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1、YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量1.1.数列极限和无穷大数列极限和无穷大2.2.函数极限函数极限3.3.连续函数连续函数 4.4.无穷小量和无穷大量阶无穷小量和无穷大量阶Chapt 2.极限与连续极限与连续第1页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量1.数列极限和无数列极限和无穷穷大量大量一、数列极限定义一、数列极限定义二、数列极限性质二、数列极限性质三、数列极限运算三、数列极限运算四、单调有界数列四、单调有界数列五、无穷大量定义五、无穷大量定义六、无穷大量性质和运算六、无穷大量性质和运算七、小结七、小结 思索题思索题第
2、2页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周播放播放 极限思想：极限思想：三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！第3页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量讨论圆内接正多边形与该圆周关系讨论圆内接正多边形与该圆周关系已知已知圆内接正多边形周长圆内接正多边形周长未知未知圆周长
3、圆周长（1）在任何有限过程中，即）在任何有限过程中，即对任何确定对任何确定n，皆为皆为 近似近似值；（值；（2）在无限过程中，即）在无限过程中，即当当n无限增大时，无限增大时，无限靠近无限靠近于常数于常数 准确准确值。值。是是 当当n无限增大时极限无限增大时极限第4页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量 圆面积亦如此。圆面积亦如此。启示：启示：已知与未知已知与未知 有限与无限有限与无限 近似与准确近似与准确 直线与曲线直线与曲线第5页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量2 2、截丈问题、截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不
4、竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”第6页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量一、数列极限定义一、数列极限定义1.1.数列数列:是是按次序排列一列无穷多个数按次序排列一列无穷多个数 LL,21nxxx 数列是定义在自然数集数列是定义在自然数集N上函数。即以上函数。即以N为定义域由小到为定义域由小到大取值所对应一列函数值。大取值所对应一列函数值。对对 ，设，设 ，则，则 函数值：函数值：自变量：自变量：nx，表示为数列表示为数列为第为第n项或通项。项或通项。第7页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量比如：比如：01摆动！摆动！无
5、限增大无限增大!考虑数列考虑数列第8页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量播放播放定性分析：定性分析：当当n无限增大时，无限增大时，无限趋近于无限趋近于1，数，数1即所谓即所谓 “极限极限”。第9页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量定量分析：定量分析：无限趋近于无限趋近于1是指：是指：当当 n 充分大时充分大时,能任意小，并保持任意小。能任意小，并保持任意小。比如：比如：即即 自然数自然数10，当，当n10时，有时，有 第10页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量由不等式有由不等式有
6、，故只须，故只须 即可。即可。以上还不能说明以上还不能说明 任意小，并保持任意小，毕任意小，并保持任意小，毕竟它们都还是确定数。竟它们都还是确定数。自然数自然数 ，当，当 时，便有时，便有 定量定义：定量定义：则称数则称数1是是 极限。极限。第11页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量若数列不存在极限若数列不存在极限,则称数列是发散则称数列是发散.如如 是发散数列是发散数列.第12页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量、数列极限几何解释、数列极限几何解释:第13页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极
7、限和无穷大量邻域法邻域法 可见：数列是否有极限，只与它从某一项以可见：数列是否有极限，只与它从某一项以后相关，而与它前面有限个项无关。因之，在后相关，而与它前面有限个项无关。因之，在讨论数列极限时，可添加、去掉或改变其有限讨论数列极限时，可添加、去掉或改变其有限个项数值，对收敛性和极限都无影响。个项数值，对收敛性和极限都无影响。？第14页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量（2）N存在性与非唯一性，且存在性与非唯一性，且N仅与仅与 相关而相关而 与与n无关。无关。（1）正数）正数 任意性和相对固定性。任意性和相对固定性。4、关于数列极限定义几点了解、关于数列
8、极限定义几点了解（3）当）当 时，即以零为极限数列称时，即以零为极限数列称为无穷小量。为无穷小量。无穷小量不是很小量。无穷小量不是很小量。第15页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第16页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量例例1证证:方法方法1：直接解不等式直接解不等式 ，求，求N.数列极限定义未给出求极限方法数列极限定义未给出求极限方法.注意：注意：(不妨设不妨设 )第17页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量例例2证：证：第18页YunnanUniversity1.数列极限和无穷
9、大量数列极限和无穷大量小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但无须要求最小但无须要求最小N.方法方法2：若若 不易求解，可设法不易求解，可设法先把先把 适当地放大适当地放大 ，再，再由由 求解求解N.第19页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量证实：分三种情况证实证实：分三种情况证实.or此法一。此法一。第20页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量（法二）（法二）第21页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第22页YunnanU
10、niversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第23页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第24页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第25页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第26页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第27页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量()bax()二、列极限性质二、列极限性质第28页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第29页Yunnan
11、University1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第30页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量Th2.（唯一性）收敛数列极限是唯一。（唯一性）收敛数列极限是唯一。第31页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量称称“两边夹两边夹”法法则则第32页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第33页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第34页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第35页YunnanUniversity1.
12、数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量Def:Def:第36页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第37页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量 Th4.有极限数列是有界。有极限数列是有界。第38页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量三、数列极限运算三、数列极限运算第39页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第40页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第41页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限
13、和无穷大量注注1.两数列收敛仅是极限运算成立充分条件，而非必要两数列收敛仅是极限运算成立充分条件，而非必要条件。条件。比如：比如：第42页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量注注2.极限运算可推广到有限多个数列情形，但对无穷多个却极限运算可推广到有限多个数列情形，但对无穷多个却不成立。不成立。第43页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第44页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第45页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第46页YunnanUnive
14、rsity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第47页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量四四.单调有界数列单调有界数列DefDef:若等号都不成立，则称它是严格单调增加（或降低）。若等号都不成立，则称它是严格单调增加（或降低）。Th（实数连续性）（实数连续性）单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。第48页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第49页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第50页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量五五.无穷大量
15、定义无穷大量定义DefDef:第51页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量极限含义差异。注注).O-GGx第52页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第53页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第54页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第55页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量六、无穷大量性质和运算六、无穷大量性质和运算Th.第56页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第57页
16、YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第58页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第59页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第60页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量第61页YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量七、小结七、小结数列数列:研究其改变规律研究其改变规律;数列极限数列极限:极限思想、定义、几何意义极限思想、定义、几何意义;收敛数列性质收敛数列性质:保号性、唯一性、保号性、唯一性、“两边夹法则两边夹法则”、有界性、有界性;数列极限运算数列极限运算:代数和、积与商代数和、积与商;单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。无穷大量、定义、性质和运算无穷大量、定义、性质和运算第62页