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1、初等数论课程教学大纲一、课程适用的专业、学时及学分本课程适用的专业为：数学与应用数学专业，50学时，3学分。二、课程的性质、目的和任务初等数论是以整数为主要研究对象的一个数学分支。近代，随着科学技术的 发展，初等数论已成为离散数学的重要内容，在许多数学分支以及科学领域，如 计算数学，编码学，计算机科学，通讯技术等等，都有重要的应用。初等数论也 是与中学数学联系最密切的课程之一。本课程的内容主要包含三部分：（1）整除理论；（2）同余理论；（3）二次剩余理论。本课程的主要目的是：学习初等数论的基本概念，基本性质，基本理论和技巧，加深对整数性质的 理解，提高数学修养；为学习其它数学课程打下必要的基础
2、。三、与其它课程的联系本课程与近世代数，组合数学，高等代数有着紧密的联系，近世代数的一些 内容源于初等数论，本课程将为学习近世代数提供一些直观背景和具体实例。课程的基本内容、重点及难点本课程的基本内容包含四个部分：（一）整除理论（1）整除，因数，倍数，最大公因数，最小公倍数，互素，两两互素；带余除 法，辗转相除法；（2）素数，合数，正整数的标准素数分解式与素数分解式；算术基本定理；制的标准素数分解式；（3）正整数的正因数的个数小（除数函数）、正整数的正因数的和S（小及函数万()；(4)与素数有关的若干数论问题；Eratosthenes筛法与素数无穷；实数x的整数部分x和小数部分%；(5)二元线
3、性不定方程原+ Z?y = 与左元线性不定方程工与%, = (攵2 3)的求 1解；(6)勾股数与Fermat大定理。(二)同余理论(1)同余，同余类，与模互素的同余类；(2)完全剩余系，简化剩余系；Euler函数91)；Euler定理与Fermat小定 理；(3)同余方程及其解数；线性同余方程“三Mirodw)的求解；中国剩余定理; 一元高次同余方程的求解原理；(4)Lagrange定理,Wilson定理;指数,原根,指标；Gauss原根存在定理。(三)二次剩余理论(1)二次剩余与二次非剩余；Legendre符号和Jacobi符号一； P)(2)Euler判别准则;Gauss二次互反律；(3
4、)二次同余方程以2 + +。三0(mod根)的求解；将奇素数表示为两个整数 平方之和。(四)数论函数(1)数论函数，可乘函数，完全可乘函数；Mobius函数()；(2)数论函数的Dirichlet乘积;Mobius反演公式。重点与难点： 整除理论部分：(1)带余除法的两种形式及其应用；算术基本定理；互素的基本性质及其应用求最大公因数和最小公倍数的方法;证明整除的基本方法；二元线性不定方程以+垓=的求解；(3)将有关实际问题转化为二元线性不定方程问题并加以求解；/ +y2 =z2 的本原解公式。同余理论部分：简化剩余系；Euler函数夕()的计算；Euler定理与Fermat小定理及其 应用；线
5、性同余方程ax三b(modm)的求解；中国剩余定理。(2)素数模的一元高次同余方程的求解；Gauss原根存在定理；求原根的方 法。二次剩余理论部分：二次剩余，Legendre符号-和Jacobi符号-的定义及其基本性质； P)Euler判别准则及其应用；Gauss二次互反律及其应用；/ Legendre符号-和Jacobi符号-的计算；二次同余方程 P)x1三。(mod m。) = 1 的求解。数论函数部分：数论函数，可乘函数，完全可乘函数的定义；(2)Mobius函数()的定义及性质。五、学时分配表章节主要内容各教学环节学时分配备注讲授实验讨论习题课外其它小计整除理论16218同余理论16218二次剩余理论8210四数论函数44合 计44650六、教材与教学参考书选用教材：初等数论（第三版），闵嗣鹤，严士健，高等教育出版社，2003年。参考教材：1简明数论，潘承洞，潘承彪，北京大学出版社，1998年。32初等数论，潘承洞，潘承彪，北京大学出版社，1992年。初等数论柯召，孙琦，高等教育出版社，1986年。