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1、一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续三、多元函数微分学三、多元函数微分学 二、导数与微分二、导数与微分微分学微分学四、微分学应用四、微分学应用第1页一、一、函数、极限、连续函数、极限、连续1.函数定义定义:定义域 值域设函数为特殊映射:其中定义域：使表示式有意义实数全体或由实际意义确定。第2页函数特征函数特征有界性,单调性,奇偶性,周期性 复合函数(结构新函数主要方法)初等函数由基本初等函数 经有限次四则运算与有限次复合而成且能用一个式子表示函数.比如比如.函数函数函数函数基本初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数第3页2 2 极限极限极限极限 极限定义等价形式(
2、以 为例)极限存在准则及极限运算法则第4页无穷小无穷小无穷小无穷小无穷小性质;无穷小比较;惯用等价无穷小:两个主要极限两个主要极限 等价无穷小代换第5页存在(或为 )定理定理(洛必达法则)说明说明:定理中换为之一,条件 2)作对应修改,定理依然成立.洛必达法则洛必达法则第6页3.3.连续与间断连续与间断连续与间断连续与间断函数连续定义函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限最少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点主要结论：主要结论：初等函数在定义区间内连续初等函数在定义区间内连续第7页例例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提醒提醒:第8页有没有穷间断点及可去
3、间断点解解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例例例例4.4.设函数设函数设函数设函数试确定常数 a 及 b.第9页二、二、导数和微分导数和微分导数导数 定义:当时,为右导数当时,为左导数 微分微分:关系关系:可导可微导数几何意义导数几何意义:切线斜率切线斜率1.相关概念第10页例例例例5.5.5.5.设设设设在处连续,且求解解:第11页2.导数和微分求法正确使用导数及微分公式和法则（要求记住！）隐函数求导法参数方程求导法高阶导数求法(逐次求一阶导数）第12页例例例例6.6.求由方程求由方程求由方程求由方程在 x=0 处导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定隐函数
4、第13页例例7.7.求解解:关键关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导第14页三、多元函数微分法1.多元显函数求偏导和高阶偏导2.复合函数求偏导注意正确使用求导符号3.隐函数求偏导将其余变量固定，对该变量求导。第15页4.全微分5.主要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续第16页例例8.8.求求求求解法解法1:解法解法2:在点(1,2)处偏导数.第17页解：设则例例例例9.9.9.9.设设设设第18页 拉格朗日中值定理 四、导数与微分应用1.微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 第19页函数单调性判定及极值求法函数单调
5、性判定及极值求法若定理定理 1.设函数则 在 I 内单调递增(递减).在开区间 I 内可导,3.3.函数性态函数性态:2.2.导数几何意义导数几何意义第20页极值第一判别法极值第一判别法极值第一判别法极值第一判别法且在空心邻域内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,第21页极值第二判别法极值第二判别法极值第二判别法极值第二判别法二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.第22页例例例例10.10.确定函数确定函数确定函数确定函数单调区间.解解:令得故单调增单调增区间为单调减单调减区间为第23页例例例例11.11.求函数求函数求函数求函数极值.解解:1)求导数
6、2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.第24页定理定理2.2.(凹凸判定法凹凸判定法凹凸判定法凹凸判定法)(1)在 I 内则 在 I 内图形是凹;(2)在 I 内则 在 I 内图形是凸.设函数在区间I 上有二阶导数凹弧凸弧分界点为拐点凹弧凸弧分界点为拐点第25页例例例例12.12.求曲线求曲线求曲线求曲线凹凸区间及拐点.解解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸第26页连续性及导函数例例例例13.13.填空题填空题填空题填空题(1)设函数其导数图形如图所表示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点
7、为 .提醒提醒:正负作 f(x)示意图.单调增区间为 ;第27页 .在区间 上是凸弧;拐点为 提醒提醒:正负作 f(x)示意图.形在区间 上是凹弧;则函数 f(x)图(2)设函数设函数设函数设函数图形如图所表示,第28页曲线方程为参数方程曲线方程为参数方程切线方程切线方程切向量切向量法平面方程法平面方程4.4.4.4.多元函数微分法应用多元函数微分法应用多元函数微分法应用多元函数微分法应用(1)在几何中应用求曲线切线及法平面第29页曲面 在点 M 法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程第30页法线方程法线方程当光滑曲面当光滑曲面当光滑曲面当光滑曲面 方程为显式方程
8、为显式方程为显式方程为显式 切平面方程切平面方程第31页上求一点,使该点处法线垂直于例例14.在曲面并写出该法线方程.提醒提醒:设所求点为则该点法向量为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上第32页说明说明:使偏导数都为 0 点称为驻点.极值必要条件极值必要条件极值必要条件极值必要条件 函数偏导数,但驻点不一定是极值点.且在该点取得极值,则有存在(2)(2)极值与最值问题极值与最值问题极值必要条件与充分条件第33页时,含有极值 极值充分条件极值充分条件极值充分条件极值充分条件某邻域内含有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数
9、第34页极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制比如,转化第35页引入辅助函数则极值点满足:方法方法方法方法2 2 2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.解该方程组，得极值点。第36页例例15.15.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？长方体开口水箱,试问 第37页得唯一驻点由题意可知合理设计是存在,长、宽为高 2 倍时，所用材料最省.所以,当高为第38页