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1、流流 体体 力力 学学 退 出中国科学文化出版社第1页第二篇 流体动力学基本原理及流体工程 流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相同原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体流动 气体动力学基础 第五章第六章第七章第八章第九章退 出返 回第十章第十一章第十二章第2页 第五章 流体动力学微分形式基本方程 连续性方程 理想流体运动方程 实际流体运动方程 第一节第二节第三节退 出返 回第3页 流体运动须遵照物质运动一些普遍规律，如质量、动量质量、动量和能量守恒定律和能量守恒定律。这些普遍规律应用于流体运动就可得到联络流体速度、密度、压力、温度
2、等参数之间关系式，这些关系式称为流体动力学基本方程。基本方程能够对微元体建立，得到微分形式基本方程；也能够对控制体建立，经过对控制体和控制面积分而得到流体参数间积分关系式。求解微分形式基本方程或求解对微元控制体建立积分形式基本方程，能够给出流场细节，即空间各点上压力、温度、速度、密度等流体参数分布。本章讨论微分形式基本方程。第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第1页页第4页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第一节 连续性方程 第第2页页图 5.1 正六面体流体微团x zydydxdzwxdydz o在研究流体运动时，对于流体量处理上必须遵照物质不灭原理。因为流体充满
3、整个流场，连续不停运动，所以在流体力学中物质不灭原理又称为连续性原理。反应这个原理数学关系式叫做连续性方程。一、笛卡儿坐标系统连续性方程在流场中取一六面体微团，其边长为，（图5.1）。沿 方向在单位时间内流入六面体流体质量为沿方向在单位时间内流出六面体流体沿方向在单位时间内净流出质量为六面体流体质量为第5页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第一节 连续性方程第第3页页同理可得：沿方向在单位时间内净流出六面体流体质量为沿方向在单位时间内净流出六面体流体质量为单位时间内净流出整个六面体流体质量为另外，流体密度随时间改变也影响六面体中流体质量。设在时刻流体密度为 时刻流体密度为 ，则在
4、单位时间内因为密度改变而使六面体中增加流体质量为，第6页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第一节 连续性方程第第4页页依据连续流动原理，净流出六面体流体质量与六面体中流体增加量之和为零，六面体中流体质量是不变，即式（5.1）就是流体连续性方程。将上式展开，而且注意到（5.1）则连续性方程也可写成写成向量形式（5.3）（5.3a）或（5.2）第7页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第一节 连续性方程第第5页页对于稳定流动，于是式（5.1）变为即 （5.4a）（5.4）对于不可压缩流体，为常数，则连续性方程为（5.5）（5.5a）即第8页第五章 流体动力学微分形式基本方
5、程 退 出返 回第一节 连续性方程第第6页页o图 5.2 扇形六面体流体微团zArB drDCdzdr二、圆柱坐标系统连续性方程在圆柱坐标系统中，取一扇形六面体流体微团ABCD，如图5.2所表示。单位时间内流入AB、BC、CA面流体质量分别为，单位时间内流出CD、DA、BD面流体质量分别为，第9页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第一节 连续性方程第第7页页单位时间内，微团中净流出流体质量为因为微团中流体密度增加而使微团中增加流体质量为依据连续性原理，微团中流体质量总改变应等于零，所以此即圆柱坐标系统连续性方程。（5.6）对于不可压缩流体，为常数，连续性方程为（5.7）第10页第
6、五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第二节 理想流体运动方程第第1页页图 5.3 流体微团在x方向所受力x zydydxdzpdydzXo 运动方程描述流体在运动中所受力与流动参量之间关系。理想流体是指无粘性流体。工程实践中流体都是含有粘性，它们并不是理想流体，但在很多情况下，流体粘性力和其它力比起来作用很小，因而可视为理想流体。一、理想流体运动方程建立建立运动方程基础是牛顿第二运动定律。在理想流体流场中取出一微小六面体微团。微团所受力有表面力（压力）和体积力（质量力）。六面体在 轴方向上所受表面力和单位质量体积力如图5.3所表示。设单位质量体积力为X、Y、Z，则在轴方向依据牛顿第二
7、运动定律应有第11页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第2页页化简得、轴方向力平衡关系式，于是有同理可推导得到（5.8）第二节 理想流体运动方程第12页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第3页页式中，称为单位质量体积力矢量。（5.8a）（5.8）式就是理想流体运动方程，它是欧拉于1755年提出，故又称欧拉运动方程。它给出了压力、体积力与惯性力关系。对于给定流体（密度已知，或者已知压力与密度关系，比如气体方程），在已知体积力场（即X、Y、Z已知）内，依据此式和连续性方程进行积分，可解出任意时刻 t，流场中任意位置（x，y，z）p，wx，wy，wz。不过实际对该式进
8、行解析计算是有困难，往往需要给定限制条件。最简单限制条件是讨论沿流线运动和无旋流场。这两种情况都是有现实意义，后面将详细讨论。第二节 理想流体运动方程第13页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第4页页欧拉方程在圆柱坐标系统中形式，能够用上述一样方法得到，在流场中取微小扇形六面体微团，然后依据牛顿第二运动定律列出微团力平衡方程，从而得到该坐标系统欧拉运动方程，详细形式以下（5.9）式中、分别为单位质量体积力在r、z方向分量。第二节 理想流体运动方程第14页、p、T，除了用欧拉方程和连续性方程外，还要增加状态方程和能量方程来求解。求解理想流体运动问题主要依靠欧拉方程和连续性方程。方
9、程是普遍，但各个问题初始条件和边界条件不一样，所以对各个详细问题应作详细分析。初始条件是指流体运动开始瞬时所对应条件。在理想流体力学问题中，所要求是第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第5页页二、理想流体运动方程求解对不可压缩流体流动，未知量为p、连续性方程就能求解。对可压缩流体流动，其未知量有、p、T，所以，在 时，这些物理量，故欧拉方程加上数值应是给出，即第二节 理想流体运动方程第15页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第6页页其中，f1至f6是给定函数。对于稳定流动，流场中各点物理量不随时间改变，所以不存在初始条件。边界条件是指所求物理量在边界上取值。如对静
10、止固体壁面，因为流体不能穿过这种壁面，同时流体与边界壁面间不会形成空隙，则紧贴边界壁面那层流体沿壁面法线方向流体速度分量为零，即 ，而其切向分量不为零。对移动固体壁面，该层流体速度法向分量必须等于固体边界壁面上对应点速度法向分量，即 又如依据作用力和反作用力相等定律，流体作用于边界壁面或自由面上外界介质流体质点力，等于边界壁面或外界介质作用于该流体上力，即第二节 理想流体运动方程第16页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第7页页例题例题5.1 有一稳定流场，其速度分布为，试证实它是不可压缩流动。又假定质量力为重力，z 轴垂直向上，长度单位为m，试计算点M（2，2，5）处压力梯度
11、。解解：连续性方程和运动方程分别为对不可压缩流动连续性方程变为将速度分布代入上式得到所以，该流动为不可压缩流动。第二节 理想流体运动方程第17页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第8页页因为质量力为重力，则运动方程为 将给定A，x，y，z代入，得到第二节 理想流体运动方程第18页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第三节 实际流体运动方程 第第1页页一、实际流体运动方程建立欧拉方程是属于理想流体运动方程，理想流体是没有粘性。实际流体含有粘性，所以作用在流体微团上力将愈加复杂。现仍取流场中边长为 微团六面体来分析（图5.4）。因为流体含有粘性，因而，作用在每个正方形面
12、上力，除去法向力外还有切向力（剪切力）。而法向力也和理想流体情况不一样，它不只是流体表面力（压力），而且还有因为剪切变形引发附加法线方向力。用 表示法向应力，用 表示切向应力。则全部作用在微团上沿x轴方向表面力协力为、x轴方向质量力为第19页 退 出返 回第20页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第2页页第三节 实际流体运动方程 依据牛顿第二运动定律列出x轴方向力平衡式以下即 一样可得到沿y和z轴方向力平衡关系式，经化简得到（5.10）第21页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第3页页第三节 实际流体运动方程 将弹性力学中应力应变关系式应用到流体力学中，作以下替
13、换：用流体力学中变形速率代替弹性力学中应变；用流体动力粘度代替固体剪切模量G；用流体压力负值（）代替弹性力学中平均法向应力。当流体流动停顿（静止流体）或者作匀速运动时，全部剪切应力都将消失，法向应力中只剩下压力（），而对于存在剪切应力普通情况，此种压力依然存在，而且与坐标方向无关，所以在普通实际流体运动方程中仍可认为 ，只有在速度梯度和温度梯度极高时才有较大偏差。经过上述替换，能够得到实际流体运动时应力与变形速率关系以下 第22页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第4页页第三节 实际流体运动方程 由式（5.11）前三式能够看出，粘性流体运动中法向应力由两部分组成，即静压力p和剪
14、切变形引发附加法线方向应力。将式（5.11）代入式（5.10）可得 （5.11）第23页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第5页页第三节 实际流体运动方程 式（5.12）就是实际流体运动方程，或称纳维斯托克斯（Navier-Stokes）方程。当流体粘度不变时，式（5.12）能够写成（5.12）第24页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第6页页第三节 实际流体运动方程 或者写成向量形式（5.13）对于不可压缩流体，因为，则写成第25页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第7页页第三节 实际流体运动方程 或者写成向量形式（5.14）对于圆柱坐标系统，
15、考虑一扇形六面体微团（以r，r+dr，+d，z，z+dz六个面为边界面），按牛顿第二运动定律取力平衡，能够得到圆柱坐标系统纳维斯托克斯方程。考虑粘度为常数时，其形式以下（推导从略）第26页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第8页页第三节 实际流体运动方程（5.15）第27页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第9页页第三节 实际流体运动方程（5.16）式中Fr，F，Fz为单位质量体积力在r，z方向分量。第28页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第10页页第三节 实际流体运动方程 对于不可压缩流体，。对于稳定流动，有上述方程显然便可简化。二、实际流体
16、运动方程求解由纳维斯托克斯方程、连续性方程、状态方程、能量方程（热力学第一定律）和粘度温度关系式七个方程能够联立求解出、p、T、七个未知量。求解必须在一定初始条件和边界条件下进行，对于稳定流动，只需给出边界条件。因为粘性流体粘附效应，固体壁面上流体质点和对应固体壁面含有相同速度，即、注意到纳维斯托克斯方程中，惯性项是非线性项，因而求解十分困难。对于理想流体，存在速度势时，不可压缩理想流体流动问题简化为求解拉普拉斯问题，因而能够由许多简单流动叠加成为复杂流动。但对于粘性流体，因为是非线性问题，就不能用叠加方法求解。第29页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第11页页第三节 实际流
17、体运动方程 迄今为止，除了一些经典问题以外，普通问题解析求解依然是不可能。近年来数值计算方法发展很快，借助于当代计算工具，使工程实际中许多复杂流体力学问题得以处理，而纳维斯托克斯方程作为计算基础是十分主要。例题例题2 求解两块固定无限长二维平行平板间不可压缩流体稳定层流问题（图5.5）。解解：x轴取在两平板中间，流动沿x方向，故wy=wz=0，对于不可压缩流体稳定平面流动，纳维斯托克斯方程和连续性方程为第30页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第12页页第三节 实际流体运动方程 第二、第三式说明压力p仅是x函数，而与y、z无关，最终一式说明wx与x无关，这么，第一式成为yxoh
18、p2lp1图5.5 两平板内流动xo第31页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第13页页第三节 实际流体运动方程 上式左边为x函数，右边是y函数，对于不一样变量全微分等式，仅当等式两边都等于常数时才能成立，故有由边界条件：当时，得到、则可得到流速分布可见wx沿平板间隙高度方向是抛物线分布，如图5.5所表示。若板长为l，入口和出口端压力分别为p1和p2，则流速分布公式可写成第32页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第14页页第三节 实际流体运动方程 流过板宽b流量为rxoRp2lp1图5.6圆管内层流流动zo例题例题3 求解长圆管内不可压缩流体稳定层流问题。设管长
19、为l、质量力不计（图5.6）。解解：显然该问题中，。由柱坐标下不可压缩流体连续性方程和纳维斯托克斯方程得到第33页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第15页页第三节 实际流体运动方程 由第一式和流动对称性可知，由第一式及流动对称性可知，wz仅是r函数。由第二、第三式可知p仅是z函数。这就是说垂直于管子轴线各端面上速度分布是相同，同一端面上压力分布是均匀。第四式中，第一项为z函数，第二项为r函数，故仅当两项均为常数时，该式方能成立。对第四式进行积分得到 由边界条件，有界，得到，把C1、C2值代入得第34页第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第第16页页第三节 实际流体运动方程 由第一式和流动对称性可知，因为，所以得到圆管内不可压缩流体稳定层流速度分布为上式说明，流体沿等直径圆管作稳定层流运动时圆管端面上速度是按旋转抛物面分布。流量为第35页