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1、10.110.1随机事件与概随机事件与概率率 10.1.310.1.3古典概型古典概型人教A版高中数学必修第二册事件的关系或运事件的关系或运 算算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致B发生ACBACB并事件(和事件)A与B至少一个发生A A UBUB或或A+BA+B交事件(积事件)A与B同时发生ABAB或或ABAB互斥(互不相容)A与B不能同时发生AB=AB=互为对立A与B有且仅有一个发生 ANBANB=,=,AUBAUB=类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。例如，对于三个事件A,B,C,AUBUC (或A+B+C)发生当且仅当A,B,C 中至少一个发生，个发生，ANBNC(
2、或或ABC)发生当且仅当发生当且仅当A,B,C 同时发生，等等。同时发生，等等。温故知新温故知新事件的关系与运算事件的关系与运算探究新知探究新知研究随机现象，最重要的是知道研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的随机事件发生的 可能性大小可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量对随机事件发生可能性大小的度量(数值数值)称为称为事事件件 的的概率概率.事件事件A的概率记为：的概率记为：P(A)我们知道，通过我们知道，通过试验和观察试验和观察的方法可以得到一的方法可以得到一些事件的些事件的概率估计概率估计，但这种方法耗时多，而且得到，但这种方法耗时多，而且得到 的仅是概率的近似值。能的仅是概率
3、的近似值。能否通过建立适当的数学模否通过建立适当的数学模 型，直接计算随机事件的概率呢型，直接计算随机事件的概率呢?先后抛掷2枚均匀的硬币出现“一枚正面，一枚反面”的概率是多少?(正，正),(正，反),(反，正),(反，反);(正，正，正),(正，正，反),(正，反，正),(反，正，正),(正，反，反),(反，正，反),(反，反，正),(反，反，反).先后抛掷3枚均匀的硬币，求出现“两个正面，一思考思考个反面”的概率。探探 究究P=Xp=2=2探究新知探究新知思 考 ：我们讨论过彩票摇号试验、抛掷二枚均匀硬 币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.它们的共同 特征有哪些?考察这些试验的共同特征，就
4、考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样是要看它们的样本点及 样本空间有哪些共性样本空间有哪些共性.可以发现，它们具有如可以发现，它们具有如下下共同特征：共同特征：(1)(1)有限性：有限性：样本样本空间的样本点只有有限个；空间的样本点只有有限个；(2)(2)等可能性：等可能性：每个样本点发生的可能性相等每个样本点发生的可能性相等。我们将具有以上两个特征的试我们将具有以上两个特征的试验称为验称为古典概古典概型试验，其数学模型称为数学模型称为古典概古典概率模型，率模型，简简 称称古典概型古典概型.课堂探究课堂探究思考：思考：考虑下面两个随机试验，如何度量事件考虑下面两个随机试验，如何度量事件A
5、A和和B B发发 生的可能性大小生的可能性大小?(1)(1)一个班级中有一个班级中有1818名名男生、男生、2222名女生名女生.采用抽签的方采用抽签的方 式，从中随机选择一名学生，事件式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生抽到男生”;”;(2)(2)抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币3 3次，事件次，事件B=B=“恰恰好一次正 面朝上面朝上”引入新知引入新知一般地，设试验地，设试验E是古典概是古典概型，样本空间型，样本空间包含包含n个样本点，事件本点，事件A A包含其中的包含其中的k k个样本点，则定个样本点，则定义义事件事件A A的概率的概率其中，其中，n(A)n(A)和和
6、 n n()()分别表示事件分别表示事件A A和样本空间和样本空间包含包含 的样本点个数。的样本点个数。(1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为是古典概型思考交流试验的所有可能的结果是无限的，故不是古典概型。吗?为什么?(2)(2)射击运动员向一靶心进行射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结射击，这一试验的结 果只有有限个：命中果只有有限个：命中1010环、命中环、命中9 9环、环、.命中1环 和命中和命中0 0环环(即不命中即不命中),),你认为这是古典概率模型你认为这是古典概率模型 吗吗?为什么为什么?所有可能的结果有所有可能的结果有1111个，个，
7、但命中但命中1010环、环、9 9环、环、.0.0环的环的 出现不是等可能的出现不是等可能的，故不是，故不是 古典概型古典概型.课堂典例课堂典例例7、单选题是标准化考单选题是标准化考试的常用题型，试的常用题型，一般是从一般是从A、B、C、D四个选项中选四个选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察择一个正确答案。若考生掌握了考察 的内容，就能选择唯一正确的答案；假设考生不会做，的内容，就能选择唯一正确的答案；假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少?n(Q)=4P(M)=课堂探究课堂探究思 考考 ：在标准化的考试中也有多选题，多选题是从
8、在标准化的考试中也有多选题，多选题是从A A、B、C、D四个选项中选出所有正确答四个选项中选出所有正确答案案(四个选项中至四个选项中至 少有一个选项是正确的少有一个选项是正确的),),你认为单选题和多选你认为单选题和多选题哪题哪 种更难选对种更难选对?为什么为什么?正确答案的所有可能的结果：正确答案的所有可能的结果：(1)(1)如果只有一个如果只有一个正确答案是对的，则有正确答案是对的，则有4 4种；种；(2)(2)如果有两个答案是正确的，则正确答案可以如果有两个答案是正确的，则正确答案可以是是AB,AAB,A C,AD,BC,BD,CD,共共 6 6 种种(3)(3)如果有三个答案是正确如果
9、有三个答案是正确的，则正确答案可以是的，则正确答案可以是ABC,ABD,ACD,BCD,共共 4 4 种种(4)(4)所有四个都正确，则正确答案所有四个都正确，则正确答案只有只有1 1种。种。正确答案的所有可能结果有正确答案的所有可能结果有4+6+4+1=154+6+4+1=15种，从种，从这15种 答案中任选一种的可能性只有答案中任选一种的可能性只有1/15,1/15,因此更难因此更难猜对。猜对。1 12 23 34 45 56 61 12 23 34 45 56 67 72 23 34 45 56 67 78 83 34 45 56 67 78 89 94 45 56 67 78 89 9
10、10105 56 67 78 89 9101011116 67 78 89 9101011111212同时掷同时掷两粒两粒均匀的骰子，落地时向上的点数均匀的骰子，落地时向上的点数之 和有几种可能有几种可能?点数之和为点数之和为7 7的概率是多少的概率是多少?记记A表示事件表示事件“点数点数之和为之和为7”,7”,则由表得则由表得n=36,m=6.列表法列表法一般适一般适 用于分用于分 两步完两步完 成的结成的结 果的列果的列 举。举。课堂典例课堂典例例8 抛掷两枚质地均匀的骰子抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为标记为I 号和号和号号),),观察两枚骰子分别可能出现的基观察两枚骰子分别可能出现的基本
11、结果本结果.(1)(1)写出此试验的样本空间，并判断这个试写出此试验的样本空间，并判断这个试验是验是 否为古典概型；否为古典概型；(2)(2)求下列事件的概率求下列事件的概率：A=“A=“两个点数之和是两个点数之和是5 5”;”;B=“两个点数相等两个点数相等”;”;C=“I 号骰子的点号骰子的点数大于数大于号骰子的点数号骰子的点数”.”.解：(1)1)样本空间样本空间Q=(m,n)|m,n1,2,3,4,5,6.共有共有3636个样本点个样本点.例8、抛掷两枚质地均匀的骰子掷两枚质地均匀的骰子(标记为标记为I 号和号和号号),),观观 察两枚骰子分别可能察两枚骰子分别可能出现的基本结果出现的
12、基本结果.(2)(2)求下列事件的求下列事件的概率：概率：A=“A=“两个点数之和是两个点数之和是5”;5”;B=“两个点数相等两个点数相等”;”;C=“I 号骰子的点数大于号骰子的点数大于号号骰子的点数骰子的点数”.”.1 12 23 34 45 56 6123 34 45 56 67 72345678 83456789 94567891010567891011116 678910 111212课堂典例课堂典例课堂探究课堂探究思思 考考 ：在上例中，为什么要把两枚骰子标上记在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号号?如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况?你
13、能解你能解 释其中的原因吗释其中的原因吗?如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两 个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的 结果是1点.这样，(1,2)和(2,1)的结果将无法区别.当不给两枚骰子标记号时，试验的样当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间本空间=(m,n)|m,n1,2,3,4,5,6,且且mn,则则n(Q)=21.其中，事件事件A=A=“两个点数之和是两个点数之和是5”5”的结的结果变为果变为A=(1,4),(2,3),这这时时课堂探究课堂探究思考：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的同一个事件的概率，为
14、什么会出现两个不同的 结果呢结果呢?可以发现，可以发现，3636个结果都个结果都是等可能的；而合并为是等可能的；而合并为2121个个可能结果时，可能结果时，(1,1)(1,1)和和(1,2)(1,2)发生的可能性大小不等，发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式 计算概率，计算概率，是错误的。是错误的。因此因此课堂小结课堂小结1.1.古典概型的特征：古典概型的特征：(1)(1)有限性有限性：样本空间的：样本空间的样本点只有有限个；样本点只有有限个；(2)(2)等可能性等可能性：每个样：每个样本点发生的可能性相等本点发生的可能
15、性相等.2.2.古典概型的概率：古典概型的概率：一般地，设试验一般地，设试验E是古是古典概型，样本空间典概型，样本空间包含n个样本点，事件个样本点，事件A A包含其中的包含其中的k k个样本点，则定个样本点，则定义事件A 的概率的概率归纳总结归纳总结归纳：求解古典概型问题的一般求解古典概型问题的一般思路：思路：(1)明确试验的条件及要观察的试验的条件及要观察的结果，用适当的符号结果，用适当的符号 (字母、数字、数组等字母、数字、数组等)表示试验的可能结果表示试验的可能结果(借助图借助图 表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果););(2)(2)根据
16、实际问题情境判断样本点的等可能性；根据实际问题情境判断样本点的等可能性；(3)(3)计算样本点总个数及事件计算样本点总个数及事件A A包含的样本点个数包含的样本点个数，求出事件求出事件A的概率的概率.例9 袋子中有袋子中有5 5个大小质地完全相同的球，其中个大小质地完全相同的球，其中2 2个红球、个红球、3 个黄球，从中球，从中不放回地不放回地依次随机摸出依次随机摸出2 2个球，求下列事件个球，求下列事件 的概率：的概率：(1)A=“第一次摸第一次摸到红球到红球”;”;(2)B=“第二次第二次摸到红球摸到红球”;(3)AB=“两次都摸到红球两次都摸到红球”.”.解：将两个红球编号为1、2,三个
17、黄球编号为3、4、5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每 个可能结果，第二次摸球时有4种等可能的结果.将两次 摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用下表表示.课堂典例课堂典例第一次第一次第二次第二次1 12 23 34 45 51 1(1,2)(1,2)(1,3)(1,3)(1,4)(1,4)(1,5)(1,5)2 2(2,1)(2,1)(2,3)(2,3)(2,4)(2,4)(2,5)(2,5)3 3(3,1)(3,1)(3,2)(3,2)(3,4)(3,4)(3,5)(3,5)4 4(4,1)(4,1)(4,2)(4,2)(4,3)(4,3)(4,5)(4,5)5 5(
18、5,1)(5,1)(5,2)(5,2)(5,3)(5,3)(5,4)(5,4)如果同时摸出2个球，那么事件AB的概率是多少?课堂典例课堂典例课堂典例课堂典例例10:10:从两名男生从两名男生(记为记为B B 和和B B)、两名女生、两名女生(记为记为G 和和G)中任意抽取两人中任意抽取两人.(1)(1)分别写出分别写出有放回有放回简单随机抽样简单随机抽样，不放回，不放回简单简单随机抽样和随机抽样和按性别等比例分层按性别等比例分层抽样的样本空抽样的样本空间间(2)(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都两人都是男生是男生的概率的概率.解：设第一次抽取的人记为X
19、第二次抽取的人记为X,则可 用数组(X,X)表示样本点.(1)根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间为=(B,B),(B,B),(B,G),(B,G),(B,B),(B,B),(B,G),(B,G),(G,B),(G,B),(G,G),(G,G),(G,B),(G,B),(G,G),(G,G)不放回简单随机抽样的样本空间为=(B,B),(B,G),(B,G),(B,B),(B,G),(B,G),(G,B),(G,B),(G,G),(G,B),(G,B),(G,G)按性别等比例分层抽样，先从男生中抽取一人，再从 女生中抽取一人，其样本空间为=(B,G),(B,G),(B,G),(B
20、,G).课堂典例(2)设事件A=“抽到两名男生”,则对于有放回简单随机抽样，A=(B,B),(B,B),(B,B),(B,B)且这是古典概型，因此 对于不放回简单随机抽样，A=(B,B),(B,B),且这是古典概型，因此 按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A=,因此P(A)=0.课堂典例解析：从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫 色不在一个花坛的种数有4种，故概率为 9 选C.例 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一 个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(C)A课堂小结课堂小结1.1.古典概型的特征：古典概型的特征：(1)(1)有限性有限性：样本空间的：样本空间的样本点只有有限个；样本点只有有限个；(2)(2)等可能性等可能性：每个样：每个样本点发生的可能性相等本点发生的可能性相等.2.2.古典概型的概率：古典概型的概率：一般地，设试验一般地，设试验E是古是古典概型，样本空间典概型，样本空间包含n个样本点，事件个样本点，事件A A包含其中的包含其中的k k个样本点，则定个样本点，则定义事件A 的概率的概率