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1、射洪中学高2023届高考适应性考试（二）理科数学试题只有一项是符合题目要求一、选择题（本题共12小题共60分.在每小题给出的四个选项中,的）1.设集合 1B = xe Rx2 4 则 4。=(A. -2, +oo)B. (1, +oo)C. (1,2D. (- 8,+8)【答案】A【解析】【分析】 解不等式求得集合8,再利用并集的运算求得结果.【详解】由已知B = xH|%24 = xA|2x0,11 V1 V-设，(x) = Inx-x + l,xe(0,+oo),/(%) = 1 =, xe(0,l),f (x) =0/(x)单调递增，XXX无(l,+oo)/(x) = _= 0/(尤)单
2、调递减，(九)3 =Z(l)=lnl-l + l = 0,/.Z(x)0,/.lnxx-l, g(l-(c + 2) = ln(c +2)2+l (c + 2+c= 21n(c+2)-/-3c-3W2(c+l)-3c-3 = -c-10,所以函数q(x)有且仅有一个实数根；故正确；对于，由/(% ) = /(&) = /(&) = ，(。/) (%七)，1/ 1,则为=1 - 3, x2=t,x3,则(I-%)。+%3)=/t + t t J7 / t (1、( i A ( ) e(/+广+/-1)以用() = e / + , 则/za)= e / + - +e 1- =，设加) = /+/+
3、% 1,显然2”)在(0,1)上单调递增，且加(0)0,所以存在吞e(O,l),使根Qo) = O,且当/(0,幻时，/0),则 AG = (0,0j),所以 MG = AG-AM= (-4A,-42,t),设平面ABF的法向量为机=(%, X, zJ ,因为 AB =(4,0,0), Ab = (0,1J),AB -m = QAF-m = 0令 Z =1,得加=(0/,1),因为MG平面 ABF,所以MGm = 0, BP -4At + t = 0,解得所以4.4AM 1AM 1AC 4 AC 4所以当4吆二L时，MG/平面ABE. AC 42220.设耳，与分别为椭圆石：会+ 2r = 1
4、(3/?0)的左、右焦点、，点、P h- 2在椭圆E上，且点尸和(3、”关于点C 0,-对称.(I)求椭圆方程；(H)过右焦点尸2的直线,与椭圆相交于A5两点，过点p且平行于的直线与椭圆交于另一点。，问 是否存在直线/,使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出/的方程；若不存在，说明理由.22【答案】(I) + 2L = l (II)存在直线/为3x 4y 3 = 0满足题意，详见解析43【解析】【分析】(I )根据对称性求出点月，从而可得出椭圆E两焦点的坐标，利用椭圆定义求出。的值，结合。 的值，可求出6的值，从而写出椭圆E的方程；3(H)设直线/的方程为y = Z(x1),可得出直线PQ的
5、方程为y 二 Z(x 1),设4(斗，y),将直线/的方程与椭圆的方程联立，消去得出有关x的一元二次方程，并列出韦达定理，同理将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立可得出点。的坐标，由已知条件得出线段A5与PQ的中 点重合，从而可得出有关人的方程，求出左的值，即可得出直线/的方程.33【详解】(I)解：由点尸(1,)和心0关于点CQ)对称，得月(一1,0),24所以椭圆E的焦点为6(1,0),8(1,0),由椭圆定义，得2a=PF + PF2=4.所以 a = 2, b = /a2 c2 =#)22故椭圆E的方程为工十二=1；43(II)解：结论：存在直线/,使得四边形PA3Q的对角线互相平行.理
6、由如下：由题可知直线/,直线夕。的斜率存在，3设直线/的方程为y =左。-1),直线PQ的方程为y不=以工一 1)工+匕=1由彳43，消去yy = k（x-l）得（3 + 4严）Y 8心 + 4/ - 12 = 0 ,由题意，可知A。，设A（X，y）, 3（,巴），4-123 + 4公由V消去儿3y- = k（x-l1 乙得（3 + 4攵2）k2（8 左 2i2Z）x + 4 攵 212Z 3 = 0,13由A0,可知攵w,设。（&，为），又尸、一）， 28k2-nk4公-3-3 + 4?-若四边形PABQ的对角线互相平行，则PB与AQ的中点重合, 所以X ；*3 =毛；1 ,即%一=1一九3
7、故（X +X2）2一4%2 =（1一天）2所以（3 + 4。A 4V-12-4-3+ 4公。、24左212攵3、所以直线/为3x 4y 3 = 0,四边形B45Q的对角线互相平分.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，对于直线与椭圆的综合问题，常采用韦 达定理法，本题中注意到四边形为平行四边形，利用两对角线互相平分结合韦达定理进行求解，这是解题 的关键，同时在解题中也要注意韦达定理法适用的情形.21.已知函数/（x） = alnx + L（ wO）（1）求函数/（X）的单调区间；（2）若x（x）KO =4c,（其中匕。），求。的取值范围，并说明也。之（。/）.【答案】（1）
8、当0时，无）的单调递减区间是（0,+”）,（1A（当0时，单调递减区间是0,-,单调递增区间是一,+ooa)（2） （e,+oo）,答案见解析【解析】【分析】（1）易知函数/（X）的定义域为（0,+）,求导并对参数。进行分类讨论即可得出结论;1 ）（2）由（1）中的结论可知，若x,f（x）0 = g,c,则函数的最小值必须满足/ - e,再利用零点存在定理可得函数/5）在-和一内分别存在一个零点，即可得【小问1详解】1 ax-(% 0).当0时，fx） 0时、令/（x） =。，得了=， 1 、所以Ax）的单调递减区间是0-,单调递增区间是一,+8 .aX(n 0-k a)a(1 ),+oo )
9、f(x)0+/（X）、极小值1当X变化时，/（%）, /（X）的变化情况如下表【小问2详解】由x| /(九)K0 =c可得,函数/(x)存在两个零点C；由(1)知：当40时,因为/(%)在0,一I(1 )内是减函数，在一,+8内是增函数,)门、1所以要使3/。0二4可，必须/ - 0,即ln +。 e),则 g(x) = l =(x e).x x当工e时，g(x)0,所以g在叵依)上是增函数.所以当 o e 时，g(Q)= a 21na g(e) = e 20 ,(1 )所以/ 0.a1 1 (1 因为e时r 1, f - 0,a aJ(n 因为/(X)在o,l a)I 内是减函数，在一,+8
10、内是增函数,I。)/ - 0, /1 1)由零点存在定理可知X)在 内存在一个零点，不妨记为人,a7在一内存在一个零点，不妨记为c. a)所以兀(尤)0=也c,综上所述，。的取值范围是(e,+oc).因为/? , c e ,1 , a y l d j所以0, c 仁(0,1).【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用不等式解集与函数零点的关系，将%(%), A B = 120o2ac2故选：Co【点睛】本题考查余弦定理，考查用余弦定理求角。余弦定理公式较多，注意选用：如22 _h2b1 =a2 +c2 2gccos B，变形为 cos B =。2ac5 .若|q| = 2cos15。，仍 |=4s
11、inl5。，6 的夹角为 30。,则北等于（）A. BB. V3C. 2GD. y22【答案】B【解析】【详解】分析：先根据向量数量积定义化简，再根据二倍角公式求值.详解：因为。人=2cos15x4sin 15xcos300 = 4sin30cos30 = 2sin600 = g，所以选B.点睛：平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式。Z?=|a1|Z?|cos。；二是坐标公式。+ ,%；三是利用数量积的几何意义.求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.化简为一Gsin?，+ 2sin，+ 3 + 2m = 0，要使
12、/与。有公共点，贝U2机= 641?”2sin， 3有解,令sin / = q,则,令 f(a) = 6a2 -2a-3 , (TWaWl),对称轴为。=,开口向上， 6(-1)= 6 + 2-3 = 5，Q、- ,31 2 19/ min = 口=-7一3 = -丁，6 o 6619 19 5一一一2m5,即根的取值范围为-7T.6L 12 2.方法二:直角坐标方程由曲线。的参数方程为|二百Cs2： %为参数，消去参数心可得丁=一组工+ 2, y =2sin t3x+y + 2m = 02联立 1273,得3y22y-4m-6 = 0(-2 K2),即4m = 392y 6 = 3 y y2
13、 =x + 2I 3319 51292 ,ioio5即有一一4m10,即WmW,，根的取值范围是 3122【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质 上差不多，但容易忽视y的范围限制而出错.选修45：不等式选讲23.已知函数/(x)=工一+|x-2a + l|.（1）当。=2时，求不等式/（力24的解集;（2）若/（力24,求q的取值范围.311【答案】（1）或工25；(2)1【解析】【分析】（1）分别在x43、3Vx4和xN4三种情况下解不等式求得结果；（2
14、）利用绝对值三角不等式可得到了（x）（q-1/，由此构造不等式求得结果.【详解】(1)当 =2时,/(x) = |x-4|+|x-3|.当(3时，/(%) = 4+3 = 7 2%24,解得：当3x4,无解;当xZ4时，/（x） = x-4+x-3 = 2x-74,解得: 综上所述：/（九）24的解集为或12口1.（2） /（工）=卜_2+卜_2。+ 1|2（1_2）_（1_2 + 1） = _2 + 2_ =（_1）2（当且仅当2a 时取等号），/.（6Z-1）24,解得：一1 或23,二。的取值范围为（Y）,lU3,+8）.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的
15、问题，属于常考题型.6. “uJA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合指数函数性质，不等式的性质，即可判断.【详解】不等式-1Y-等价于。人,由aZ? + l不一定能推出,例如。= 3,b = 3时，+ 但a = b,所以“-口 ”是“。人+的充分不必要条件.故选：A.7 .三棱锥ABCD中，AC,平面BC。，BDA.CD.若A5 = 3, BD = L则该三棱锥体积的最大值为( )42A. 2B, -C. 1D.-33【答案】D【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得平面AC。、与ACS
16、,从而2利用基本不等式求得S acq0,0),则由 4?2+82=人。2 得6+/=8,所以 S A。=LACCD = Lab = Lx2a/70, b0,若不等式一 + -2恒成立，则2的最大值为（）a b a + 3bA. 9C. 18B. 12D. 24【答案】B【解析】【分析】变形利用基本不等式即可得出结果.3 1 m【详解】由一+ :2 a b a + 3b,口 ，/ 31、 9b a ,付机 V (q+ 3Z?)(I) 1 F 6.a b a b9/7 a49ci又一+ + 6N2 + 6 = 12 (当且仅当一=,即 =3时等号成立)，a ba b：.m最大值为12,故选：B.【
17、点睛】该题考查的是有关求参数最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，属于简单题目.10.已知万，尸2是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且N4。8=60。,户用=3|。闾，则0的离心率 为()A. B.巫C.不D. V1322【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出I尸耳|,户阊，结合余弦定理可得答案.【详解】因为归周=3|尸用,由双曲线的定义可得归上一归闾=2归耳| = 2m所以 PF2= a, PF= 3a ； 因为/可珠=60。，由余弦定理可得4/ = 9/ + / 一 2x 3aa-cos60，整理可得4c2 =7,所以/=. = 1,即6 =且. a242故
18、选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立。，c间的等量关系是求解的关键.11.已知函数/(x) = sinx + cosx(N)则下列结论止确的是()兀兀A. = 1时，/(元)在一77，： 上单调递增2 4B. = 4时，的最小正周期为兀C.几=4时，/0)在R上的最小值为1D.对任意的正整数，的图象都关于直线x = ?对称4【答案】AD【解析】【分析】根据辅助角公式、降基公式，结合正弦型函数的最值、最小正周期公式、对称性逐一判断即可./( 兀、【详解】对于选项 A： = 1 时，则/(x) = sinx + cosx = /2sin x + -,I 4j712714兀
19、 7142兀 71且尸1在一,上单调递增，兀兀所以小)在上单调递增，故A正确;3 + cos4x对于选项B、C： = 4时，则/(x) = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x-2sin2 xcos2x = l- -sin2 2x = l-x-COS22227r所以/(x)的最小正周期为7= = ,故B错误；42当4x = 2kn +凡keZ,即工=如+ 二Z时，则/*) =小竽位取到最小值;，故C错误;2442对于选项D：因为了sin兀“兀X + cos X (2 )2cosx + sinx = /(x),7T所以对任意的正整数，/*)的图象都关于直线x对称，
20、故D正确；4故选：AD.12.设“X)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有/(17)+ .f(l + x) = 0恒成立，如果实数入满足不等式组17 V 7，那么加2+/的取值范围是()m 3A.(3,7)B.(9,25)C. (13,49)D.(9,49)【答案】C【解析】【分析】根据任意的X都有/(I-x) + /(l+x) =。恒成立，将不等式/(-6加+ 23)+ /(/8/)。化为 /(m2 -6m + 23) f(2-h2 -8n),结合单调性，可得加？ _6加+ 23 2 8，然后根据圆的几何意义，即可求得m2+/的取值范围.【详解】V对于任意的X都有了(I - X)+ /(
21、I + X)= 0恒成立,/(I 7)=二/(1 + %), / /(m2一6帆 + 23)+ /(2 8)0,/. /(根2 6m+ 23) /l + Q/ -8/t-lJ , /(m2-6m + 23)/ri-(n2-8n-l)l = /(2-/?2-8n), /(%)在R上是增函数，m2 -6m+ 23 2-n2 -8n，即(加一3) +( + 4) 3)内的点到原点的距离的取值范围为(用工工5 + 2)，即(屈,7),/+的取值范围为(13,49).故选：C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)2兀 2 5兀13 . cos-cos 1212【答案】22【解析】【分析】根据
22、诱导公式以及余弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】cos27C 2 57t7cos = cos1212兀2COS12(7171 2兀 .2兀兀= cossin 一 = cos=1212故答案为：YA.214 .若双曲线二二1(加0)的渐近线与圆f + y24丁 + 3 = 0相切，则团=【答案】6【解析】【分析】根据双曲线方程，写出渐近线方程，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，结合直线与圆相切，建立方程，可得答案.【详解】由双曲线方程f斗=1（根0）,则其渐近线方程y = mx, m由圆方程Y + y24y + 3 = 0,整理可得V+U 2）2=1,其圆心为（0,2）,半径r=1,由两个渐近
23、线关于y对称，则不妨只探究渐近线，=如，整理可得如一丁 =。，0-2L由题意，可得/= 1，解得相=y3 .Vl + m2故答案为：515.为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在 花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为 “阳光小组已知每颗种子发芽概率为，全年级恰好共种了 500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”.（结果四舍五入法保留整数）【答案】410【解析】【分析】根据题意可计算出一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为0.8192,再根据二项分布的期望值即可 求得结果.【详解】由题意知I
24、,每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况， 其概率为 C： x0.84 +C； x（l-0.8）x0.83 =0.8192,即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为08192 ,且被评为“阳光小组”的盆数X服从二项分布XB（500,0.8192）,所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有500x0.8192 = 409.64410.故答案为：410:-, X （ 0, +OO）16.已知函数力=卜.，则下列命题中正确的有.函数/（幻有两个极值点；若关于X的方程/（%） =，恰有1个解，则fl;函数/（x）的图像与直线x+y + c = 0（c、R）有且仅有一个
25、交点；若西）=/（工2）= /（九3），且为/工3，则（1 %1）（%2+刍）无最值.【答案】【解析】 【分析】对函数/(X)的解析式进行化简并画出函数图象，由图可知函数“X)有两个极值点，即正确; 利用函数与方程的思想可得，(x) =广恰有1个解时1或0,可知错误；易知y = -X和y = x+2是 函数/(x)的两条切线，分类讨论参数。并通过构造函数证明即可得出了(x)的图像与直线 X+y + C = 0(CWR)有且仅有一个交点，故正确；分别解出玉,工2，&的表达式，代入(1一%)(工2+毛)并 构造函数利用导数研究其单调性可得(1-玉)(+&)有最小值，即错误.【详解】由函数,f(x)
26、=萨 )可得X)二I In (1-x),xg0，口,+8)e(0,1)，ln(l-x),xe (-a,0函数的图像如下图所示：对于，由图可知，x = 0和x = l是函数/(%)的两个极值点，故正确；对于，若函数g(X)= X)T恰有1个零点，即函数八)与丁 =，的图像仅有一个交点，可得1或 1 = 0,故不正确；对于，因为函数y = ln(lX), 丁=七在点(0,0)处切线斜率女= = 1,在点(0,0)处的切线为 y = x,函数y=,，V =在(Ll)处的切线斜率为左=-；=-1,在(1,1)处切线为y = x+2,如图中虚线所示，X1易知当0WcW2,即时，的图像与直线+y + c = 0恰有一个交点；当一 c2,即 cv-2 时，令，二一工一。，得 V+cx + luO， X令p(x) = d+c%+l(x 1),则 p(l) = 2 + c0,