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1、1证明的再认识2,根据“两直线平行，同位角相等、可知NA=N1,由于A、B、。三点在同一条直线上，因此 根据平角的定义，Zl + Z2+ZABC=180 ,所以乙4+NA3C+NC=180。.于是可知，不论三角形 的形状如何，它的三个内角的和等于180。.图 证明格式表示.已知：A8C.求证：ZA+ZB+ZC=180 .证明：如图27.1.3,延长线段A3到D 过点8画班AC 因为BE/AC（画图），所以 ZA=Z1 （两直线平行，同位角相等），ZC=Z2 （两直线平行，内错角相等），又因为Zl + Z2+ZABC=180（平角的定义），所以ZA+ ZABC+ ZC=180（等量代换）.例 求
2、证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.AB D图 已知：如图27.1.4, NC3Q是ABC的一个外角.求证：NC8D=NA+NC证明：因为ZA+ZABC+ZC=180（三角形的内角和等于180。），所以Z?l+ZC=180o-AABC（等式的性质）.又因为ZABC+ZCBD=180（平角的定义），所以ZCB= 180 -AABC（等式的性质）.因此ZCBD=ZA+ZC （等量代换）.由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把上述命题也作为定理.己知： 如图 2722,在ABC 和中，NACB= NA C 3 =90。，ABA，B； ACA C .图 2722
3、4求证：ZVIBC空，B，C，.证明 如图2722那样，把A5C和4 3 C拼在一起.因为NA / C，5 =ZACB=9Q0 （已知），所以/B C 3=180。（等式的性质），即点8、C、8在同一条直线上.在?! 8,8中，因为A，B，=43=A B （已知），所以（等边对等角）.在A3C和?! 8C，中，因为所以所以因此ZACB=ZA（已知），ZB= ZB （已证），AB=A z B x （已知），ABC 四A3C， （A.A.S.）.与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法证明PO=PE.已知：如图27.2.3, 0c是NAO3平分线，点P是OC上任意一点，PD1. Q4
4、, PE LOB,点。、石为垂足.求证：PD=PE.分析 图中有两个直角三角形P。与PEO,容易看出满足（A.A.S.） 定理的条件.证明 因为尸。_1_。4, PEJ_OB（已知），所以/PDO=/PEO=9C （垂直的定义）.在PDO和PEO中，因为ZDOP= ZEOP （已知），ZPDO=ZPEO （已证），PO=PO （公共边），PDO经4PEO （A.A.S）.PD=PE （全等三角形的对应边相等）.OD A图 已知：如图2724, QZXLQ4, QELOB,点。、石为垂足，QD=QE.求证：点。在/AOB的平分线上.分析 为了证明点。在NA03的平分线上，可以画射线利用（H.L.
5、）定理证明。0。之。0。从而得至U ZAOQ= /BOQ.已知：MN上AB,垂足为点C, AC=BC,点P是直线MN上任意一点.求证：PA = PB.证明因为MN.LAB（已知），所以NPCA=NPCB=90 （垂直的定义）.在PCA和PCB中，因为AC=BC（已知），ZPCA=ZPCB（已证），PC=PC（公共边），所以PC4也）.因此PA = PB（全等三角形的对应边相等）.1.平行四边形平行四边形判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.已知I：四边形 A5C。中，AB/CD, AB=CD.求证：四边形A8C。是平行四边形.分析 要证明四边形48CO是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此，可以连结其中一条对 角线，然后证明内错角相等.图 证明如图2731,连结AC因为AB/CD, 所以 ZBAC=ZDCA（两直线平行，内错角相等）.在A3C和CD4中，因为AB=CD,ZBAC=ZDCA9AC=CA,所以AABCACDA（S.A.S.）.因此 ZBCA = ZDAC（全等三角形的对应角相等），BC/DA（内错角相等，两直线平行）.所以四边形A3CO是平行四边形.