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1、第三章第三章 线性方程组解法线性方程组解法 思思绪绪与解与解 f(x)=0 不动点迭代相同不动点迭代相同 ，将，将 等价等价改写为改写为 形式，建立迭代形式，建立迭代 。从初。从初值值 出发，得到序列出发，得到序列 。求解求解，有迭代法和直接法，有迭代法和直接法先介绍迭代法先介绍迭代法第1页3.1 雅可比雅可比(Jacobi)迭代法迭代法其中其中是迭代初值。是迭代初值。第2页写成写成矩阵形式矩阵形式：A=LUD写成迭代法形式写成迭代法形式B称为称为Jacobi 迭代阵迭代阵即即其中其中第3页 写成写成矩阵形式矩阵形式：BGauss-Seidel 迭代阵迭代阵3.2 高斯高斯-赛德尔赛德尔(Ga
2、uss-Seidel)迭代法迭代法第4页例例3.2.13.2.1 用用Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法求解方程组迭代法求解方程组取初始向量取初始向量,要求要求 时迭代终止。时迭代终止。解解：Gauss-Seidel Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为:第5页计算结果可列表以下计算结果可列表以下第6页注：注：注：注：1.1.1.1.未必未必SeidelSeidel方法一定比方法一定比JacobiJacobi方法好。方法好。2.2.二种方法都存在二种方法都存在收敛性问题收敛性问题。有例子表明：有例子表明：Gauss-SeidelGauss-Seidel法收敛时，法收
3、敛时，Jacobi Jacobi法可能不收敛；法可能不收敛；而而JacobiJacobi法收敛时，法收敛时，Gauss-Seidel Gauss-Seidel法也法也 可能不收敛。可能不收敛。第7页残余误差残余误差3.3 超超松弛迭代法松弛迭代法 ri(k+1)=下面令下面令 ，希望经过选取适当，希望经过选取适当 来加速收敛，来加速收敛，这就是这就是松弛法松弛法（或（或SOR法法）。称作称作松弛松弛因子因子。iikikikiarxx)1()()1(+=0 1低松弛法低松弛法 =1Gauss-Seidel 法法1 2(渐次渐次)超松弛法超松弛法第8页写成写成矩阵形式矩阵形式：松弛迭代阵松弛迭代阵
4、 （Kahan 必要条件）必要条件）设设 A 可逆，且可逆，且 aii 0，则，则松弛松弛法法 从任意从任意 出发都收敛出发都收敛 0 0 2 2 。定理定理3.3.1证实：证实：省略省略第9页3.4 迭代法收敛性迭代法收敛性收敛条件收敛条件设设存在唯一解，则从任意存在唯一解，则从任意 出发，出发，迭代迭代收敛收敛 (B)1)1定理定理3.4.1(迭代法基本定理迭代法基本定理)第10页 （充分条件）（充分条件）若存在一个矩阵范数使得若存在一个矩阵范数使得|B|=q 1 测试病态程度：测试病态程度：给一个扰动给一个扰动，其相对误差为，其相对误差为此时此时准确解准确解为为2.0102 200%第3
5、2页注：注：普通判断矩阵是否病态，并不计算普通判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验得出。，而由经验得出。行列式很大或很小（如一些行、列近似相关）；行列式很大或很小（如一些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。特征值相差大数量级。第33页1.1.熟悉熟悉JacobiJacobi迭代法和迭代法和Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法；迭代法；2.2.了解超松弛迭代法和迭代法收敛性定理；了解超松弛迭代法和迭代法收敛性定理；3.3.熟悉列主元消去法解线性方程组计算过程；熟悉列主元消去法解线性方程组计算过程；4.4.了解矩阵三角分解中了解矩阵三角分解中DoolittleDoolittle分解；分解；5.5.熟悉利用熟悉利用DoolittleDoolittle三角分解来求解线性方程三角分解来求解线性方程组思绪；组思绪；6.6.熟悉追赶法；熟悉追赶法；7.7.7.7.了解误差分析方法，掌握矩阵条件数定义。了解误差分析方法，掌握矩阵条件数定义。本章基本要求：本章基本要求：第34页