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1、第五章非线性方程及非线性方程组解法由何满喜由何满喜,尚绪凤制作尚绪凤制作计算方法课件计算方法课件第1页5.1 对分法对分法5.4 弦位法弦位法5.3 牛顿牛顿迭代法迭代法5.2 迭代法迭代法在本章，你将学到5.1 5.1 对分法对分法5.2 5.2 迭代法迭代法5.3 5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法5.4 5.4 弦位法弦位法5.5 5.5 解非线性方程组牛顿解非线性方程组牛顿迭代法迭代法5.5 解非线性解非线性方程组方程组牛顿迭代法牛顿迭代法第2页第五章第五章非线性方程及非线性方程组解法非线性方程及非线性方程组解法一个非线性方程根可能是实数也可能是复数，这里只考虑方程根为实数情况。第3页第五章
2、第五章5.1 5.1 对分法对分法设非线性方程（5.1）第4页第五章第五章5.1 5.1 对分法对分法若 则 就是 近似值.如此下去，这就是求方程实根对对分法分法。第5页第五章第五章5.1 5.1 对分法对分法（5.4）图5.1第6页第五章第五章5.1 5.1 对分法对分法并利用公式（5.2）和（5.3）继续以上过程，解解 记 则 第7页第五章第五章5.1 5.1 对分法对分法第8页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法把非线性方程(5.1)改写成以下等价形式方程 由此可作迭代公式（5.5）（5.6）迭代法几何意义如图5.2所表示。这就是非线性方程(5.1)求根迭代法迭代法,并把称为迭代函数
3、迭代函数。第9页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法从点出发，过点做平行于 再过点 该交点坐标为，又过点 第10页第五章图5.25.2 5.2 迭代迭代法法第11页是发散第12页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法例例2 2解解:(1)将原方程化为等价方程由此得迭代公式取 ，则有第13页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法显然迭代法发散。(2)假如将原方程化为等价方程则有迭代公式：仍取初值，则有第14页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法依这类推得x3=0.9940 x4=0.9990 x5=0.9998x6=1.0000 x7=1.0000一样方程不一样迭代格式有不一样结果已
4、经收敛,故原方程解为迭代函数结构相关什么形式迭代函数能够收敛呢?第15页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法问题是方程（5.1）改写成（5.5）等价形式方法较多，所以怎样改写或怎样选择迭代函数才能由迭代公式（5.6）得到序列收敛于？方程（5.1）根第16页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法定理定理1 1 把非线性方程（5.1）改写成（5.5）等价形式时，若迭代函数满足条件：即对任意都有（5.7）常数.（5.8）若L1,则由迭代公式（5.6）得到序列收敛于方程（5.1）根，并有误差预计式第17页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法第18页第五章5.2 5.2 迭代迭代法法连续，所以
5、对迭代公式（5.6）两边求极限得 故定理得证。第19页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法推论推论 设把方程(5.1)改写成(5.5)等价形式时，在实际应用中验证迭代公式（5.6）迭代函数 第20页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法解解 因为方程在区间内有一个正根，所以将方程改写成以下形式：所以取所以迭代公式第21页第五章第五章5.2 5.2 迭代迭代法法计算结果见表5.2，由此得正根为。第22页第23页第五章5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法设则其解为 并记为 第24页第五章第五章（5.10）式就称为牛顿迭代公式。牛顿迭代公式。（5.10）不然再把在就可得到一个迭代序列及迭代公式：点展开
6、成泰勒级数，继续这个做法，牛顿迭代公式牛顿迭代公式推导也可用以下方法得到。5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法第25页第五章第五章（5.11）令，则切线方程根为 5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法若则就是近似值,不然继续以上做曲线切线 过程,过点令则记第26页第五章第五章并记为 （5.10）继续考虑是否，若满足，则 就是 所以牛顿迭代法也称为切线法切线法。5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法牛顿迭代法几何意义就是用过点切线与x轴交点逐步迫近方程（5.1）根见图5.3。第27页第五章第五章图5.35.3 牛顿迭代法牛顿迭代法第28页第五章第五章定理定理2 2 设非线性方程（5.1）函数在区间上有二阶导数，是由（5.1
7、1）得到切线，那么 由此不难得到定理结论（5.12）和（5.13）。5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法由（5.11）得 第29页第五章第五章5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法定理定理3 3 设非线性方程（5.1）函数满足：（1）对任意，不变号，（2）对任意，（3）证实证实 由条件(1)、(2)知，函数是单调函数.再用条件(3)可知，(见后面图)：属于以下情况之一则由迭代公式（5.10）得到点列一定收敛于方程（5.1）唯一根 第30页第31页第五章第五章5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法（a）（b）（c）仅就情况（c）来证实。对初始值，要使满足，则必有所以在情况(c)下，若 实际上，因，故由(5.11)给出切线
8、第32页第五章第五章5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法对公式（5.10）求极限得所以切线零点，即点列是单调下降且有界，故必有极限，设,即，故是方程根，因为所以必有，从而，定理得证。满足条件（1）（3），所以方程根是唯一，第33页第五章第五章5.3 牛顿迭代法牛顿迭代法解解 把方程 等价变为以下方程：故迭代公式 第34页5.4 弦位法弦位法第35页第五章第五章5.4 5.4 弦位法弦位法弦位法是对曲线做过点直线（5.14）并用直线零点来迫近方程（5.1）根。先求方程根并把根记为就得迭代公式:（5.15）这就是求方程(5.1)根弦位法弦位法(也称双点弦截法也称双点弦截法).弦位法弦位法几何意义就是用直线
9、零点来逐步迫近方程（5.1）根，见图5.4。第36页第五章第五章5.4 5.4 弦位法弦位法图5.4类似于以上双点弦截法，也有单点弦截法，即还能够得到单点弦截法迭代公式：第37页第五章5.5 解非线性方程组牛顿迭代法解非线性方程组牛顿迭代法第38页第五章第五章5.5 5.5 解非线性方程组牛顿迭代法解非线性方程组牛顿迭代法以两个二元方程为例介绍解非线性方程组牛顿迭代法。对非线性方程组（5.16）设（5.16）一个初始近似解为，把 展开公式展开，并只取其线性部分，对非线性方程组（5.16）就可得以下线性方程组：第39页第五章第五章5.5 5.5 解非线性方程组牛顿迭代法解非线性方程组牛顿迭代法（
10、5.17）只要系数矩阵行列式(5.18)则方程组（5.17）解能够求出，即有第40页第五章第五章5.5 5.5 解非线性方程组牛顿迭代法解非线性方程组牛顿迭代法（5.19）其中（5.20）考查和，若都满足,那么 第41页第五章第五章5.5 5.5 解非线性方程组牛顿迭代法解非线性方程组牛顿迭代法就是非线性方程组近似解，不然继续以上做法，即用迭代公式（5.21）其中计算与公式（5.18）、（5.20）相同，只是把点换成点这就是求解非线性方程组牛牛顿顿迭代方法迭代方法。即可。第42页第五章第五章5.5 5.5 解非线性方程组牛顿迭代法解非线性方程组牛顿迭代法例例4 4 设有非线性方程试用牛顿迭代方法在附近求解。解解 先计算对应线性方程组（5.17）系数矩阵得再用公式（5.18）、（5.20）计算出 第43页第五章第五章5.5 5.5 解非线性方程组牛顿迭代法解非线性方程组牛顿迭代法第44页第五章第五章5.5 5.5 解非线性方程组牛顿迭代法解非线性方程组牛顿迭代法所以非线性方程组解为 第45页