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1、第十章概率10.3 10.3 频率与概率频率与概率 10.310.3.1 1 频率的稳定性频率的稳定性一二三学习目标理解频率稳定性的意义掌握频率与概率的区别与联系了解随机数的定义，与产生随机数的方法以及它的读数学习目标 对于样本点等可能的实验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概对于样本点等可能的实验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率率.但在现实中，很多试验的样本点往往是等可能的或者是否等可能不容易但在现实中，很多试验的样本点往往是等可能的或者是否等可能不容易判断判断.例如例如，抛掷一枚质地不均匀的抛掷一枚质地不均匀的骰子骰子，或者投掷一枚图钉，或者投掷一枚图钉，此时无法通此时无法通
2、过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻求新的求概率的方法过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻求新的求概率的方法.我们知道，事件的我们知道，事件的概率越大概率越大，意味着事件发生的，意味着事件发生的可能性越大可能性越大，在重，在重复试验中，相应的复试验中，相应的频率一般也越大频率一般也越大；事件的；事件的概率越小概率越小，则事件发生的，则事件发生的可可能性越小能性越小，在重复试验中，相应的，在重复试验中，相应的频率一般也越小频率一般也越小.在初中，我们利用频在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率频率去估计概率
3、.那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？复习引入探究 重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面一个正面朝上，一个反面朝上朝上，一个反面朝上”，你能计算事件，你能计算事件A发生的概率吗？发生的概率吗？新知探究动手 下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的的频率的变化情况，以及频率与概率的关系变化情况，以及频率与概率
4、的关系.第一步：每人重复做第一步：每人重复做25次试次试验，记录事件验，记录事件A发生的次数，计发生的次数，计算频率；算频率；第二步：每第二步：每4名同学为一组，名同学为一组，相互比较试验结果；相互比较试验结果；第三步：各组统计事件第三步：各组统计事件A发生发生的次数，计算事件的次数，计算事件A发生的频率，发生的频率，并利用右表进行统计。并利用右表进行统计。小组序号小组序号试验总次试验总次数数事件事件A A发发生的次数生的次数事件事件A A发发生的频率生的频率1 11001002 21001003 31001004 45 56 67 7合计合计新知探究问题1 比较在自己试验比较在自己试验25次
5、、小组试验次、小组试验100次和全班试验总次数的情次和全班试验总次数的情况下，事件况下，事件A发生的频率。发生的频率。（1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这样的情况？）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这样的情况？（2）随着试验次数的增加，事件）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？发生的频率有什么变化规律？利用计算机模拟抛掷两枚利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数硬币的试验，在重复试验次数为为20，100，500时各做时各做5组试组试验，得到事件验，得到事件A发生的频数发生的频数nA和频率和频率fn(A)如右表所示：如右表所示：序号序号n=20n=20n=1
6、00n=100n=500n=500频数频数频率频率频数频数频率频率频数频数频率频率1 112120.60.656560.560.562612610.5220.5222 29 90.450.4550500.500.502412410.4820.4823 313130.650.6548480.480.482502500.50.54 47 70.350.3555550.550.552582580.5160.5165 512120.60.652520.520.522532530.5060.506新知探究用折线图表示频率的波动情况用折线图表示频率的波动情况序号序号n=20n=20n=100n=100n=
7、500n=500频数频数频率频率频数频数频率频率频数频数频率频率1 112120.60.656560.560.562612610.5220.5222 29 90.450.4550500.500.502412410.4820.4823 313130.650.6548480.480.482502500.50.54 47 70.350.3555550.550.552582580.5160.5165 512120.60.652520.520.522532530.5060.506我们发现：我们发现：(1)试验次数试验次数n相同，但频率相同，但频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率可能不同，这说
8、明随机事件发生的频率具有具有随机性。随机性。(2)从整体来看，从整体来看，频率在概率频率在概率0.5附近波动。附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小。但试验次数多的波动幅度并不全部比次数少的小，只是波动幅度小的可但试验次数多的波动幅度并不全部比次数少的小，只是波动幅度小的可能性大。能性大。新知探究大量试验表明，在任何确定次数的大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件随机试验中，一个随机事件A发生的频发生的频率具有率具有随机性。随机性。一般地，随着试验次数一般地，随着试验次数n的增大，
9、频的增大，频率偏离概率的幅度会缩小率偏离概率的幅度会缩小，即事件，即事件A发发生的频率生的频率fn(A)会逐渐稳定于会逐渐稳定于事件事件A发生发生的概率的概率P(A)。我们称频率的这个性质为我们称频率的这个性质为频率的稳频率的稳定性。定性。因此，我们可以用因此，我们可以用频率频率fn(A)来估计来估计概率概率P(A)。雅各布第一伯努利(1654-1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他給出了著名的大数定律.大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近.新知讲解抛掷次数（抛掷次数（n)20484040120002400030000正面朝上次数正面朝上次数(m)1061204860
10、191201214984频率频率(m/n)0.5180.5060.5010.50050.4996历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示抛掷次数n频率m/n0.512048404012000240003000072088德.摩根蒲 丰皮尔逊皮尔逊维 尼知识链接事件的概率概念生成问题2事件事件A发生的频率发生的频率fn(A)是不是不变的？事件是不是不变的？事件A发生的概率发生的概率P(A)是不是是不是不变的？它们之间有什么区别和联系？不变的？它们之间有什么区别和联系？(1)频率是一个频率是一个变量变量，随着试验次数的变化而，随着试验次数的变化而变化；变化；(2)概率概率是一个确定的
11、数，是一个确定的数，客观存在的客观存在的，与试验次数无关，与试验次数无关.频率是概率的频率是概率的近似值近似值（实验值），会随试验次数的增加逐渐稳定（实验值），会随试验次数的增加逐渐稳定；联系:区别：概率概率是频率理论上的是频率理论上的稳定值稳定值，在实际中可用频率估计概率，在实际中可用频率估计概率.新知探究例1 新生婴儿性别比是每新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知通过抽样调查得知，我国，我国2014年年、2015年新出生的婴儿性别比分别为年新出生的婴儿性别比分别为115.88和和113.51(1)分别估计我国分别估计我国2014年和年和2015年男
12、婴的出生率年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率新生儿中男婴的比率,精确到精确到0.001);(2)根据估计结果，根据估计结果，你认为你认为“生男孩和生女孩是等可能的生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？这个判断可靠吗？(2)由于调查新生儿人数的样本非常大由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度的估计具有较高的可信度 因此，我们有理由怀疑因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的生男孩和生女孩是等可能的”的结论的结论 要得到生男孩和生女孩要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，是否等可能的科学判断，还需要
13、用统计学中假设还需要用统计学中假设检验的方法进行检验检验的方法进行检验由此估计，由此估计，2014年男婴出生率约为年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为年男婴出生率约为0.532.解：解：(1)2014年男婴出生频率为年男婴出生频率为0.5372015年男婴出生频率为年男婴出生频率为0.532典例解析归纳小结典例解析例2 一个游戏包含两个随机事件一个游戏包含两个随机事件A和和B，规定事件，规定事件A发生则甲获胜，事件发生则甲获胜，事件B发生则乙获发生则乙获胜胜.判断游戏是否公平的标准是事件判断游戏是否公平的标准是事件A和和B发生的概率是否相等发生的概率是否相等.在游戏过程中甲发现
14、：玩了在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜次时，双方各胜5次；但玩到次；但玩到1000次时，自己才胜次时，自己才胜300次，而乙却胜了次，而乙却胜了700次次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论你更支持谁的结论?为什么为什么?解：当游戏玩了当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可
15、能性会越来越小频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对相对10次游戏次游戏,1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近次时的频率离概率更近.而游戏玩到而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和和0.7，存在很大差距，存在很大差距,所以所以有理由认为游戏是不公平的有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.游戏公平性的标准及判断方法 (1)(1)标准标准：(2)(2)判断方法：判断方法：归纳小结 降水的概率
16、是气象专家根据气象条件和经验降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的经分析推断得到的对对“降水的概率降水的概率为为90%”比较合理的解释是比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数的天数要下雨要下雨 只有根据气象预报的长期记录只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性，才能评价预报的准确性如果在类似气象条件下预如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天报要下雨的那些天(天数较多天数较多)里，大约有里，大约有90%确实下雨了确实下雨了，那么应该认为预报是准确那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例
17、与的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确差别较大，那么就可以认为预报不太准确问题3气象工作者有时用概率预报天气气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报，如某气象台预报“明天的降水概率是明天的降水概率是90%，如果您明天要出门，最好携带雨具如果您明天要出门，最好携带雨具”，如果第二天没有下雨，我们或许会，如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确那么如何理解抱怨气象台预报得不准确那么如何理解“降水率是降水率是90%”？又该如何评价预报得？又该如何评价预报得结果是否准确呢？结果是否准确呢？新知探究巩固练习课本课本P2571.判断下列说法是否正确，
18、并说明理由判断下列说法是否正确，并说明理由:(1)抛掷抛掷一枚硬币正面朝上的概率为一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚硬币，一定是一次正面朝，则抛掷两枚硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上上，一次反面朝上;(2)抛掷一枚抛掷一枚质地均匀的硬币质地均匀的硬币10次，结果是次，结果是4次正面朝上，所以次正面朝上，所以事件事件“正面正面朝朝上上”的的概率为概率为0.4;(3)当当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率;(4)在在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发
19、生和不发生的概率各概率各是是0.5.解解:(1)不正确不正确.抛掷抛掷两枚两枚硬币硬币,样本空间样本空间=(正正,正正),(正正,反反),(反反,正正),(反反,反反),所以所以抛掷两枚硬币抛掷两枚硬币,不一定不一定是是一次一次正面朝上正面朝上,一一次反面朝次反面朝上上.(2)不正确不正确.不能不能说概率为说概率为0.4,只能只能说正面朝上的频率为说正面朝上的频率为0.4.(3)正确正确.(4)不正确不正确.一次一次试验试验,只能只能说事件发生和不发生的频率各是说事件发生和不发生的频率各是0.5.巩固练习课本课本P257 2.用用掷两枚硬币做胜负掷两枚硬币做胜负游戏游戏,规定规定:两两枚硬币同
20、时出现正面或同时出现反面算枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲甲胜胜,一一个正面、一个反面算乙胜个正面、一个反面算乙胜.这个这个游戏公平吗游戏公平吗?解：解：这个这个游戏是公平的游戏是公平的.理由理由如下如下:掷掷两枚质地均匀的硬币的两枚质地均匀的硬币的样本空间样本空间=(正正,正正),(正正,反反),(反反,正正),(反反,反反),则则两两枚硬币同时出现正面或同时出现反面的概率枚硬币同时出现正面或同时出现反面的概率为为2/4=0.5，即甲胜的概率即甲胜的概率为为0.5，一一个正面、一个反面的个正面、一个反面的概率也为概率也为0.5，即乙胜即乙胜的概率为的概率为0.5，所以这个游戏是，所以这个
21、游戏是公公平的平的.巩固练习课本课本P257 3.据据统计统计ABO血型具有民族和地区差异血型具有民族和地区差异.在在我国我国H省调查了省调查了30488人，四种血人，四种血型的人数如下型的人数如下:(1)计算计算H省各种血型的频率并填表省各种血型的频率并填表(精确到精确到0.001);(2)如果从如果从H省任意省任意调查一个人调查一个人的血型的血型，那么，那么他是他是O型血的概率大约是多少型血的概率大约是多少?血型血型ABOAB人数人数/人人77041076589703049频率频率0.2530.3530.2940.100解：解：(1)各种血型的频率如上表所示各种血型的频率如上表所示.(2)由由(1)可得，此人是可得，此人是O血型的概率大约是血型的概率大约是0.294.课堂小结本节课你学会了哪些主要内容？(1)频率的性质：(2)频率与概率的联系与区别：随机性和稳定性频率概率区别 本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定 是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关联系 随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近，所以当试验次数比较大时，我们常常用频率估计概率