14 分解：（ 1）设直线AB的方程为ykxc，将该方程代入2yx得20 xkxc令2()A aa，2()B bb，则abc因为2222OA OBaba bccuuu r u uu rg，解得2c，或1c（舍去）故2c（2）由题意知2abQc，直线AQ的斜率为22222AQacaabkaababaCBAGHMDEF1B1A1D1CzyxA B C P Q O x y l 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
16、 - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 又2yx的导数为2yx，所以点A处切线的斜率为2a，因此，AQ为该抛物线的切线（3）（ 2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q xc，若AQ为该抛物线的切线，则2AQka，又直线AQ的斜率为2200AQacaabkaxax，所以202aabaax，得202axaab，因0a，有02abx故点P的横坐标为2ab，即P点是线段AB的中点20本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力满分16 分解：（ 1）设等差数列的公差为d，则由题设得11ad
17、a q，1(1)da q，且1q由kmba得111(1)kb qamd，所以11(1)(1)kb qmd，11111(1)(1)(1)(1)(1)111kkb qma qmdSmaqqq故等式成立（2）（）证明q为整数：由3iba得211(1)b qaid，即2111(1)(1)a qaia q，移项得11(1)(1)(1)(1)a qqa iq因110ab，1q，得2qi，故q为整数（）证明数列nb中的每一项都是数列na中的项：设nb是数列nb中的任一项，只要讨论3n的情形令111(1)nb qakd，即1111(1)(1)na qaka q，得1221121nnqkqqqqL因2qi，当1
18、i时，1q，22nqqqL为1或0，则k为1或2；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 而2i，否则0q，矛盾当3i时，q为正整数，所以k为正整数，从而nkba故数列nb中的每一项都是数列na中的项（3）取512q，21bb q，341bb q3314111251(1)1( 51)22bbbqbbb所以1b，2b，4b成等差数列21本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能
19、力满分16 分解：（ 1）设r为方程的一个根，即( )0f r，则由题设得( )0g f r于是，(0)( )0gg f r，即(0)0gd所以，0d（2）由题意及（ 1）知2( )f xbxcx，32( )g xaxbxcx由0a得bc，是不全为零的实数，且2( )()g xbxcxx bxc，则22( )()()()()g f xx bxc bx bxccx bxc b xbcxc方程( )0f x就是()0 x bxc方程( )0g fx就是22()()0 x bxc b xbcxc（）当0c时，0b，方程、的根都为0 x，符合题意（）当0c，0b时，方程、的根都为0 x，符合题意（）当
20、0c，0b时，方程的根为10 x，2cxb，它们也都是方程的根，但它们不是方程220b xbcxc的实数根由题意，方程220b xbcxc无实数根，此方程根的判别式22()40bcb c，得04c综上所述，所求c的取值范围为0 4，（3）由1a，(1)0f得bc，2( )(1)fxbxcxcxx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2( )( )( )( )g f xf xfxcf xc由( )0f x可以推得( )0g f x，知方
21、程( )0f x的根一定是方程( )0g f x的根当0c时，符合题意当0c时，0b，方程( )0f x的根不是方程2( )( )0fxcf xc的根，因此，根据题意，方程应无实数根那么当2()40cc，即04c时，2( )( )0fxcfxc，符合题意当2()40cc，即0c或4c时，由方程得224( )2cccf xcxcx，即22402ccccxcx，则方程应无实数根，所以有224()402ccccc且224()402ccccc当0c时，只需22240cc cc，解得1603c，矛盾，舍去当4c时，只需22240cc cc，解得1603c因此，1643c综上所述，所求c的取值范围为1603，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -