2009年全国高考文科数学试题及参考答案-全国1卷.pdf

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1、精心整理2009 年普通高等学校招生全国统一1 卷考试文科数学(必修+选修)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷1 至 2 页,第卷 3 至 4 页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第卷注意事项:1答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚,并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后,用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的参考公式:如果事件

2、 AB,互斥,那么球的表面积公式如果事件 AB,相互独立,那么其中 R表示球的半径()( )()P A BP AP B球的体积公式如果事件 A在一次试验中发生的概率是P ,那么343VRn次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R表示球的半径一、选择题(1)o585sin的值为(A)22(B)22(C)32(D)32(2) 设集合 A=4,5,7,9 ,B=3,4,7,8,9 ,全集 UAB ,则集合()UABe中的元素共有(A)3 个(B)4 个(C )5个(D)6 个(3)不等式111xx的解集为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

3、纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理(A)011xxx x(B)01xx(C )10 xx(D)0 x x(4)已知 tana=4,cot=13, 则 tan(a+)= (A)711(B)711(C)713(D)713(5)设双曲线222200 xyabab1 , 的渐近线与抛物线21yx 相切,则该双曲线的离心率等于(A)3(B)2(C)5(D)6(6)已知函数( )f x的反函数为( ) 10g xx 2lgx,则)1()1(gf(A)0(B)1(C )2(D )4 (7)甲组有 5 名男同学、 3 名女同学;

4、乙组有 6 名男同学、 2 名女同学,若从甲、乙两组中各选出2 名同学,则选出的4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有(A)150种(B)180 种(C )300种(D)345 种(8)设非零向量a、b、c满足cbacba|,|,则ba,(A)150(B)120(C)60(D )30(9)已知三棱柱111ABCA B C的侧棱与底面边长都相等,1A在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB与1CC所成的角的余弦值为(A)34(B)54(C)74(D)34(10) 如果函数3cos(2)yx的图像关于点4(,0)3中心对称,那么的最小值为(A)6(B)4(C)3(D)2(11)

5、已知二面角l为 600,动点 P、Q分别在面,内,P到的距离为3,Q到的距离为2 3,则 P、Q两点之间距离的最小值为(12)已知椭圆22:12xCy的右焦点为 F,右准线 l ,点 Al ,线段 AF交 C于点 B。若3FAFB,则AF= 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理(A)2(B)2(C)3(D)3 第卷注意事项:1答题前,考生先在答题卡上用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形

6、码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第卷共 7 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效3本卷共 10 小题,共 90分二、填空题:本大题共4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上(注意:在试题卷上作答无效)(13)10()xy的展开式中,73x y的系数与37x y的系数之和等于 _. (14)设等差数列na的前n项和为nS。若972S,则249aaa_. 。(15) 已知 OA为球 O的半径,过 OA的中点 M 且垂直于 OA的平面截球面得到圆M ,若圆 M 的面积为 3,则球 O的表面积等于 _. (16)若直线

7、m被两平行线12:10:30lxylxy与所截得的线段的长为22,则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是 . (写出所有正确答案的序号)三解答题:本大题共6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤 . (17)( 本小题满分 10 分) ( 注意: 在试题卷上作答无效) 设等差数列na 的前n项和为ns,公比是正数的等比数列nb 的前n项和为nT,已知1133331,3,17,12, nnababTSb求a的通项公式 . (18)( 本小题满分 12 分) (注意:在试用题卷上作答无效)在ABC中,内角 ABC、 、的对边长分别为 abc、 、 .

8、 已知222acb, 且 s i n4c o s s i nBAC,求 b. (19)( 本小题满分 12 分) (注决:在试题卷上作答无效)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理如图,四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD为矩形, SD底面 ABCD,2AD,2DCSD,点 M 在侧棱 SC上,60ABM()证明: M 是侧棱 SC的中点;()求二面角 SAMB的大小。 (同理 18)(20) (本小题满分 12 分) (注

9、意:在试题卷上作答无效)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设在一局中,甲获胜的概率为0.6 ,乙获胜的概率为0.4 ,各局比赛结果相互独立。已知前2 局中,甲、乙各胜 1 局。()求再赛 2 局结束这次比赛的概率;()求甲获得这次比赛胜利的概率。(21) (本小题满分 12分) (注意:在试题卷上作答无效)已知函数42( )36f xxx. ()讨论( )f x的单调性;()设点 P在曲线( )yf x上,若该曲线在点P处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程(22) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)如图,已知抛物线2:Eyx与

10、圆222:(4)(0)Mxyrr相交于 A、B、C、D四个点。()求r的取值范围()当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线AC 、BD的交点P的坐标。1【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。解:2245sin)45180sin()225360sin(585sinoooooo,故选择 A。2【解析】本小题考查集合的运算,基础题。(同理 1)解 : 3, 4 , 5 , 7 , 8 ,AB, 4 , 7 , 9() 3 , 5UABABe故 选A。 也 可 用 摩 根 定 律 :()()()UUUABAB痧?3【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式,基础题。精品资料 - - -

11、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理解:0040)1()1(|1|1|11122xxxxxxxx,故选择 D 。4【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基础题。解:由题3tan,11712134tantan1tantan)tan(,故选择 B。5【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率,基础题。解:由题双曲线222200 xyabab1 , 的一条渐近线方程为abxy,代入抛物线方程整理得

12、02abxax,因渐近线与抛物线相切,所以0422ab,即5522eac,故选择 C 。(6) 【解析】本小题考查反函数,基础题。解:由题令1lg21x得1x,即1)1(f,又1)1(g,所以2)1()1(gf,故选择 C。(7) 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题,基础题。解:由题共有345261315121625CCCCCC,故选择 D 。(8) 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。解:由向量加法的平行四边形法则,知a、b可构成菱形的两条相邻边,且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长,故选择B。(9) 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线

13、所成的角,基础题。(同理 7)解:设 BC的中点为 D ,连结1AD ,AD ,易知1A AB即为异面直线 AB 与1CC所成的角 , 由三角余弦定理,易知113cocs4oscosADADA ADDABA AAB. 故选 D (10) 【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。解:函数cos 2yx3的图像关于点43,0中心对称4232k13()6kkZ 由此易得min|6. 故选 A (11) 【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题,综合题。(同理 10)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

14、 - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理解: 如图分别作,QAA AClC PBB于于于PDlD于,连,60 ,CQ BDACQPBD则2 3,3AQBP,2ACPD又222122 3PQAQAPAP当且仅当0AP,即AP点 与点重合时取最小值。故答案选C。(12) 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础题。解: 过点 B作 BMl 于 M,并设右准线 l 与 X轴的交点为 N, 易知 FN=1.由题意3FAFB, 故2|3BM.又由椭圆的第二定义 , 得2 22|233BF|2AF. 故选 A(13) 【解析】本小题考查二项展

15、开式通项、基础题。(同理 13)解: 因rrrrryxCT10101)1(所以有373101010()2240CCC(14) 【解析】本小题考查等差数列的性质、前n项和,基础题。(同理 14)解:na是等差数列 , 由972S, 得599,Sa58a2492945645()()324aaaaaaaaaa。(15) 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积,基础题。解:设球半径为R ,圆M 的半径为r,则32r,即32r由题得3)2(22RR,所以164422RR。(16) 【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思想。解:两平行线间的距离为211|13

16、|d,由图知直线m与1l的夹角为o30,1l的倾斜角为o45,所以直线m的倾斜角等于00754530o或00153045o。故填写或(17) 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和,基础题。解:设na的公差为 d ,数列nb的公比为0q,由3317ab得212317dq精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理3312TS得24qqd由及0q解得2,2 dq故所求的通项公式为112(1)21,32nnnannb。

17、(18) 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解:由余弦定理得Abcbcacos2222,又0,222bbca,bAbcb2cos22,即2cos2Acb由正弦定理得sinsinbBcC又由已知得 sin4cossinBACsin4cossinBAC,所以4 cosbcA故由解得(19)解法一:(I )作 ME CD 交 SD于点 E, 则 ME AB , ME平面 SAD 连接 AE ,则四边形 ABME 为直角梯形作 MFAB,垂足为 F,则 AFME 为矩形设 MEx,则 S Ex ,222(2)2AEEDADx由2tan60 ,(2)23(2)MFFBxx。得解得1x即1ME,从而1

18、2MEDC所以 M 为侧棱 SC的中点()222MBBCMC,又60 ,2ABMAB, 所以ABM 为等边三角形,又由()知 M为 SC中点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理2,6,2SMSAAM,故222,90SASMAMSMA取 AM中点 G ,连结 BG ,取 SA中点 H,连结 GH ,则,BGAM GHAM, 由此知BGH 为二面角 SAMB的平面角连接 BH ,在BGH 中,所以2226cos23BGGHBHB

19、GHBGGH二面角 SAMB的大小为6arccos()3解法二 : 以 D为坐标原点,射线DA为 x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设(2,0,0)A,则(2, 2,0),(0, 2,0),(0,0, 2)BCS()设(0)SMMC, 则又(0,2,0),60ABMB AB故|cos60MBABMBAB即222422(2)()()111解得1,即SMMC所以 M为侧棱 SC的中点(II )由(0,1,1),(2,0,0)MA,得 AM 的中点2 1 1(,)22 2G又2 31(,),(0, 1,1),(2,1,1)222GBMSAM所以,GBAM MSAM因此,GB MS等于

20、二面角 SAMB的平面角所以二面角 SAMB的大小为6arccos()3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理(20)【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,综合题。解:记“第 i 局甲获胜”为事件)5,4 ,3(iAi, “第j局乙获胜”为事件(3,4,5)jBj。()设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件A,则4343BBAAA,由于各局比赛结果相互独立,故()记“甲获得这次比赛胜利”为事件B

21、,因前两局中,甲、乙各胜1 局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2 局,从而54354343ABAAABAAB,由于各局比赛结果相互独立,故(21) 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性,综合题。解: ()366( )464 ()()22fxxxx xx令( )0fx得026x或26x;令( )0fx得26x或260 x因此,xf在区间)0,26(和),26(为增函数;在区间)26,(和)26,0(为减函数。()设点)(,(00 xfxP,由 l 过原点知, l 的方程为0()yfxx,因此000()()f xx fx,即0)64(6303002040 xxxxx,整理

22、得0)2)(1(2020 xx,解得20 x或20 x因此切线 l 的方程为xy2或2 2yx(22) 解: ()将抛物线2:Eyx代入圆222: (4)(0)Mxyrr的方程,消去2y,整理得227160 xxrE与 M 有四个交点的充要条件是:方程有两个不相等的正根12xx、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理由此得2212212( 7)4(16)070160rxxxxr解得215164r又0r所以r的取值范围是15(,

23、4)2(II )设四个交点的坐标分别为11(,)A xx、11(,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx。则由( I )根据韦达定理有212127,16xxx xr,15(,4)2r则2112211212 |()|()2Sxxxxxxxx令216rt ,则22(72 ) (72 )Stt下面求2S的最大值。方法 1:由三次均值有:当且仅当 72144tt ,即76t时取最大值。经检验此时15(,4)2r满足题意。方法 2:设四个交点的坐标分别为11(,)A xx、11(,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx则直线 AC 、BD的方程分别为解得点 P的坐标为)0 ,(2

24、1xx。设21xxt,由216rt及()得7(0,)2t由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积则4)(2(2122122112xxxxxxxxS将721xx,txx21代入上式,并令2)(Stf,得)270(34398288)27()27()(232tttttttf,2( )2456982(27)(67)fttttt,令( )0ft得67t,或27t(舍去)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理当670t时,( )0ft;当67t时( )0ft;当2767t时,( )0ft故当且仅当67t时,)(tf有最大值,即四边形ABCD 的面积最大,故所求的点P的坐标为)0 ,67(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - - -

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