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1、 完全平方公式完全平方公式 九台市第三十一中九台市第三十一中 学学 李李 淑淑 凤凤第1页回顾旧知回顾旧知平方差公式平方差公式 (a+b)(a b)=a2-b2那么那么(a+b)(a+b)和和(a-b)(a-b)是否是否也能用一个公式来表示呢？也能用一个公式来表示呢？第2页 完完 全全 平平 方方 公公 式式 一块边长为a米正方形试验田，做一做做一做图图图图1 1 6 6a 因需要将因需要将因需要将因需要将其边长增加其边长增加其边长增加其边长增加 b b 米。米。米。米。形成四块形成四块形成四块形成四块试验田，以种植不一样新品种试验田，以种植不一样新品种试验田，以种植不一样新品种试验田，以种植
2、不一样新品种(如图如图如图如图1 1 6 6).).用不一样形式表示试验田用不一样形式表示试验田用不一样形式表示试验田用不一样形式表示试验田总面积总面积总面积总面积,并进行比较并进行比较并进行比较并进行比较.abb法一法一法一法一 直直直直接接接接求求求求总面积总面积总面积总面积=(a+b)；2 2法二法二法二法二间间间间接接接接求求求求总面积总面积总面积总面积=a2+a ab b+a ab b+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你发觉了什么你发觉了什么?探索探索:2公式公式:第3页计算以下各式，你能发觉什么？计算以下各式，你能发觉什么？(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=(2)(m
3、+2)2=(3)(p-1)2 =(p-1)(p-1)=(4)(m-2)2=p2+2p+1(m+2)(m+2)=m2+4m+4p2-2p+1(m-2)(m-2)=m2-4m+4第4页计算以下各式，你能发觉什么？计算以下各式，你能发觉什么？(1)(p+1)2=(2)(m+2)2=(3)(p-1)2 =(4)(m-2)2=p2+2p+1=p2+2p1+12m2+4m+4=m2+2m2+22p2-2p+1=p2-2p1+12m2-4m+4=m2-2m2+22猜测猜测 (a+b)2=(a-b)2=a2+2ab+b2a2-2ab+b2第5页 完全平方公式 动脑筋动脑筋(1)(1)你能用多项式乘法法则来说明
4、它成立吗你能用多项式乘法法则来说明它成立吗你能用多项式乘法法则来说明它成立吗你能用多项式乘法法则来说明它成立吗?想一想想一想想一想想一想(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推证推证推证推证(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(2)(2)a2 2ab+b2.小颖写出了以下算式小颖写出了以下算式小颖写出了以下算式小颖写出了以下算式:(ab)2=a+(b)2(ab)2=她是怎么想她是怎么想她是怎么想她是怎么想?利用两数和利用两数和利用两数和利用两数和完全平方公式完全平方公式完全平方公式完全平方公式推证公式推证公式推证公式推证公式(a a b b)2 2=a
5、a+(b b)2 2=2 2 +2 2 +2 2 a aa a(b b)(b b)=a a2 22 2a ab bb b2 2.+你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗?证实证实第6页bbaa(a+b)ababab+完全平方和公式：完全平方公式完全平方公式 图形了解图形了解第7页aabb(a-b)aababbbb完全平方差公式：完全平方公式完全平方公式 图形了解图形了解第8页 初 识 完全平方 公式(a+b)2=a2+2ab+b2 .(ab)2=a2 2ab+b2.a aa ab bb ba2ababb2结构特征结构特征结构特征结构特征:左边是左边是左边是左边是平方平
6、方平方平方;二项式二项式二项式二项式右边是右边是右边是右边是(两数和两数和两数和两数和 )(差差差差)(a a+b b)2 2=a a2 2 a ab b b b(a a b b)=a a2 222a ab b+b b2 2.=(a a b b)2 2a a b ba a b ba aa aa ab bb b(a a b b)b bb b(a a b b)2 2a a2 2+2 2a ab b+b b2 2两数平方和两数平方和两数平方和两数平方和加上加上加上加上(减去减去减去减去)这两数乘积两倍这两数乘积两倍这两数乘积两倍这两数乘积两倍.(a a b b)2 2=a a2 2 2 2a ab
7、b+b b2 2几几几几何何何何解解解解释释释释:用自己语言用自己语言用自己语言用自己语言叙述上面公叙述上面公叙述上面公叙述上面公式式式式语言表述语言表述语言表述语言表述:两数和两数和两数和两数和 平方平方平方平方 等于等于等于等于这两数平方和这两数平方和这两数平方和这两数平方和 加上加上加上加上 这两数乘积两倍这两数乘积两倍这两数乘积两倍这两数乘积两倍.(差差差差)(减去减去减去减去)第9页公式特点：公式特点：4 4、公式中字母、公式中字母a a，b b能够表示数，单项式和能够表示数，单项式和 多项式多项式。(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b21 1、积为二次三项
8、式；、积为二次三项式；2 2、积中两项为两数平方和；、积中两项为两数平方和；3 3、另一项是两数积、另一项是两数积2 2倍，且与乘式中倍，且与乘式中 间符号相同。间符号相同。首平方，尾平方，首平方，尾平方，积积2 2倍在中央倍在中央 第10页例题解析学一学学一学 例例例例1 1 利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：(1)(1)(2(2x x 3)3)2 2 ；(2)(2)(4(4x x+5 5y y)2 2;(3)(3)(mnmn a a)2 2 使用完全平方公式与平方差公式使用一样使用完全平方公式与平方差公式使用一样使用完全平方公式与平方差
9、公式使用一样使用完全平方公式与平方差公式使用一样,注意注意注意注意先把要计算式子与完全平方公式对照先把要计算式子与完全平方公式对照先把要计算式子与完全平方公式对照先把要计算式子与完全平方公式对照,明确哪个是明确哪个是明确哪个是明确哪个是 a a,哪个是哪个是哪个是哪个是 b.b.第一数第一数第一数第一数2 2x x4 4x x2 22 2x x平方平方平方平方,()()2 2 减去减去减去减去2 2x x第一数第一数第一数第一数与第二数与第二数与第二数与第二数 2 2x x3 3 乘积乘积乘积乘积2 2倍倍倍倍,2 2加上加上加上加上+第二数第二数第二数第二数3 3平方平方平方平方.2 2=1
10、212x x+9 9 ;自己做自己做 (2)(3)(2)(3).解：解：(1)(2(2x x 3)3)2 2 做题时要做题时要做题时要做题时要边念边写：边念边写：边念边写：边念边写：=3 3第11页随堂练习随堂练习1.下面各式计算错在哪里？应怎样更正？下面各式计算错在哪里？应怎样更正？(1).(a+b)2=a2+b2(2)(2).(a-b)2=a2-b2第12页纠纠 错错 练练 习习 指出以下各式中错误，并加以更正：指出以下各式中错误，并加以更正：指出以下各式中错误，并加以更正：指出以下各式中错误，并加以更正：(1)(1)(2(2a a1)1)2 22 2a a2 222a a+1;1;(2)
11、(2)(2(2a a+1)1)2 24 4a a2 2+1 1；(3)(3)(a a 1)1)2 2 a a2 2 2 2a a 1.1.解解解解:(1)(1)(1)(1)第一数第一数第一数第一数被被被被平方平方平方平方时时时时,未添括号未添括号未添括号未添括号;第一数与第二数乘积第一数与第二数乘积第一数与第二数乘积第一数与第二数乘积2 2 2 2倍倍倍倍 少乘了一个少乘了一个少乘了一个少乘了一个2 2 2 2;应改为应改为应改为应改为:(2(2a a1)1)2 2 (2 2a a)2 222 2 2a a 1+1;1+1;(2)(2)(2)(2)少了少了少了少了第一数与第二数乘积第一数与第二
12、数乘积第一数与第二数乘积第一数与第二数乘积2 2 2 2倍倍倍倍(丢了一项丢了一项丢了一项丢了一项);应改为应改为应改为应改为:(2(2a a+1)1)2 2 (2 2a a)2 2+2 2 2 2a a 1 1 +1;+1;(3)(3)(3)(3)第一数平方第一数平方第一数平方第一数平方未添括号未添括号未添括号未添括号,第一数与第二数乘积第一数与第二数乘积第一数与第二数乘积第一数与第二数乘积2 2 2 2倍倍倍倍 错了符号错了符号错了符号错了符号;第二数平方第二数平方第二数平方第二数平方 这一项这一项这一项这一项错了符号错了符号错了符号错了符号;应改为应改为应改为应改为:(a a1)1)2
13、2(a a)2 222(a a)1 1+1 12 2;第13页拓拓 展展 练练 习习 以下等式是否成立以下等式是否成立以下等式是否成立以下等式是否成立?说明理由说明理由说明理由说明理由(1)(1)(4a4a+1)1)2 2=(1=(1 4a)4a)2 2；(2)(2)(4a4a 1)1)2 2=(4a=(4a+1)1)2 2；(3)(3)(4a(4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1)(4a(4a 1)1)2 2；(4)(4)(4a(4a 1)(1)(1 1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a+1).1).(1)(1)由加法交换律由加法交换律
14、由加法交换律由加法交换律 4a4a+l ll l 4a4a。成立成立成立成立理由理由理由理由:(2)(2)4a4a 1 1 (4a+1)(4a+1)，成立成立成立成立(4a4a 1)1)2 2 (4a(4a+1)1)2 2(4a+1)(4a+1)2 2.(3)(3)(1(1 4a)4a)(1 1+4a)4a)不成立不成立不成立不成立即即即即(1(1 4a)4a)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)1)，(4a(4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1)(4a(4a 1)1)2 2。不成立不成立不成立不成立(4
15、)(4)右边应为右边应为右边应为右边应为:(4a(4a 1)(4a+1)1)(4a+1)。第14页随堂练习随堂练习随堂练习 (1)(x 2y)2；(2)(2xy+x)2 ;2 2、利用完全平方公式、利用完全平方公式计算：计算：(3)(-2x+5)2(4)(n+1)2 n2.第15页例例2:利用完全平方公式计算利用完全平方公式计算:学一学学一学(1)1022 (2)992解解:(1)1022=(100+2)2 =1002+21002+22 =10000+400+4=10404(2)992=(100-1)2 =1002-21001+12 =10000-200+1 =9801第16页(1)(a+b)
16、2与与(-a-b)2相等吗相等吗?(2)(a-b)2与与(b-a)2相等吗相等吗?(3)(a-b)2与与a2-b2相等吗相等吗?第17页本节课你收获是什么？注意完全平方公式和平方差公式不一样：注意完全平方公式和平方差公式不一样：注意完全平方公式和平方差公式不一样：注意完全平方公式和平方差公式不一样：形式不一样形式不一样形式不一样形式不一样结果不一样：结果不一样：结果不一样：结果不一样：完全平方公式结果完全平方公式结果完全平方公式结果完全平方公式结果 是三项，是三项，是三项，是三项，即即即即(a (a b)b)2 2a a2 2 2ab2ab+b b2 2;平方差公式结果平方差公式结果平方差公式
17、结果平方差公式结果 是两项，是两项，是两项，是两项，即即即即(a(a+b)(ab)(a b)b)a a2 2 b b2 2.有时需要进行变形，使变形后式子符合应用完全平方公式条有时需要进行变形，使变形后式子符合应用完全平方公式条有时需要进行变形，使变形后式子符合应用完全平方公式条有时需要进行变形，使变形后式子符合应用完全平方公式条件，即为件，即为件，即为件，即为“两数和两数和两数和两数和(或差或差或差或差)平方平方平方平方”，然后应用公式计算，然后应用公式计算，然后应用公式计算，然后应用公式计算.在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定a a和和和和b b、对照公式原形两边、对照公式原形两边、对照公式原形两边、对照公式原形两边,做到不丢做到不丢做到不丢做到不丢项、不弄错符号、项、不弄错符号、项、不弄错符号、项、不弄错符号、2 2abab时不少乘时不少乘时不少乘时不少乘2 2；第一；第一；第一；第一(二二二二)数是数是数是数是乘积被平方时乘积被平方时乘积被平方时乘积被平方时要注意添括号要注意添括号要注意添括号要注意添括号,是利用完全平方公式进行多项式乘法关键是利用完全平方公式进行多项式乘法关键是利用完全平方公式进行多项式乘法关键是利用完全平方公式进行多项式乘法关键第18页