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1、第七章线性变换（b亩nhu台n）3 .在 中，证明亿hengming）:解题（佗功提示直接3强）根据变换的定义验证即可.证明（zhOngming）任取，则有于是一=.4 .设是线性变换，如果-=,证明：解题提示【利用数学归纳法进行证明.证明 当仁2时，由于必-&=,可得因此结论成立.假设当 时结论成立，即.那末，当 时，有结论都成立.即对k = s+1结论也成立.从而，根据数学归纳法原理，对一切特殊提醒由 可知，结论对 也成立.5 .证明：可逆映射是双射.解题提示只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可.证明1）反证法.假设g +S是.4属于特征值 的特征向量，即 12而由题设可知，且 ，故*比
2、较两个等式，得到*再根据是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此,1 2即 .这与入工入矛盾.所以 + e不是4的特征向量.1 12122）设e ,8 , , g是V的一组基，则它们也是的n个线性无关的特征向量，不妨设它 12n们分别属于特征值入，入，入，即 12n5 二入 g , i = 1,2, , n .i i i根据1）即知.否则，若N入，那末，且不是/的特征向量，这与V中每一个非零向量都是它的特征向量矛盾.所以，对于任意的，都有,即是数乘变换.25 .设V是复数（fCisMi）域上的n维线性空间（kGngji&n）, 4 6是V上的线性变换，且证明（zhengming）:1
3、）如果 是/的一个（yig特征值，那末是6的不变子空间（kongj谄n）;2）至少有一个公共的特征向量.证明1）设 ，则，于是，由题设知因此.根据不变子空间的定义即知，v是4的不变子空间.2）由1）可知V是 的不变子空间，若记，则 是复数域上线性空间 的A一个线性变换，它必有特征值及非零向量，使得即 是 的特征向量，从而。是 和 的公共特征向量.因此， ，存在公共的特征向量.内容总结证明设 是线性空间 上的一个可逆变换.对于任意的 ，如果，那末，用作用摆布两边，得到，因此 是单射；此外，对于任意的，存在，使得，即 是满射.于是 是双射.特殊。曲提醒由此结论可知（府zhi）线性空间V上的可逆映射
4、 是V到自身亿1she n）的同构.6 .设不是线性空间（kongj话n）V的一组基，是V上的线性变换，证明（zh前gming）可逆当且仅当,4 i.a%线性无关.证法1若是可逆的线性变换，设%.ATJ+=0,即A%）=。而根据上一题结论可知 是单射，故必有A向+ （%=。，又由于,2，M是线 性无关的，因此勺=：=i=儿=0 .从而 , ?，线性无关.反之，若, E , , 是线性无关的，那末, 也是V的一组基.于 12n12n是，根据教材中的定理1,存在惟一的线性变换，使得，.显然,i = 152, ,n .再根据教材中的定理1知，.所以X是可逆的.证法2设在基,，下的矩阵为，即12 n由
5、教材中的定理2可知，.4可逆的充要条件是矩阵4可逆.因此，如果/是可逆的，那末矩阵4可逆，从而, 也是V的一组基， 12n即是线性无关的.反之，如果 J , 是线性无关，从而是V的一组基，且A是从12n基，为 , ,x到WX% ，的过渡矩阵，因此人是可逆的.所以/是可逆的线性变12 n12n换.J方法技巧方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造彳的逆变换；方法2借助教材中的定理2,将线性变换，可逆转化成为了矩阵八可逆.9 .设三维线性空间V上的线性变换/在基下的矩阵为1）求.在基下的矩阵（jUzhUn）;2）求/在基1. 3. %下的矩阵（jCi zhCn）,其中Aw 且人工。；3）求/在
6、基1 + 三.灯，凡下的矩阵（川zhVn）.解题（佗功提示可以利用定义直接（zh强）写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个 线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解.解1）由于A 6j = %3鸟 +。口： +口/=%3与与 +。纥|，A 61=a： + 1匕 + 二=。乂与 + a22： +仁，a M =。1声 +%+%向=。3岛+%i4故/在基X , X , X下的矩阵为 321%。31、用=% % %2）由于kA ke2 -+ ai2e2-心西 + u3 十桃巴,% =吨+%与+ %向=%。+工3 +%故/在基,在,下的矩阵为 1233)由于从 , , lj + 5 , 8的过渡矩阵为
7、1 2 312 2 3f 0 0、X= 1 I 0、0 0 1,故/在基 +,下的矩阵(ju zhon)为1223方法（抬ng格）技巧根据（genjCi）线性变换的矩阵的定义，直接给出了 1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵.事实上，这三个题目出mU）都 可以分别用两种方法求解.10 .设/是线性空间（kongj诒n）V上的线性变换，如果看=0 ,但 = 0,求证： 以4以.4Z （A0 ）线性无关.证明 由于4吨=0,故对于任意的非负整数,都有.4 = 4（舁=（）.当k0 时，设+ XyA 4 + + 工/ 人 Z _ 0 ,用.4 一作用于上式，得X.A
8、” = 0，但/k.化工0,因此怎=0 .于是I,+力” = 0 ,再用力I作用上式，同样得到毛=0.依此下去，可得用二七=七二。.从而/k比线性无关.16 .证明:相似，其中八,，是1.2,的一个罗列解题（归功提示利用（Iy6ng）同一个线性变换在不同基下的矩阵的zhOn）是相似的或者 直接相似（x诒ng si）的定义.证法1设V是一个（yig。）维线性空间,且巧.与是V的一组基.此外，记于是，在基, Y下，矩阵人对应V的一个线性变换从而.4=4, i = 1,2, ,n .又因为，?.，也是V的一组基，且 I J故人与相似.证法2 设对4交换两行，再交换ij两列，相当于对行左乘和右乘初等矩
9、阵尸= P亿力和而即为将八中的4和4交换位置得到的对角矩阵.于是，总可以通过这样的一系列的对调变 换，将人的主对角线上的元素,.人变成/人.,这也相当于存在一系列初等矩 阵2,。：,.Q,使得QQ： Q 】qoq b ,令。=。2d 则有= B即行与B相似(xi5ng si).方法他ng馅)技巧证法1利用(llybng)同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这 一性质；证法2利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明.17 .如果(mgub)人可逆,证明(zh6ngm%)彳3与8,4相似.证明由于八可逆，故人存在.于是48),4 =(4彳)84 RA ,因此，根据相似的定义可知与班相似.19 .求复
10、数域上线性变换空间V的线性变换/的特征值与特征向量.已知/在一组基下的矩阵为：,、(5 6-3(0 01) .4=；由，4= -I ()|；5)1() | ().5 2解1)设/在给定基6邛的矩阵为人.由于的特征多项式为花一川二-42-2=A - 5H 14=(/7)(乂+ 2),故/的特征值为4=7 4=-2 .当不=7时，方程组4-,4）X = 0,即为4.11 4乂 = 0, *-5X1 +5. =0.解得它的基础解系为I从而4的属于特征值入=7的全部特征向量为 11 / 1其中我为任意非零常数.当入=_2时,方程组入-.4)X=0,即为 2-5*1 - 4x, = 0, = 0.从而（
11、c6ng白）.4的属于（shdy特征值入=-2的全部特征 2（坨zheng）响向量为其中azhong)/为任意非零常数.4)设，在给定基 ,/下的矩阵为人,由于上的特征多项式为 1234-5-634-/|= I 2-1 =(2-2XA-I-V3X2-I+ V5),-1 -2 A +1故勺特征值为4=,2 4=1 +石 4 = 1-石.当4=2时，方程组4 E - A )X - 0 ,即为f一31 - 6x2 + 3x5 = 0, 芭 + 2x2 - x3 = 0,-X)- 2.r: + 3.0 = 0.，一 2、求得其基础解系为1 ,故a的属于特征值2的全部特征向量为6 =-24或+4财其中勺
12、为任意非零常数.当心=1+隹时,方程组(4七-.4遥=0,即为(-4 +、石)$-6x2 + 3X = 0, X +(1+石)0一占=0,F -24 +(2 + V3)x3 =0.，3、求得其基础解系为-1,故/的属于特征值I+ 4的全部特征向量为卜-542 = 3k2sl -k2s2 +(2-v3其中“为任意非零常数.当4=1 一万时，方程组(2/-.4)X = 0 ,即为(-4-VJ)Xi -6.q + 3xy = 0,10-10 2-1 0 =(X-IT(2 + I),-102故/的特征值为4 = 1 （二重），& = -1 当入=1时，方程组（入E- A）x = 0,即为 11f 3
13、-巧=0.I-Xi +与=0.（0求得其基础解系为。故/的属于特征值1的全部特征向量为其中小小为任意不全为零的常数.当入=-1时，方程组（入E-4）X = 0,即为 22-X)-巧=0,求得其基础解系为。，故,，的属于特征值I的全部特征向量为 r L刍=-/鸟+低，其中（qizhong） I为任意（enyl）非零常数.了方法他ng技巧求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对 每一个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基（chCng ji）向量的线性组合形式.24 . 1）设4，4是线性变换/的两个（俏ng ge）不同特征值，与.灯是分别属于入1心 的特 征向量，证明：与+ ：不是/的特征向量；2）证明：如果线性空间V的线性变换,/以V中每一个非零向量作为它的特征向量,那末是数乘变换.