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1、南通市2010届高三模拟卷（二） 数学南通数学学科基地命题一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程.请把答案直接填写在答题卡 相应位置上.1.若集合 A = x 2A 4 = a, +oo）,则 a=.4 =2 + ai, Z2 =2-i,若I Zi | 4.2sin x cos x8 .如图，在 RtZABC 中，ACBC, D 在边 AC 上，已知 BC = 2, CD=1, ZABD = 45 ，贝U AD=.Read xIf x0, Z?0)的左、右焦点分别为F、F2, P是双曲线上一点，且PFPF2, PFrP / h2F2 =4ab,则双曲线的离心率是.
2、12 .在周长为16的APMN中，MTV = 6,则PM-PN的取值范围是,13 .设函数/(x) = x(a) +总斤，Ao为坐标原点，An为函数y=f (x)图象上横坐标为( N)的点，向量“=&_&,向量i=(l, 0),设。为向量与向量i的夹角，则满足 k=的最大整数n是.k=314 .已知L和12是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A,动点B、C分别在L和12上，且8c = 3后，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为一.二.解答题:本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.JTJT7715 (本题满分14分)已知o (0,
3、)，,e(,乃)，cos2= ，sin(a +尸)=.2299(I)求cos/的值；(II)求sina的值.16 (本题满分14分)如图，在四棱锥PA8CD中，底面A3CZ)是正方形，侧面叫DJL底面ABC。,且P4 = PD = Y2aD,若、尸分别为尸。、8。的中点.(1)求证：石方平面PAD； (II)求证: 2第16题B17 （本题满分15分）已知等差数列2满足：q = 8,% = 0。数列4的前n项和为S= 2 n*）（1）求数列Q和的通项公式；（2）令q,=2T试问：是否存在正整数n,使不等式勿%+1。+% 成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由。18 （本题满分15分
4、）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示 意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为设AB=2x,BC=y. （ I ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；（II） 求当x取何值时，凹槽的强度最大.图219 （本题满分16分）如图，已知椭圆C： W +, = i（qo）的长轴长为4,离心率e = g, O为坐标 原点，过3的直线/与x轴垂直.P是椭圆上异于A、B的任意一点，尸轴，H为垂足,延长HP到 点。使得P=PQ，连结4。延长交直线/于点N为MB的中点.（1）求椭圆。的方
5、程；（2）证明。点 在以AB为直径的圆。上；（3）试判断直线QN与圆O的位置关系.20 （本题满分 16 分）已知/（x）=|3-1|（幻=|。39|（。0）/氏,f （x）, A（x） 力（x）且/（）=”（）当4 = 1时，求/在工=1处的切线方程；（H）当2Ka 启%） /。）=力（处所对应的自变量取值区间的长度为/（闭区间加,小的长度定义为-根），试求/的最大值； an）是否存在这样的。，使得当x2,y）时，/。）=力（）?若存在，求出。的取值范围；若不存在，请说 明理由.南通市2010届高三模拟卷（二）参考答案及评分标准一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答
6、过程，请把答案直接填写在答题纸相应 位置上.1. a=2（ 1, 1）,3.男生人数是 48.1 ?-.5.- 6.为 10 cm.7.为 24138. 59.为 17 . 10.2 . 11.是石 12.是7,16）13.是 3.14.为 18兀二.填空题：本大题共6小题，共90分，需写出解答过程,请把答案直接填写在答题纸相应位置上.JT15.解：(I )因为，(一,),cos/3 2+g成立，即要满足（%-1）（2-1）0,由 c= 2% = 2叱2 =一，bH= 2-2,所以数列仁单调减，数列也单调增，8分当正整数 = 1,2时，22_iW0,所以2+1=+%不成立;10分当正整数 =
7、3,4时，-1 0,a一1 0 ,所以2c+12+c成立；12分当正整数5时，g1041 W0, 所以不成立.综上所述，存在正整数 = 3,4时，使不等式bg+l2+%成立.14分18 （ I ）易知半圆或的半径为筋故半圆。的弧长为x.所以 4 = 2x + 2y + x,得产4-（；，依题意知：0vxy 得oxL所以， 4-（2 + ）x（0%L）. 4+24+（II）依题意，设凹槽的强度为A横截面的面积为S则有7 =屈二百（2个一呵） 2=封2%.苧）=Gg（2 +予 J 乙乙乙V3（4 + 3）4 2 &52-4 + 3-+4 + 3 小因为 =乌上(工+ 2).% + 2令 1 = 2
8、,得 x()+ 2 ,.又3(2,0), N为MB的中点，所以N 2,所以。=(%,2%), NQ= x0-2,所以。 NQ =%(x0 - 2)+ 2y0 2“。，；=x0(x0 - 2)+ 以叱=x0(% - 2)+ -J*0十乙*0+/*qI乙= xo(xo-2)+ xo(2-j;o) = O.所以OQLNQ.所以直线QN与圆。相切.20.解：(I)当。=1 时，f2(x) = 3x-9.因为当 x (0,log3 5)时/ (%) = 3T /(%) = 9 - 3, H/(%)-(x) = 2-3x-10 2-3,og35-10 = 2-5-10 = 0,所以当无 (0, log3
9、5)时，/(x) = 3、 1,且 1 (0/og3 5)(3分)由于 /(%) = 31n 3 ,所以 = (=3In 3,又 /(1) = 2,故所求切线方程为y 2 = (3 In 3)(x -1), 即(31n3)xy + 2 31n3 = O(5分)q9(ID 因为2。9,所以00, aQ所以由力(x) /(工)=(。3、9) (3”1) = (。1)3”8W。，解得Xlog3 ,a-98从而当 Iog3_xlog3时，于(x) = L(x)(6分)aa-9 当0Wxlog33时，因为q3“90, a所以由力(x) /(x) = (9 。3)1) = 10 ( + 1)37 0,解得
10、121083迫，a + 1从而当 log3xk)g3一时,/(%) = /7(%) (7 分)-a + 1a当x0,从而/(x) = &(x) 一定不成立(8分)1AQ综上得，当且仅当x e log3Jog3时,于(X)= f?(x), a+la-IQ1 QA2故 I = log3- -log3- = log3- （1 + -） （9 分）a- a + l 5a-12 从而当4 = 2时，/取得最大值为log3M（10分）（山）“当 X2,+O0）时，f（x） = f2（x）等价于力（x）W/（x）对 xw2,+8）恒成立”，即9区|31|=31 （*）对xw2,+oo）恒成立” （11 分）
11、C19 当时，log、3一W2,则当xN2时，。3“92q39 = 0,则(*)可化为a 、一,9 八 r I、r,八 cr c、-lg3 - 八 八 i /、小、，QQq3”93工1,即。41 + ，而当x2时，1 + 1, y3x所以。1,从而 =1适合题意（12分）9当 0 2.-agqq当xlog?时，（*）可化为。3、931,即1 + ，而1 + 1,-a3A3A所以6Z W1,此时要求0 v。 1（13分）qQ（2）当X = log3一 时，（*）可化为0W。1 = 1, aa所以ieR,此时只要求0avl（14分）当 2 x log?时,（*）可化为 9 a 3 3、 1,即 21,而1 一,a3V 39所以。此时要求（15分）99由,得W。 1符合题意要求.9综合知,满足题意的a存在,且a的取值范围是-6/1(16分)9