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1、第七讲数论综合基础班1 .有算式口 X + 口 X 。将数字16填入到前面的算式的6个方框中，能得到的最大结果是多少? 分析：原式可得最大结果54x63+2x1 =3404。2 .用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这八个数字组成两个四位数，使它们的乘积最大，这两个数是多少? 分析：7642 和 8531。3 .求满足下列条件的最小的自然数：用3除余2,用5除余1,用7除余1 分析：71 o4 .(第五届希望杯培训题) 个玻璃弹子.分析：我们不妨设黑布袋中至少有x个玻璃弹子，那么x要满足的条件是：(1)乂除以2余1, (2)x除 以3余1, (3) x除以7余3。我们先找到满足条件(
2、2)、(3)的数字，满足条件(3)的数字：10、17、 24、31、38、45，在这其中满足条件(2)的数字是：10、31、，其中31也满足条件(1),那么这个 黑布袋中至少有31个玻璃弹子.5 .证明当a大于b时，(7 而)必是9的整倍，(益+痴)必是11的整数倍。分析：6zZ?=10a+b, ba =10b+a, C ab ba) =9 (b+a), ba )=11 (b+a)。6 .有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面, 那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414,求原来的两位数。分析：设原来的两位数为x,则有(10x+l) -
3、 (100+x) =414,解得X=57。提高班练习七1 .用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这八个数字组成两个四位数，使它们的乘积最大，这两个数是多少? 分析：7642 和 8531。2 .把50拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 分析：16个3, 1个2。3 .求满足下列条件的最小的自然数：用3除余2,用5除余1,用7除余1分析：71 o4 .(第五届希望杯培训题).个玻璃弹子.分析：我们不妨设黑布袋中至少有x个玻璃弹子，那么x要满足的条件是：(1) x除以2余L (2)x除 以3余1, (3) x除以7余3。我们先找到满足条件(2)、(3)的数字，满
4、足条件(3)的数字：10、17、 24、31、38、45，在这其中满足条件(2)的数字是：10、31、，其中31也满足条件(1),那么这个 黑布袋中至少有31个玻璃弹子.5 .从19九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330, 则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？分析：设这三个数字分别为a, b, co可得：222x (a+b+c) =3330,推知a+b+c=15o最小可能为 159,最大可能为951。6 .有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面， 那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相
5、差414,求原来的两位数。分析：设原来的两位数为x,则有(10x+l) - (100+x) =414,解得X=57。精英班1 .用L 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这八个数字组成两个四位数，使它们的乘积最大，这两个数是? 分析：7642 和 8531。2 .如右图，以直角三角形ABC的两条直角边为半径作两个半圆，己知这两段半圆 弧的长度之和是37. 68厘米，那么三角形ABC的面积最大是 平方厘米(不取314).分析：根据条件X,所以AB+AC=24,三角形ABC的面积为：(ABXAC) 4-2,最大 是12X 12/2=72平方厘米。3 .若将23拆成若干个不同的自然数之和，使得这些
6、自然数的乘积最大。那么怎么拆? 分析：2+3+4+5+6+7=2723,所以从前面拆出的数中去掉2723=4,那么乘积最大就是2X3X5X6X7。4 .(第五届希望杯培训试题)级.分析：由条件可知台阶数要满足如下条件：(D除以2余1, (2)除以3余2, (3)除以5余4, (4)除 以6余5, (5)除以7余0,观察可知如果台阶数加1,那么能被2、3、5、6整除，这样的数是：29、59、89、119、149、179-,在这其中满足条件(5)的最小数字是119,所以这条阶梯最少有119级.5 .(第五届希望杯培训题).个玻璃弹子.分析：我们不妨设黑布袋中至少有x个玻璃弹子，那么x要满足的条件是
7、：(1)*除以2余1, (2)x除 以3余1, (3) x除以7余3。我们先找到满足条件(2)、(3)的数字，满足条件(3)的数字：10、17、 24、31、38、45，在这其中满足条件(2)的数字是：10、31、，其中31也满足条件(1),那么这个 黑布袋中至少有31个玻璃弹子.6 .从19九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330, 则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？分析：设这三个数字分别为a, b, co可得：222x (a+b+c) =3330,推知a+b+c=15o最小可能为 159,最大可能为951。7 .有一个两位数，如果把数
8、码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面, 那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414,求原来的两位数。分析：设原来的两位数为x,则有(10x+l) - (100+x) =414,解得X=57。竞赛班Q习七11 .用09组成两个五位数，(1)要使得它们的乘积最大，那么这两个五位数分别是多少？(2)要使得它们的乘积最小，那么这两个五位数分别是多少？分析：(1)为使两个五位数的乘积最大，应将比较大的数字尽量派到靠前的数位上，所以万位数字是9和 8,千位数字是7和6,百位数字是5和4,十位数字是3和2,个位数字是1和0。那么两个五位数的和 肯定是(9+8) X100
9、00+ (7+6) X1000+ (5+4) X100+ (3+2) X10 + 1+0 为定值，那么要使得 这两个数的乘积最大，就要使得这两个数的差尽可能小，因此两个数应该是96420和87531。(2)类似分析可知，当这两数取10468和23579时，乘积最小。2 .如右图，以直角三角形ABC的两条直角边为半径作两个半圆，己知这两段半圆 弧的长度之和是37. 68厘米，那么三角形ABC的面积最大是 平方厘米(乃取3 . 14).分析：根据条件X,所以AB+AC=24,三角形ABC的面积为：(ABXAC) 4-2,最大 是12X12/2=72平方厘米。3 .若将23拆成若干个不同的自然数之和
10、，使得这些自然数的乘积最大。那么怎么拆？ 分析：2+3+4+5+6+7=2723,所以从前面拆出的数中去掉2723=4, 那么乘积最大就是2X3X5X6X7。4 .(第五届希望杯培训试题)级.分析：由条件可知台阶数要满足如下条件：(1)除以2余L (2)除以3余2, (3)除以5余4, (4)除 以6余5, (5)除以7余0,观察可知如果台阶数加1,那么能被2、3、5、6整除，这样的数是：29、59、 89、119、149、179，在这其中满足条件(5)的最小数字是119,所以这条阶梯最少有119级.5 .有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面,
11、 那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414,求原来的两位数。分析：设原来的两位数为x,则有(10x+l) - (100+x) =414,解得X=57。6 . a, b, c分别是09中不同的数码，用a, b, c共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234, 那么另一个数字是几？分析：由a, b, c组成的六个数的和是222x (a+b+c)o因为2234222x10,所以a+b+c10。若 a+b+c=lL 则所求数为 222x112234=208, 2+0+8 = 1011,不合题意。若 a+b+c=12,则所求数为 222x122234=430, 4+3+0=712,
12、不合题意。若 a+b+c=13,则所求数为 222x132234=652, 6+5+2 = 13,符合题意。7 .将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大 8802o求原来的四位数。分析：设原数为砺，则新数为茄,dbca abed = = (1000b+100c+10b+a) 一 (1000a+100b+10c+d) =999x (d-a) +90x (c-b)o根据题意，有 999x (d-a) +90x (c-b) =8802, lllx (d-a) +10x (c-b) =978=888+90。推知 da=8, cb=9,得至！I d=9, a=l, c=9, b=0,原数为 1099。