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1、应用随机模拟试验进行概率统计研究性学习一例 思想的深化理解占有极大的比重,解题方法和技巧并不多。而作为概率统计主要探讨对象的随机现象又特殊适合进行统计模拟。因此,笔者通过信息技术开展课程探讨性学习,利用计算机及相应的编程软件对随机现象进行模拟,制作模拟试验,让学生亲自动手实践,可以将课程基础学问直观化,增加课程的趣味性,加深学生对基本概念的理解,取得良好的教学效果。 一、应用抛硬币试验讲解概率的频率定义 在讲解随机事务的概率这一节内容时,涉及到频率的稳定性讲解。课堂起先时,首先让学生回忆中学物理上有关频率的定义。同学们很快就异口同声地说出:单位时间内振动的次数。接着,告知同学们数学上也有关于频
2、率的定义,即在相同的条件下将试验重复进行n次,在n次试验中,事务A发生了fA次,fA称为事务在这n次试验中发生的频数,而比值Rn=fA/n 就称为事务A在这n次试验中发生的频率。 讲解了这个概念以后,可以让学生来视察一个简洁的模拟试验抛硬币试验。在模拟之前,先让学生想一想,假如抛一枚硬币多次,视察正反面出现的次数。那么,正面出现的概率应为多少?学生立马就能通过直觉及中学所学的简洁概率学问就能答出:0.5。 接着,请某位同学运用抛硬币试验软件进行模拟,让学生从直观上感受不同试验次数时正面出现的频率。 再接着,我说历史上有许多闻名的学者也都做过抛硬币试验。他们做的结果如表1。 明显,这些学者所做的
3、结果也体现了我们所得出的结论。 有了这些试验结果做铺垫,我自然地引出频率稳定性的概念及概率的频率定义:当试验重复次数n很大时,频率会稳定在某一常数旁边,我们称这个常数为频率的稳定值,就是我们所求的概率。 频率方法供应了概率的一个可供想象的详细值,并且在试验重复次数较大时,可用于给出频率的一个近似值。这个概念有两个关键部分,一个是试验的重复次数要足够大,另一个是要得出频率的稳定值。 概念里的试验重复次数足够大,这是一个很模糊的字眼,究竟多少次是试验次数足够大,15000次算不算足够大呢?假如设抛硬币试验的n=15000,统计正面出现的频率,让学生将这一试验重复4次,记录其结果如表2。 而把概率定
4、义成频率的稳定值,也就是通过频率来估计概率,可即使在相同的条件下重复多次试验,得到的频率值都是不一样的,这是由随机性所确定的,但多次试验时频率具有肯定的稳定性。 这个概念看似简洁,但背后却隐藏着不少疑点,假如仅仅将概念在课堂上简洁一讲便进入到后续内容,学生将会把这些问题遗忘,最终导致课程没学到位。但这些疑点在本次课程中也无法从根本上解决。因此,课程内容讲完后,我便给同学们留了一道家庭作业,就是希望同学们能够通过所学的VB程序设计语言,自己开发验证频率稳定性的抛硬币模拟试验,并在实践中思索概念的疑点。没想到,在其次次上课时,就有两组同学主动告知我已完成了模拟试验。两组同学的抛硬币试验,虽然基本原
5、理一样,但有一个学生设计的相对比较简洁,主要是输入次数,然后显示正面出现的次数及频率。另一位同学的界面就相对丰富一些,既包含了上述这些内容,还包含了柱状图,饼状图等基于统计学的一些表示方法。 一个简洁的模拟抛硬币试验在同学们的手中可以变得如此丰富多彩,也让我看到了学生们的求知欲和渴求创新的火花。但是,对于概念的疑点,同学们好像都没有进行深层次的挖掘。 二、模拟试验引出大数定律,说明其理论依据 在讲到大数定理这一节的时候,我带领同学们重温了概率的频率定义,并请大家思索,这个概念的理论依据是什么?频率与概率究竟有什么关系呢?同学们表现的很缄默。 1010,10100,m=50。为了节约时间,我让每
6、组同学只做其中一种状况,最终由学习委员汇总大家的结果,后来,我请同学们视察表中的结果是否有什么规律?很快就有同学说,随着试验次数的增大,在多次试验中,正面出现的频率与概率特别接近。我立刻接话:不错,这一现象用数学的语言来描述其实就是闻名的伯努利大数定律。 三、中心极限定理给出估计误差 再次上课时,我便问同学们,上节课给大家布置的散点图是否具有规律性?有同学说散点图有点像正态分布的曲线。我接着说,同学们的理解是对的,下面我们就来介绍关于这一现象的棣莫佛拉普拉斯中心极限定理: 这个关系式给出了用频率估计概率的误差。从这个误差计算公式中可以看出,试验次数n的大小确定着估计的误差大小,随着n的增大,误
7、差会渐渐减小。可用于解决用频率估计概率的计算问题。所以在不同的实际问题中,试验次数n不是固定的,应依据问题对精度的要求来确定n的最小取值。至此,这一概念的疑点才算是彻底解决了。 以往在讲解大数定理和中心极限定理的内容时,我们虽然说这些内容是个概率统计的精华部分,但大多数学生都觉得这些只是些枯燥的定理。在讲解上,由于学时的压缩,只有24学时的时间。学生学过后都不知所以然,更不用说去解决课程前面遗留的问题。本文运用现代信息技术强大的计算功能,通过编制简洁模拟试验开展探讨性学习,把概率论的内容从老师的模拟、疑问,转变为学生自己实践验证,再到后来的探讨,引入新内容,前后联系,课内与课外相结合,既解决了
8、前面内容的疑问,又加深了后续内容理论基础。也为学生学习统计学部分打下了坚实的基础。 参考文献: 1王金红.高校数学实施探讨性学习的若干途径J.高校数学,2022,23. 2盛骤,谢式千.概率论与数理统计及其应用M.北京:高等教化出版社,2004. 3张丽华,王颖喆.概率论教学的探究与实践J.数学教化学报,2022,19. 4张淑梅,张唯一.初中“用频率估计概率”的教学解析J.数学通报,2022,49. 第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页