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1、【解答】解：DE垂直平分Ab:,DA = DB,VZC=90 ,60 ,：.ZCBD=30 ,：.CD=BD,2：.CD=AD92VAC=6,0=4.3 .如图，在ABC中，N8=45。，ZC=30 ,作AC的中垂线交5c于E,连接AE,若A=4,求8c的长.【解答】解：如图，作于：.EA = EC,：.ZC=ZEAC=30 ,：.ZAEM= ZEAC+ZC=60 ,V ZAME=9Q , AE=EC=4, ZMAE=30 ,：.EMAE=2, AM=?M，VZB=45 , ZAMB=90 ,:,BM=AM=2M，：.BC=BM+EM+EC= 6+2近.4 .如图，C,。是A3的垂直平分线上两
2、点，延长AC, DB交于点、E, AFBC交DE于点、F.求证：(1) A5是NC4b的角平分线;(2) ZFAD=ZE.【解答】证明：(1) ;点。是A3的垂直平分线上的点,：.CB=CA,:/CBA=/CAB,: AFBC 交 DE 于点、F,:./BAF=/CBA,：.ZBAFZCAB.即A3是/CA尸的角平分线.(2) ;点。是A5的垂直平分线上的点，J DB=DA,:./DBA=/DAB,： /DBA=/E+NCAB, ZDAB= ZFAD+ZBAF, ZCAB=ZBAF, ：/E=/FAD.A. 40B. 34C. 36D. 38【分析】利用角平分线的性质定理的逆定理得到BD平分N
3、ABC,则/EBD=/CBD=26 ,然后利用互余计算NA的度数.【解答】解：DEAB, DC.LBC, DE=DC,8。平分NA8C,:/EBD=/CBD=26 ,A ZA = 90 - ZABC=90 - 2X26 =38 .故选：D.【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.例2 （2022秋定州市期末）如图，已知NAO5=60 , 0P平分NAO- PCJ_OA于C 点A. 7cmB. 6cmC. 5cmD. 3cm。是。8上的动点，若PO=6cm,则尸。长的最小值是（）【分析】作尸H_L03于从 如图，根据角平分线的性质得到PC=PH, ZAOP= ZA
4、OB= 30 ,则根据含30度的直角三角形三边的关系得到PC=3,则尸H=3,然后根据垂线 段最短求解.【解答】解：作PHLOB于H,如图，/ OP 平分 NA03,：.PC=PH, ZAOP=ZAOB=30 ,2在 RtZXOPC 中，PC=OP=3,2= 115 .故选：A.2.（2022秋霸州市期末）如图，已知aABC的周长是10,点。为NA5C与NACB的平分线的交点，且。J_8C于。.若0。=2,则A8C的面积是（）【解答】解：作于OFAC F,连接04,丁。为NA8C 与 NAQ5 的平分线的交点，0C8C, OELAB, OFLAC,：.OE=OF=OD=2,：./ABC的面积=
5、 A4O5的面积+ZS30C的面积+ZV1OC的面积=X (A8+BC+AC) XOD2=X10X22= 10,故选：C.2垂直平分线线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中 垂线.性质：性质1:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的 方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段, 直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，
6、该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接 圆的圆心外心.【例题精选】例1 （2022秋来凤县期末）如图，在43C中，AB. AC的垂直平分线分别交于点、F,若/84。=112。，则 NE4尸为（）A. 38B. 40C. 42D. 44【分析】根据三角形内角和定理求出NC+N5=68。，根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA, FBFA,根据等腰三角形的性质得到NE4C= NC,计算即可.【解答】解：./区4c=112。，.ZC+ZB=68 ,:EG、尸”分别为A3、AC的垂直平分线，:/EAB=/B, NE4C=NC,：.ZEAB+ZFAC=6S ,：.ZEAF=44 ,D. 13【解
7、答】解：瓦)垂直平分A3,：.BE=AE,Vy4C=12, EC=5,且ACE 的周长为 30,12+5+AE=30,：.AE=3,：.BE=AE=3,故选：D.2. （2022秋东台市期末）如图，AC=AD, BC=BD,则有（）B. CD垂直平分ABD. CQ 平分NAC3C. A3垂直平分CD【解答】解：.AC=A。，BC=BD,：.AB是线段CD的垂直平分线， 故选：C.综合练习选择题（共3小题）1 .如图，在A8C中，DE是AC的垂直平分线，分别交8C, AC于点。，E,连接若ABO的周长AB=5cm,则线段的长度等于（EBDB . 9 cmA. 8cmC. 10 cmD. 11 c
8、m【解答】解：AC的垂直平分线分别交3C、AC于点。、E,：.AD=DC,：.AABD的周长为 AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+B,V Cabd= 16cm, AB=5cm, BC= 11 6772,故选:D.2.如图,在ABC中，QE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于。、E两点,ZB=/BAD=7S ,则N8AC的度数为（60 ,C. 90D. 85【解答】解：是AC的垂直平分线,：.DA=DC,：.ZDAC=ZC.VZB=60 , ZBAD=1Q ,：.ZBDA = 50 ,A ZDACZBDA25 ,2A ZBAC= ZBAD+ZDAC=7Q +25 =95故选：B.二.
9、解答题分别交1.在ABC中，垂直平分A3,分别交AS、于点。、E,垂直平分AC,AC、BC 于点、M、N,连接 AE, AN.(1)如图1,若N84C=100。,求NEAN的度数；(2)如图2,若N84C=70 ,求NEAN的度数；(3)若NA4C=a (a90 ),请直接写出NE4N的度数.(用含a的代数式表示)【解答】解：(1)- 垂直平分A3,:AE=BE,同理可得：/CAN=/C,:/EAN=/BAC- ZBAE- /CAN,= ZBAC- (N3+NC),在ABC 中，ZB+ZC= 180 - ZBAC=80 , ：.ZEAN=ZBAC- Q/BAE+/CAN) =100 - 80 =20 ；(2) DE垂直平分A3,：.AEBE,：.ZBAE=ZB.同理可得：/CAN=/C,：.ZEAN= ZBAE+ZCAN- ABAC.=(ZB+ZC) - ZBAC,在ABC 中，ZB+ZC= 180 - ZBAC=H0 ,：.ZEAN= ZBAE+ZCAN - ZBAC=H0 - 70 =40 ；(3)当 00 aa90 tl寸，NAN=2a-180 .2.如图，在ABC中，已知NC=90。，。石垂直平分A&垂足为点E,交AC于点。，ZBDC=60 , AC=6,求 AO 的长度.