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1、数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？ * * e x -x=x x3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。4、取血。1.41,计算（夜-17，不用计算而直接判断下列式子中哪种计算效果最好？为什么？,(5) 99-7072.应用梯形公式b a计算积分，=公的近似值，在整个计算过程中按四舍五入规则取 五位小数。计算中产生的误差的主要原因是截断误差还是舍入误差？ 为什么？5 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出他们有几位有效数字，并给出其绝对误差限与相对误差限。（1）% * = 1.102
2、1； （2） %2* = 31. （3）七* = 560.40。6 .下列公式如何计算才比较准确？ 如 1 , 1；（3） Jx + - Jx- , |x| 1 o2Jn / + N X N x.序列y“满足递推关系 ” =10几_T , n = l,2,若 为 =75。1.41,计算到加时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？数值分析思考题71、判断如下命题是否正确：(a)对应于给定特征值的特征向量是唯一的；(b)每个阶的方阵一定有个线性无关的特征向量；(c)实矩阵的特征值一定是实的；(d) 一个阶方阵奇异的充分必要条件是：0是该矩阵的特征值；(e)任意的阶的方阵，一定与某个对角矩阵相似；(f
3、)如果两个阶方阵的特征值相同，这两个矩阵一定相似；(g) 一个阶方阵的所有特征值都为3这个矩阵一定是零矩阵；2、下面各类的任意阶矩阵，哪些矩阵的特征值一定可以用有限的代数运 算精确求解？(a)实对称矩阵；(d)上三角矩阵；(b)对角矩阵；(e)上Hessenberg矩阵；(c)三对角矩阵；没有重特征值的实矩阵。3、对非奇异的矩阵，将下面各算法的复杂度由低到高排列出来：(a)计算矩阵的所有特征值和特征向量；(b)用列主元Gauss消去法计算矩阵的LU分解；(c)计算矩阵的逆；(d)回带求解系数矩阵为上三角的线性方程组。4、求解特征值问题的条件数与求解线性方程组问题的条件数是否相同，两者分别是什么
4、？实对称矩阵的特征值问题总是良态的吗？数值分析思考题81、一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分方程数值方法的阶？2、显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还要使用单步法？3、刚性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳定方法是什么？4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶dy_(1 ) dxdy_(1 ) dxdy_(1 ) dxRunge-Kutta法、四阶Adams方法计算下列微分方程初值问题的解。= x3-,1x2%y(l) = 0.4满足常。数值分析思考题21、怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已 知方
5、程：/(x) = e* + 10x-2 = 0在(-co, +Q0)有实数根，用二分法求它的 全部实根，要求误差满足氏7*|10-2?若要求人7*|0,应用牛顿法于方程/一 =(),导出求立方根四的计算公式，并 确定常数应和r使得迭代法“A+i = Pa+ 冬 I A = 0,1,2,X局部收敛于如，并使收敛阶尽量高。最高是几阶的方法?4、对于不动点方程x = 0(x), (x)满足映内性和压缩性是存在不动点的充分条件，他们也是必要条件吗？试证明：(1)函数夕(x) = 2x-l在闭区间0, 2上不是映内的，但在其上有不动点；(2)函数 0(%) = 111(1 + 1)在任何区间6 可上都是
6、压缩的，但没有不动点。5、设d是方程f(x) = 0的根，且八丁)。0,广(%)在是的某个邻域上连续。试证明：Newton迭代序列%满足6.设有方程工6.设有方程工6.设有方程工6.设有方程工=1 +sinxo对于迭代法=9(4)=1 +，加(乙)，试证：对任何 N1.5,迭代函数夕(X)在闭区间0.5, b上满足映内性和压缩性。用所给方 法求方程的根x*,使其有8位有效数字。数值分析思考题3Gauss消去法和LU三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工 作量为多少？平方根方法的工作量为多少？2、求解一个线性方程的LU分解法什么条件下可以保障成功？选主元 的目的是什么？列主元和全主元Gauss
7、消去法求解线性方程组各有 什么优点？3、仅当系数矩阵是病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法 才会失败吗？系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的吗？ 一 个奇异的矩阵必没有LU分解吗？ 一个非奇异对称的矩阵不是正定就 没有Choi esky分解吗？4、奇异矩阵的范数一定为零吗？范数为零的矩阵一定为零矩阵吗？ 矩阵1-范数和2-范数，通常哪个更容易计算？为什么？构造一个条 件数为1的非单位矩阵的方阵。5、若Ae/T是列严格对角占优的(对每一列j： 1 jnf满足： 到册旬)，证明A有三角分解A = U ,且，. j) o /=!6、设% =，七7R，Pj b, j = 12证明xI=Y
8、Pjxjj=i是R上的一种向量范数。7、证明矩阵范数的性质：|4|4, |4ffiLo若a对 称时，|a|f=(a12+儿,其中4,，= 12为4的特征值。8、已知线性方程组2.0002 1.9998 1.9998 2.0002 (1)求系数矩阵的逆*和条件数&次/( A)；(2)若方程组右端有微小扰动劭=(2x10-4, 2x107)7,不用求解方程组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。9 .用三角分解法求解方程组2410241024101141621110 .用列主元消去法求解方程组122一3+39=1518% + 3%2 =-15X1 + 工2 += 611.用Choi
9、 esky分解法求解方程组16481648164845-4-4=310数值分析思考题41、对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节 点数目越多,得到的插值多项式越接近被逼近的函数？同样的结论对 三次样条插值函数成立吗？样条插值函数具有较好的稳定性吗？2、数据量特别大时，你选择哪种方法？（1） Lagrange插值多项式, （2）三次Hermite插值函数，（3）三次样条插值函数，（4）最小二乘拟合。3、何为高次插值的Runge现象，应如何避免？4、分段低次插值有何优缺点？如何估计误差？5、已知函数/（%）的下列观测值：巧0. 100. 150. 250. 30/（X,）
10、0. 9048370.8607080.7788010. 740818利用Lagrange或Newton插值方法计算,（0175）的近似值。若另 外测得一个新点：/（。2） 0.82,试估计用上述方法计算/（0.175） 的近似值的误差。6、证明关于互异节点巧二的Lagrange插值基函数4（%）二满足（1） 三 1 ；1=0（2） 三 N, j = l,2, ,；1=0n叫j = l,2,1=0 力4（。）q=。，J = 1=0（一 1）%0/%，= + 17、插值与拟合的相同点和不同点分别是什么？8、写出n次多项式拟合的一般形式，奇函数和偶函数的多项式拟合 的一般形式。9、超定（矛盾）线性方
11、程组的最小二乘解有哪些情况？说明它与广 义逆的关系。数值分析思考题51、简述一般插值型求积公式的积分原理。Newton-Cotes求积公式为什么没有Gauss型求积公式代数精度高？2、梯形法与两个节点的Gauss型方法哪个更精确？证明Simpson方 法的代数精度为303、确定下列数值积分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。(DJ(x)公 A_1/(-/z) + 4/(0) + A,/(/z)；J-h(2) f(x)dx + w2/(2) + w3f (1) + wj (2) o4、将1, 2四等分，使用复化的两点Gauss-Legendre公式计算的数值积分，误差不超过10-8。5、建立Gauss型求积公式计算4/(%) +4/()。数值分析思考题61、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么？2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。3、详述你所知道的非线性方程(组)的迭代法以及收敛性结果。4、举例说明解线性方程组的SOR方法的最佳松弛因子与何种因素有关？5、指出解非线性方程组的Newton法的主要工作量所在。分别用 Newton法和Broyden秩1校正方法求解如下方程组在(1, 1, 1)，点附近的根：12X %2 4%3 7 = 0, X)2 + 10%2 %3 1 1 =0，%；+10x3 - 8 = 0.