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1、初等数论理论教学大纲（Elementary Number Theory）课程代码：0712604总学时：30学时先修课程：数学分析、高等代数一、课程的性质、目的与任务该课程是数学与应用数学专业的一门选修课。数学与应用数学专业的学生学习一 些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关 的一些课程。通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与 指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们 的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难
2、 题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目 的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与 其它邻近学科的关系。二、教学基本内容与基本要求1 .基本内容第一章整数的整除性理论两个整数整除的概念；最大公因子的概念、性质及求最大公因子的方法；最小公 倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。素数与合数的概念、素数的性质、整数关于 素数的分解定理、素数的求法（筛法）。函数x与x的概念、性质、n!的素数分解、 组合数为整数的性质。第二章不定方程二元一次不定方程的形式，二元一次不
3、定方程解的形式，二元一次不定方程有整 数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。多元一次不定 方程的形式，多元一次不定方程有解的条件，求简单的多元一次不定方程的解。第三章一元同余理论整数同余的概念、同余的基本性质，整数具有素因子的条件，利用同余简单验证 整数乘积运算的结果。剩余系、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法，欧拉函数的 定义及性质。欧拉定理、Fermat小定理，循环小数的判定条件。同余式的定义，一次 同余式有解的条件，求解同余式。中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式 方程组。判断高次同余式的解个数，解高次同余式的方法，模整数同余式与模素数同 余式的关系，求解
4、简单的（3. 4次）同余式。素数模同余式的次数化简，Wilson定理, 同余式的次数与解数的关系，n次同余式有n个解的条件。第四章平方剩余二次同余式的一般形式，模整数同余与模素数塞同余的关系，平方剩余与平方非 剩余的概念。单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，单素数的平方剩余与平 方非剩余的个数。Legendre符号的定义、性质，Jacobi符号的定义、性质，利用Legendre 和Jacobi符号判断同余式的解的存在性。非素数模的二次同余式有解的条件及解的个 数。2 .基本要求有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有 关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“
5、会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。第一章理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，熟练掌握求最大公因子、最 小公倍数的方法。理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理， 会用筛法求素数。了解函数x与x的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的 性质。第二章了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握 利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。知道多元一次不定方程有 解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。第三章理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利 用同余简单验证整数乘积运算的结果。理解剩余系、完全剩余系的
6、概念，熟练掌握判 断剩余系的方法，理解欧拉函数的定义及性质。了解欧拉定理、Fermat小定理，掌握 循环小数的判定方法。理解同余式的定义，掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求 解一次同余式。理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同 余式方程组的方法。了解高次同余式解的个数的判断方法，知道解高次同余式的方法, 了解模整数同余式与模素数同余式的关系，掌握求简单的（3. 4次）同余式解的方法。 了解素数模同余式的次数化简、Wilson定理，了解同余式的次数与解的个数的关系， 知道n次同余式有n个解的条件。第四章理解二次同余式的一般形式、模整数同余与模素数塞同余的关系、平方剩余与平
7、 方非剩余的概念。、理解单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，了解单素数 的平方剩余与平方非剩余的个数。了解Legendre符号的定义、性质及Jacobi符号的 定义、性质，熟练掌握利用Legendre和Jacobi符号判断同余式的解的存在性。掌握 非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数的有关结论。三、教学内容及学时分配（教学要求：A一熟练掌握；B一掌握；C了解）教学内容教学要求重点（）难点 （）学时安排备注第一章整数的可除性A8笫二章不定方程A6第三章一元同余理论BA12第四章平方剩余BA4合计30四、教学方法与教学手段1 .教学方法：讲授与讨论结合2 .教学手段：理论教学为主，部分章节可用多媒体教学。五、建议教材与参考书目1 .建议教材：初等数论（第三版），闵嗣鹤、严土健编，高等教育出版社，2003年2 .参考书目：3 信息安全数学基础，陈恭亮编，清华大学出版社，2004年4 初等数论（第二版），潘承洞、潘承彪 编，北京大学出版社，2004年5 初等数论及其在密码学中的应用与Maple实现，游林编，科学出版社，2009 年六、大纲编写的依据与说明大纲依据本课程的学时多少和对本科学生教学的理解程度来编写，准确地贯彻教 学计划，体现教学思想和培养目标。