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1、第七章 线性变换一、判断题1、 在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( ). 2、是向量空间的线性变换, 向量组线性相关, 那么也线性相关. ( ).3 在向量空间中, 则微商是一个线性变换. ( ).4、 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ).5、 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ).6、向量空间的线性变换的象与核都是的不变子空间. ( ).7、 属于线性变换同一特征根的特征向量的线性组合仍是的特征向量. ( ).8、 在一个基下可以对角化, 则在任何基下可以对角化. ( ).9、设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩的零度，有 （）10、阶方阵A至少有一
2、特征值为零的充分必要条件是( )11、.最小多项式是特征多项式的因式. （ ）12、相似的矩阵有相同的特征多项式 （ ）13、设，的特征多项式有个单根，则存在可逆矩阵，使具有对角形。（ ）14、若是数域上维线性空间的线性变换，的特征值为，则可对角化特征子空间的维数之和等于。（ ）15、 是维线性空间的一个线性变换，则。（F）二、填空题1、在的基下的矩阵是那么关于基的矩阵是_.2、 在中的线性变换, 那么关于基的矩阵是_.3、的_都是的属于的特征向量.4、 设是数域上的维向量空间, 的不同的特征根是, 则可对角化的充要条件是_.5、 矩阵的特征根是_.6、复矩阵的全体特征值的和等于_ ，而全体特
3、征值的积等于_ .7、数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为_维线性空间，它与_同构.8、设阶矩阵的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为_ .9、设，则向量是A的属于特征值 的特征向量10、若与相似，则= 11、阶方阵A满足，则的特征值为 12、设A是有限维空间V的线性变换，f ()是A的特征多项式，那么f (A)=_13、已知三阶实对称矩阵的特征值为1，3，则的特征值为 。14、的最小多项式分别是，则矩阵的最小多项式是 。15、设四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式 。三、单选题：1、“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（ ）条件。充分 必要 充分必要 D. 以上都不
4、对2、若线性变换与是（ ），则的象与核都是 的不变子空间。互逆的 可交换的 不等的 D. 不可换的3、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）合同的； 相似的； 相等的； 正交的。4、设三阶方阵有特征值为，其对应的特征向量分别是，设，则=( )A. B. C. D.5、设为可逆方阵，则的特征值（ ）A全部为零 B.不全部为零 C.全部非零 D.全为正数6、设为阶可逆矩阵,是的一个特征值,为的伴随矩阵,则的特征值之一( )A. B. C. D . 7、 设、为阶方阵，且与相似，为阶单位阵，则（ ）。 （A） （B）与有相同的特征值和特征向量 （C）与相似于一个对角矩阵 （D）对任意常数，相似8、阶
5、矩阵与对角矩阵相似的充要条件是（ ）。 （A）的个特征值互不相同 （B）可逆 （C）无零特征值 （D）有个线性无关的特征向量9、设可逆矩阵有一个特征值为2，则有一个特征值为（ ）。 （A） （B） （C） （D） 10、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的（ ） （A）充要条件 (B) 充分而非必要条件 （C）必要而非充分条件 （D）既非充分亦非必要条件四、计算题1、设与相似（1）求的值； （2）求可逆矩阵，使2、中，线性变换关于基，的矩阵为（1）求关于标准基的矩阵；（2）设,求关于基的坐标3、设是的线性变换,（1）求的一个基和维数；（2）求的一个基和维数4、判断矩阵A是否可
6、对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形.5、在线性空间Pn中定义变换：（1）证明：是Pn的线性变换.（2）求与6、已知矩阵A=与B=相似，求x和y的值，并求A的特征向量。7、 的线性变换为求的象与核的维数.8、 设三阶实对称矩阵的特征值为对应的特征向量为，（1） 求对应的特征向量；（2） 求矩阵。9、设3阶对称矩阵的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为，求。10、判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形.。五、证明题1、证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则该向量组也线性无关。2、的两个线性变换为：对任意，证明：. 3、证明：若，则，其中是 中多
7、项式与的最大公因式。4、令是中任意向量，是线性变换: 试证可逆。5、设的两个线性变换与是可变换的。试证的象与核都是的不变子空间。6、若A是一个n阶矩阵，且A2A，则A的特征值只能是0和1.1设A是阶矩阵，且有，证明：-1是A的特征值7、设与为阶矩阵，则与相似。8、设为正定矩阵，证明：。6变 ：明矩为似与，阶值征 ，且阵 和只征则 矩个 间子的是的。变与性个逆 :变，向是式公最项中其，若.意任：性关性组向关线下线量向明.形成，逆一化若化可阵0求求征应值特，征特称阵量特为量征应特的实设数维换换量向的，的求相 知求换换 ：变中间性形形，矩个求角若角可矩数和个数维一换性是标坐关,阵的标关阵矩基换线使使
8、矩求（值似相算条条分非（ 分非件要必分) 条充 似角 是特无个 方 （ （ ） 特个，征一矩可向特的个 （ 值零 可） 相值个 ） 件充相矩阵相，任 （ 矩对一相向特征同与（ ） ，位阶与阵方. . (之的阵伴,特个,逆阶正全 部 部不 为 值则方可 ，是向征其为特方的的 的相 相 ； 阵下基变个换不 等 交 间间不 核的 与变不不 分 必 件） 相阵这项特相题选 行值特阵相阶设 是项最则是分多 为则， 值的称三_) 那，特的(，变线空是 为的， ，相量量的 特属量则 _为特则多为值征全构_与间线_间线成变线间维 _的值全_等和征阵_征矩_是充的则,征同,空维数设量征特是_于关,换的_基于阵的基空 （换线的间维 。之间征角则，的换的间线是 形有阵可则单式项特 （ 多特有的相 式多式小最 条分的值一 阵（ 有零的由换个间性维) ( 化对基则化以基在) 特是合的征根一性线) .间的是的变的量) 阵同在变是一矩相) 是的应不在) 换线个微中间) ( 线那 线量换线空量.(.个的,中量向断