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1、专题2. 5. 2的位置关系知识点一、圆与圆的位置关系L两圆的位置关系外离、外切、相交、内切和内含.2.两圆的位置关系的判定代数法:设两圆的一般方程为 Ci:x2+y2+Dix+E,ij+Fi=0( D； +_4匕0 ),。2：/+丁2+。加+12)，+尸2=0(32 + 刍2-4鸟0),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程，则要求出方程组 的解进行判断)，计算判别式/的值，按的表中的标准进行判断.几何法:两圆的半径分别为门,如计算两圆连心线的长为&按表中标准进行判断.位置关系外离外切相交内切内含图示e公共点 个数01210位置关系外离外切相交内切内含的值A0A=0A
2、4 + Gd =八十Gr,-r2 drx+r2d=目d ix+Eiy+Fi=0( D,2+ E： 4耳 0 ), O C2：x2+y24-r2x+E2)F2=0( D22 +E22-4F20)，联立，得(。1。2+(12)尸尸2二0.若两圆交点分别为A(xi,1)43)2),则A,B的坐标适合方程，也适合方程，因此方程就是经过两圆交点 的直线方程.故当两圆相交时,。Q2)x+(iE2)y+BF2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程.当两圆外离时是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.当两圆相切时，(。2)%+(应+西3二0是两圆的一条公切线的方程.若两圆是等圆，则 (。2)%+(而
3、+为&=。是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.重难点题型1求圆的标准方程例1、（1）、（2021秋陕西渭南高一统考期末）圆G：（x-2）2 + V = i与圆G：/+（y_）2=4的位置关系是（）A.相离B.内切C.相交D.外切【答案】C【分析】根据方程写出两圆的圆心坐标以及半径，结合两点距离公式，结合两圆位置关系的判别，可得答 案.【详解】由G：（x 2）2 + V = i可得其圆心0（2,1）,半径4二1；由：/+1）2 = 4可得其圆心G （0,1），半径弓二2 ；|CC| = J（20）2+（1）2 = 2,F=3,卜一目=1,显然3Iggi0),由 12 + /一41一5 =
4、 0,得(一2)2 + 9=9,则圆心为 C(2,0),半径2=3,因为圆Y + y2 一根=。与圆了2 + ,2一4工一5 =。内切，所以|。一二|册一3卜2,所以诟一3 = 2或而一3 = -2 ,解得，篦=25或m=1,故答案为：25或1例2、(1)、(2023秋高一单元测试)已知点P是圆G：5 + 2)2+(y + 10)2=4上的一点，过点P作圆。2：。-3)2 + ()，-2了=1的切线，则切线长的最小值为()A. 2730-1 B. 2730C. 2730 + 1D. 2730 + 2【答案】B【分析】根据两点间距离公式可得两圆心之间的距离，根据三点共线可知当p，a(2共线且点。
5、在gg之 间时，归。21最小，由勾股定理即可求解.【详解】切线长6/ = 4尸。2-1,所以当|尸。21 P，GC 共线且点尸在GG之间时，|PG|最小，由于|GGh/(-23)2+(102)2=13,所以|尸。21=|。|2=|。|-俨6| = 11，所以九二J“2-1=2师故选：B.(2)、(2023 秋,高一单元测试)已知圆 01：。一2)2 + (+ 2)2=9与圆。2：。+ )2+(+ 2)2=1内切，则苏+/的最小值为【答案】2【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可.【详解】圆。的圆心为（九-2）,半径为=3,圆。2的圆心为（一凡-2）,半
6、径为马=1,两圆的圆心距d=|加+九|,二两圆内切,:m + n=2,可得M +/ +2.=4 = 4一（* +2） = 2,打21 +7 ,所以病+1之？.当且仅当网=同=1时，取得最小值，4/+2的最小值为2.故答案为：2.【变式训练21】、（2023秋高二课时练习）（多选题）圆G : （x + 2）2 + （y - m）2= 9与圆G : （x -根尸+ （ + 1）2=4 外切，则加的值为（）A. -5B. -2C. 2D. 5【答案】AC【分析】由两圆外切，结合圆心坐标及半径列出关于参数团的方程，求值即可.【详解】圆G：Q + 2）2+（y-疗=9的圆心为（-2,阳），半径长为3,圆
7、。2 :（x /I +（尹1尸=4的圆心为（根,1）,半径长为2.依题意 yj（2 m）2+ （m4-1）2 = 3 + 2,m2 + 3m 10 = 0，解得，篦=2 或i = 5 .故选：AC【变式训练22】、（2023秋江苏淮安高二统考开学考试）已知圆G：/ + y22x + 2y-2 = 0与圆G：? + y22如=0（2。）的公共弦长为2,则机的值为（）A. B. -C. V6D. 322【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立 Y + y2 - 2x + 2y-2 = 0Dx2+ y2 2mx = 0,得(机i)x
8、+y1 = 0,由题得两圆公共弦长/ 二 2,圆 6：/ 十 y2-2% + 2一2 = 0的圆心为(1,1),半径丁为 J J(2)2 + 22 4X(2) = 2 ,圆心（1,-1）到直线（机-1）X+ y-1 = 0的距离为m-3Vm2 - 2m + 2|(m-l)xl + lx(-l)-l|7(m-l)2 + l2所以m-3 yjm2 - 2m + 2平方后整理得，2 机2一3 = 0,所以根或机=一， （舍去）； 22故选：A.例3、（2022秋江苏淮安高二统考期中）已知圆G方程：/ + 丁=4,圆G：f+ ），-2x-4y + l = 0相交点A、B.求经过点A、3的直线方程.求G
9、A8的面积.【答案】（1）2元+ 4y-5 = 0；叵, 4【分析】（1）判断两圆相交，再将两圆方程相减即可作答.（2）由（1）的结论，求出点G到直线A3的距离，进而求出弦A3长，求出三角形面积作答.【详解】（1）圆C： / + ,2=4的圆心弓（0,0）,半径彳=1,圆02：。l）2 + （y 2/=4的圆心。2（1,2）,半径显然IGG|=a2+22=6,且有|4弓KIGGK4 +2，则圆G与圆G相交,22 a消去二次项得2x + 4y_5 = 0,-hy =4x2+ y2 - 2x-4y + l = 0所以直线A3的方程为2x + 4y-5 = 0.（2）由（1）知，点CQO）到直线43
10、： 2X+ 4一5 二。的距离= 于是|A8|= 2而才=2/二| =而, 所以GA3的面积5=940力=而亭=号【变式训31】、（2023秋高二课时练习）当。为何值时，两圆/+ 92+ 4+ /5 =。和x + y+ 2x 2 ay + 3 = 0.（1）外切;相交；(3)外离.【答案】(1)。= 5或。=2(2) 5 q 2 1 v q v 2 2【分析】(1)化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距，由=|。2 1=4 + r 列式，即可求解.(2)由14弓114+G列不等式，即可求出。的范围.【详解】(1)设圆 G：/ + y22ax + 4y + /5 = 0,
11、半径为 哈 得叶：口一。)+ (y + 2 =9 ,圆心C(a,-2), q=3.C2:x2+ y2 + 2x-2aya2 - 3 = 0,半径为马，得 G ：。+D?+(y 一)？ = 4 ,圆心 G(一 L。)，2=2.圆心星巨 d =| GG 1= J(a + l)2+(_2-a)2 = 12/+6a + 5，因为两圆弓，。2外切，则1=1。2 1=4 +弓=5,所以,26+6 + 5=5,角牟得a = 5或 =2.(2)因为两圆G,c?相交，则M-gKICCK4+G，即 1|。25,所以 1 J2a?+6a+5 5，解得一5 。石+ 即IGGI5,所以，2/+6 + 55,解得av-5
12、或a2.例4、(2023春上海黄浦高二格致中学校考阶段练习)已知圆G：(x + 3)2 + (y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2 = r2(r0)若圆G与圆G相交于A5两点，求厂的取值范围，并求直线A3的方程(用含有的方程表示) 若直线/： 二丘+1与圆G交于尸，。两点，且。尸。=4,求实数%的值【答案】(病2,病+ 2)； 14x + 8y-35 +，=0(2产指2【分析】(1)根据两圆相交，得到卜-2上监。2| + 2,求出的取值范围，两圆相减得到相交弦即直线A3 的方程；(2)联立直线/：丁 =丘+ 1与圆G，得到两根之和，两根之积，利用0P0Q = 4求出的值，并结合根
13、的判 别式舍去不合要求的根.【详解】(1)圆G的圆心为(-31)，半径为2,圆G的圆心为(45),半径为小因为圆G与圆相交于A,3两点，则,一2|on/ 3,HI65则%+马OPOQ = 4,6&26左 + 6 彳=A= 4,攵2+1解得=上5，或攵=土在，22其中k = 21不满足42石， 所以两圆存在两交点N,联立方程F + ；2丁：+1 = 0 ,两方程相减得：2x-4y + 3 = 0 ,I f + 2 = 2：.MN所在的直线方程为2x4y + 3 = 0圆心（0,0）到直线MN的距离为。=|3|,22+423出Io-由垂径定理知：弦MN的长为阿N| = 2x综上，（1） = 1, （2）直线MN的方程为2x-4y + 3 =。，弦MN的长度为皿