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1、数值分析例题详解 1. 用矩阵的干脆三角分解法解方程组 =737353 0 1 03 4 2 11 0 1 00 2 0 14321xxxx 解：设 =4434 3324 23 2243 42 4132 31210 2 0 111113 0 1 03 4 2 11 0 1 00 2 0 1uu uu u ul l ll ll 由矩阵的乘法可以求出 =1 0 1 01 2 11 01111143 42 4132 3121l l ll ll，=21 21 0 10 2 0 1 0 2 0 14434 3324 23 22uu uu u u 解下三角方程组 =737351 0 1 01 2 11 0
2、14321yyyy 可得 4 , 6 , 3 , 54 3 2 1= = = = y y y y。 。 再解上三角方程组 =463521 21 0 10 2 0 14321xxxx 可得 1 , 1 , 2 , 21 2 3 4= = = = x x x x 。 。 2. 设有迭代格式 ) , 2 , 1 ( ,) 1 ( ) (L = + =-k g Bx xk k 其中 -=0 5 . 0215 . 0 0 5 . 0215 . 0 0B，-=5 . 015 . 0g 试证明该迭代格式收敛，并取Tx ) 0 , 0 , 0 () 0 (= ，计算) (kx 证明：（1 ）设 l 为 B 的
3、特征值，则0 = - I B l，即 05 . 0215 . 0 5 . 0215 . 03= =- - -llll， ， 故 故 03 , 2 , 1= l。所以 1 0 ) ( = J r ，故雅可比迭代法发散。 （ （2 ）高斯- 赛德尔迭代法的迭代矩阵 G 的特征方程为 6 , 0 , 0 , 0322 12= = = - =l l l ll ll 因为 1 6 ) ( = G r ，故高斯- 赛德尔迭代法发散。 4. 给定方程 0 1 ) 1 ( ) ( = - - =xe x x f ， ， （ （1） ） 证明方程在1 ，2 内有且仅有一个根； （ （2） ） 到 用迭代法求出方
4、程的根，精确到 5 位有效数字； （ （3） ） 说明所用迭代法是收敛的。 证明：（1 ）因为 0 1 ) 2 ( , 0 1 ) 1 ( - = = x xe x fx，可得方程在1， ，2。 内只有一个根。 （ （2 ）将方程改写为 xe x-+ =1 构造迭代格式 = + =-+5 . 0, 3 , 2 , 1 , 0 , 101xk e xkxkL， ， 计算可得 27846 . 1 , 27847 . 1 , 27844 . 1 , 27856 . 1 , 27812 . 1, 27969 . 1 , 27409 . 1 , 29431 . 1 , 22313 . 19 8 7 6
5、54 3 2 1= = = = = = = =x x x x xx x x x， ， 所以 27846 . 1* x 。 。 （ （ 3 ） 记xe x-+ =1 ) ( j ， 则xe x- = ) (j ， 当 2 , 1 x 时 ， 2 , 1 1 , 1 ) 1 ( ), 2 ( ) (1 2 + + = - -e e x j j j , 又1 ) (1 =- -e e xxj，所以迭代格式 L , 2 , 1 , 0 ), (1= =+k x xk kj 对随意 2 , 1 0 x均收敛。 5 、给出下列函数表，求 ) (x f 的牛顿插值多项式给余项。 1x 1 2 4 6 7 )
6、 (ix f 4 1 0 1 1 解：（1 ）构造差商表： ix ) (ix f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 1 4 2 1 -3 4 0 -4/3 5/6 6 1 -3/5 3/5 -7/60 7 1 -1/2 1/2 -1/9 1/180 （ （2 ）由差商表可得 4 次牛顿插值多项式为 ) 6 )( 4 )( 2 )( 1 (1801) 4 )( 2 )( 1 (607) 2 )( 1 (65) 1 ( 3 4 ) (4- - - - +- - - - - - + - - =x x x xx x x x x x x N （3 ）插值余项为 ) 7 , max( ), 1 ,
7、(min() 7 )( 6 )( 4 )( 2 )( 1 (! 5) () ( ) () 5 (4x xx x x x xfx N x f- - - - - = -xx 6. 利用 显式欧拉 公式求解初值问题，其中步长 0.1 h = 1,(0,0.6)(0) 1.y y xxy= - + +=。 。 解： 010( , ) 1, 1, 0.1,0.1( 1 ), ( 0,1,2,3, )1,1.000000;1.000000;1.010100;1.029000;1.056101;1.090490;1.131441.n n n nkf x y y x y hy y x y nyyh+= - +
8、 + = = = + + - = ( )201. 1. - . 400 11du tut h d uu= -=在 , 上,取 ,用 求 的 例 预 校法 数值解。( )( )01 12jj j j j j j jjtu u hf t u u h u u hku+ = + = + - = + 解 预估: , ：( )( )( )01 1 12j j j j j jhu u f t u f t u+ + + = + + 校正: , ,( )( )0 11012 22j jj j jjjt thu u uu u+ = + - + - ( )1 2. 0,1,2jhu k k j = + + = 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页