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1、学科教师辅导讲义学员编号：年 级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第11讲-周期工程问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解工作量、工作时间及工作效率的意思； 能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率； 理解三者之间的关系，并用三者关系解题。授课日期及时段T (Textbook-Based)后1少 1 果早0知识梳理N /熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；(D 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；(2) 根据题目中的实际情况能够正确进行单位力”的统一和转换；(3) 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其
2、他类型题目中的应用.典例分析 &考点一：周期性工程问题例1、一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙.顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？【解析】甲1小时完成整个工程的工，乙1小时完成整个工程的工，交替干活时两个小时完成整个工程的 6101 1 44411- + =甲、乙各干3小时后完成整个工程的2x3 = 2,还剩下,甲再干1小时完成整个工程的上，还6 10 1515556剩下,，乙花,小时即20分钟即可完成.所以需要7小时20分钟来完成整个工程.303例2、一项工程，乙单独做要17天完成.如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数S
3、 (Summary-Embedded)归纳总结名师点拨,解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效率可以通过工作 时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。在解题时，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以 两者关系为突破口解答问题。工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：工作量=工作效率X工作时间工作时间=工作量：工作效率工作效率=工作量：工作时间学霸经验 上本节课我学到了我需要努力的地方是完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工.问：甲单独做 需要几天？【解析】甲、乙轮流做，如
4、果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的 天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的.那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做 多用半天，这半天是甲做的.如果设甲、乙工作效率分别为乂和匕，那么匕=%+,乂，所以乂=2匕，乙单 独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要17 2 = 8.5天.例3、蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水管需 3小时.现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水的顺序轮流各开1小时.问：多长时间后水 池的水刚好排完？（精确到分钟）【解析】法一：1小时排水比1
5、小时进水多- = 3 ，说明排水开了 3小时后（实际加上进水3 3 5 152 1510小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的工，10再过1小时，水池里的水为一池子水的 + 10 5 10把这些水排完需要小时，不到1小时，10 3 10o 9所以共需要6 + 1 + = 7小时=7小时54分.1010法二：1小时排水比1小时进水多！-=2, 1x4-=93 5 15152 30说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的30排一池子需要3小时，排一池子水的-L需要3X-L=-L小时，3030 101 Q所以实际需要8-一 = 7小时=7小时54分.1010考点二：水管问题例1、
6、一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满.现在先开乙管6小时,还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满.乙单独开几小时可以灌满？【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开 2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时 开，第三个2小时乙管单独开.这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时, 正好灌满一池水.可以计算出乙单独灌水的工作量为1-，x2-Lx2 =，,所以乙的工作效率为：54104-（6-2-2）=,所以整池水由乙管单独灌水，需要1+
7、= 20 （小时）.102020例2、一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水 龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？【解析】先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 X 60=240（立方米）. 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 4- （ 5X 150- 8 X 90） = 8 （立方米），8个水龙头 1个半小时放出的水量是8 X 8 X 90,其中90分钟内流入水量是4 X 90,因此原来水池中存有水8X8 X 90-4 X 90=5400 （立方米
8、）,打开13个水龙头每分钟可以放出水8X13,除去每分钟流入4,其余将放出 原存的水，放空原存的5400,需要5400 4- （8 X 13-4） =54 （分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54 分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有 的水.这在题目中却是隐含着的.考点三：比例法及工资分配问题例1、有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的，甲、 乙两队合作，10天可以全部完工，共需要支付18000元，由乙、丙两队合作，20天可以完工，共需要支付12000 元，由甲、丙两队合作，12天可以
9、完成，共需要支付15000,如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一 个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工一天.需要支付速度最快的队伍元.【解析】甲乙丙的工效和为=工，所以甲的工效为Z_L = _L,乙的工效为Z_L = _L, 110 12 20 J6060 20 1560 12 30丙的工效为1- =所以从时间上考虑，应该选择甲，会比丙早完工60-15 = 45天，同样的道理，甲乙60 10 60丙的每日工资之和是（幽9 +剪9 + 幽。）+ 2 = 1825 （元），所以甲的每日费用为1825-600 = 1225 （元）， 102012乙的费用为1825-1250 = 575
10、（元），丙的费用为1825-1800 = 25 （元），所以需要支付速度最快的队伍1225x15 = 18375 (元)例2、一项工程，甲15天做了工后，乙加入进来，甲、乙一起又做了!，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做 44完.已知乙、丙的工作效率的比为3： 5,整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2： 1,问题中情形下做完整个工程需多少天？【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：I、n、in；且易知甲的工作效率为工.又乙、丙工作的天数 60之比为(n+ni)：山二2： 1,所以有n阶段和in阶段所需的时间相等.即甲、乙合作完成的的工程与甲、乙、 4丙合作完成1-的工程所需的时间相等.所以对于工
11、作效率有：(甲+乙)X2=(甲+乙+丙)，甲+乙二丙, 4 4 2175那么有丙-乙二一.又有乙、丙的工作效率的比为3：5.易知乙的工作效率为3-，丙的工作效率为：.那么60120120这种情形下完成整个工程所需的时间为：113118，r c15 + + ( + )+ + ( + )= 15 + 6 + 6 = 27 天.460 120260120方法二：显然甲的工作效率为设乙的工作效率为3x,那么丙的工作效率为5x.所以有乙工作的 60天数为 -(+ 3x) + -(+ 8%),丙工作的天数为 1(+ 8%).且有 4 602 60260-(+ 3x) + -(+ 8%) = 2x-L-(+
12、 8x).即-(+ 3x) = -(+ 8x),解得 x = -?-.所以乙的4 602 60260460260120工作效率为二，丙的工作效率为高二.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为： 12012011 a11O15 + (+ ) + + ( + )=15 + 6 + 6 = 27 天.460120260120实战演练实战演练P (Pract i ce-0r i ented)课堂狙击1 .一项工程，甲单独完成需12小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，再由乙 单独做1小时，,甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用 小时。【解析】甲乙合做1小时后，还剩下：1 -L
13、 = ,甲乙单独做2小时，共做工+ =,还需要做2x5=1015 12 2015 12 20小时，还剩下,，需要甲做1小时，还有-L-L=-L,乙还需要做_L._L=_L 1010 12 6060 15 42 .规定两人轮流做一个工程，耍求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1 个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止.如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而 乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【解析】根据题意，有：甲乙甲乙甲1小时+乙。.8小时，可知，甲做i_o.6 = O.4小时与乙做1-。8 =。2小时 乙
14、甲乙甲乙1小时+甲0.6小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量，所以，乙单独工作需要9.8-5 + 5 + 2 = 73小时.3 .蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时, 要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有工的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、6乙、丙、丁的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？【解析】甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：i-L + - = ,循环5次后水池还空：1 一二x5 = ,，3 4 5 6 606 604工的工作量由甲管注水需要：!, = 3（小时），所以经过4
15、x5 + 3 = 20。小时后水开始溢出水池.4 4 3 4444.某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时.【解析】要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小.所以，（ 乙开放的时间为l-xlO + = 4（小时），即甲、乙最少要同时开放4小时.（12） 245一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水,若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开 乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满.又知，乙管每分钟注水量是甲管每
16、分钟注水量的2倍.则该水 箱最多可容纳多少吨水？【解析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍.那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入18x2 = 36吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是36:27 = 4:3.那么在这两种情况下丙管注水的时间比为4:3,而且前一种情况比后一种情况多注入27-18 = 9吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水9 + (4 3)x4 = 36吨.所以该水箱最多可容纳水18 + 36 = 54吨.6.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资.按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元.实 际上从第5天开始，甲队的工作效率
17、提高了 1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元.那么两队原计划完 成修路任务要多少天？【解析】开始时甲队拿到8400 5040 = 3360元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为3360:5040 = 2:3 ； 甲提高工效后,甲、乙总的工资及工效比为(3的0 + 960):(5040-960) = 18:17 .设甲开始时的工效为设”,那么 乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x天才能完成任务.有(2x4 + 4x):(3x4 + 3x) = 18:17 ,化简为 216+ 54% = 136+ 68%,解得工=竺.工程总量为5x4 + 7x竺=60 ,所以原计划60 + (2 +
18、 3) = 12天完成.773种型号的卡车运送土方.已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6,速度比为6:8:9,运送土方的路程之比为15:14:14,三种车的辆数之比为10:5:7.工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有 一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了 25天完成任务.那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14:14,速度之比为6:8:9,所以它们运送1次所需的时间之比为竺:好:好= 24:匕,相同时间内它们运送的次数比为:在前10天,甲车只有一 6 8 9 2 4 95 7 14半投
19、入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5:5:7.由于三种卡车载重量之比为10:7:6,所以三种卡车的总 载重量之比为50:35:42 .那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：(2、50x-154 A 35x-(9、42x =20:20:27.在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的工作量之比为40:20:27.所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为:20x10 + 40x15_32(20 + 20 + 27)x10 + (40 + 20 + 27)x15 为7a8.一项工程，甲、乙两队合干需2天，需支付工程款2208元；乙、丙两队合干需3士天，需支付工程款2400 54元；甲
20、、丙两队合干需天，需支付工程款2400元.如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？ 7【解析】甲、乙一天完成工程的1 22 = 9；乙、丙一天完成工程的1.3=巴；甲、丙一天完成工程的5 124 1512- = .所以，甲的工效为（9+工一巴）+ 2 =；乙的工效为9 =；丙的工效为工_L = _L.甲、7 2012 20 15412 4 620 4 102 一3乙一天需工程款2208 2= 920（元）；乙、丙一天需工程款2400 3= 640（元）；54甲、丙一天需工程款2400 29 = 840（元）.所以，甲一天的工程款为（920 + 840 640） + 2 = 560（元）； 7
21、乙一天的工程款为920-560 = 360（元）.丙一天的工程款为840-560 = 280（元）.单独完成整个工程,甲队需工程款560 x 4 = 2240 （元）；乙队需工程款360x6 = 2160 （元）；丙队需工程款280x10 = 2800阮）.所以应该选择乙队.课后反击1、一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成.若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【解析】 若甲、乙两人合作共需多少小时？（1 5114- - + =1+ = 7（小时）.（12 18J365甲、乙两人各单独做7小时后，还剩
22、多少?C 1 1 35 1（12 18J36 36余下的_1由甲独做需要多少小时？36-（小时）.36 12 3共用了多少小时?7x2 + - = 14-（小时）.332、一项工程，甲、乙合作12。小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小 5时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多1小时，那么这项工作由甲单 3独做，要用多少小时才能完成？【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的 时间应与第一种做法相同，不会多!小时，与题意不符.所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法311
23、19中最后2小时是甲做的，而这2小时之前的一小时是乙做的，所以乙+上甲=甲，得乙甲.甲、乙工作效3333率之和为：1 + 12 = ,甲的工作效率为：-4-(14-) = = ,5 6363363 21所以甲单独做的时间为1+_L = 21(小时).213、一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需 天。【解析】甲每天完成甲乙合作中，甲一共完成改二,所以乙也一共完成乙每天完成,，乙单独 4040 2260做要60天.4、有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成.现在由甲、
24、乙、 丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天.那 么丙休息了 天.【解析】设甲、乙工作了 x天，丙工作了 y天，则有:1 1、136 30；XH) = 148化简得 44x + 15y = 720由于15y和720都是15的倍数，所以x也是15的倍数，而xv720 + 44vl7,所以x = 15, y = 4 ,所以丙休息了 15-4 = 11天.5、一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停 地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根
25、出 水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小 时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？【解析】设1根排水管1小时排水为“1”,进水速度为(3x18 8x3) + (18 3) = 2,原有水量为(8 2)x3 = 18 , 如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开18 8 + 2 = 4.25根出水管，每根出水管1小时排水1份, 又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。6、某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标.三家公司的竞标条件如下:公司名称单独完成工程所需天数每天工资/万元甲105.6乙153.8
26、丙301.7 如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？如果想尽量降低工资成本，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元?【解析】如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家公司.由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为工、 ,所以应该选择甲、乙 101530这两家公司合作.甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间为1 + （ +）=6天；如果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司.由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别为5.6x10 = 56万元、3.8x15 = 57 万元、1.7x30 = 51万元，所以应当选择甲、丙
27、这两家公司合作.甲、丙两公司合作需要1 + （工+工）=7.5天才能完成工程，完工时要付的工资为：10 30（5.6 +1.7） x 10000 x 7.5 = 547500 元.7、一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个 月完成，每月耗资5万元.请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省 资金.【解析】甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的L,那么甲、乙合作所需时间为：461 + （1 + 3） = 2.4个月；甲、乙合作2.4个月所耗资金为：（9 + 5） x 2.4 = 33.6 （万元）.甲工程队完成全部工作要耗资9x4 = 36万元，乙工程队完成全部工作要耗资5x6 = 30万元，乙工 程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程, 所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程.所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程做5个 月，甲工程队做（1-9）+工=2个月，即：甲、乙两工程队合作2个月后，乙工程队再单独做U个月.6 4 333