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1、第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度下学期武汉市重点中学学年度下学期武汉市重点中学 5G 联合体期末考试高一数学试卷联合体期末考试高一数学试卷 命题学校：育才高级中学命题学校：育才高级中学 命题教师：考试时间：命题教师：考试时间：2024 年年 6 月月 28 日日 试卷满分：试卷满分：150 分分 祝考试顺利祝考试顺利注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答
2、案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在写在试卷试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷写在试卷 草稿纸和草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分
3、.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.某校高三年级有 810名学生，其中男生有 450名，女生有 360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为 72 的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）A.40，32B.42，30C.44，28D.46，262.下列统计量中，都能度量样本12,nx xx的集中趋势的是（）A.样本12,nx xx的标准差与极差 B.样本12,nx xx的中位数与平均数 C.样本12,nx xx的极差与众数 D.样本12,nx xx的方差与平均数 3.在正方体ABCDA B C D 中，二面角DABD的
4、大小是（）A.30B.45C.60D.904.已知,m n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列结论不正确的是（）A.若,mnm,n，则 第2页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 B.若m=，/nm，则n C 若,mnmn，则 D.若,mm，则 5.设D为ABC所在平面内一点，若3BCCD =，则下列关系中正确的是 A.1433ADABAC=+B.1433ADABAC=C.4133ADABAC=+D.4133ADABAC=6.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论不正确的是（）A.圆柱的侧面积为24R B.圆锥的侧面积为25R C.圆柱的体积等于圆
5、锥与球的体积之和 D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小 7.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，侧面PAB为等边三角形，,E F分别为,PA BC的中点，给出以下结论：/BE平面PFD；/EF平面PCD；平面PAB与平面PCD交线l，则/CDl；BE 平面PAC 则以上结论正确的序号为 A.B.C.D.8.如图，在正方体1111ABCDABC D中，,M N P分别是1111,C D BC AD的中点，有四个结论：.为 第3页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 AP与CM是异面直线；1,AP MN DD相交于一点；过 A，M，P 的平面截正方体所得的图形为平行四边形；过 A，M
6、，N 的平面截正方体所得的图形为五边形；其中错误的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 二二 多选题：本题共多选题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分分，部分选对的得部分分.9.设复数1 3i2iz+=+，则下列命题结论不正确的是（）A.z的虚部为 1 B.2z=C.z在复平面内对应的点在第四象限 D.z是方程2220 xx+=的根 10.已知向量()()2,0,1,1ab=，则下列结论
7、正确的是（）A.ab=B.()ab+b C.a与b的夹角为34 D.a在b上的投影向量为()1,1 11.已知正四面体PABC棱长为2，则（）A.正四面体PABC的外接球表面积为4 B.正四面体PABC内任意一点到四个面的距离之和为定值 C.正四面体PABC的相邻两个面所成二面角的正弦值为13 D.正四面体SEFG在正四面体PABC的内部，且可以任意转动，则正四面体SEFG的体积最大的 第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 值为181 三三 填空题：本题共填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.如图，O A B 是水平放置的OAB的斜二测直观图，若
8、3,2 2,45O AOBA O B=，则OAB的面积为_.13.已知向量()1,2a=，则与a垂直的单位向量的坐标为_.14.如图，正三棱锥PABC侧面和底面ABC所成角为，正三棱锥QABC的侧面和底面ABC所成角为,2 3,ABP=和Q位于平面ABC的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则PBQ=_，()tan+的最大值为_.四四 解答题：本题共解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行消洗去皮去核冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热
9、潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.（1）统计得到 10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1,7,4,7,4,6,6,3,7,5，求这 10个数据的第 70百分位数与方差2s；（2）统计 600 名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在 5岁到 55岁之间，按照的 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司)5,15,15,25,25,35,35,45,45,55分组，得到频率分布直方图.估计这 600名中国果切消费者年龄的中位数a及平均数（结果保留整数）.16.在ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且222bcbca+=（1）求角 A的大小；（2）若12,si
10、n7bC=（i）求sinB的值；（ii）求ABC的面积 17.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，E，F分别为1AD，1CD的中点.（1）证明：/EF平面ABCD.（2）求异面直线EF与1BC所成角大小.（3）求直线BD与平面1D EF所成角的正切值.18.（1）已知()2,3A，()4,3B，点P在线段AB的延长线上，且32APPB=，求点P的坐标；（2）若,a b 是夹角为60的两个单位向量，求：（i）12ab的值；（ii）函数()()Rf xaxb x=的最小值；（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明 余弦定理；平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；三角
11、形的三条中线交于一点 注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分 19.如图，已知三棱台111ABCABC的体积为7 312，平面11ABB A 平面11BCC B，ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且1111222ABAAABBB=，的 第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：BC平面11ABB A；（2）求点B到面11ACC A的距离；（3）在线段1CC上是否存在点F，使得二面角FABC的大小为6，若存在，求出CF的长，若不存在，请说明理由.第1页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024 学年度下学期武汉市重点中学学年度下学期武汉市重点中学 5G
12、 联合体期末考试联合体期末考试 高一数学试卷高一数学试卷 命题学校：育才高级中学命题学校：育才高级中学 命题教师：赵胜军命题教师：赵胜军 审题教师：柳蔚审题教师：柳蔚 考试时间：考试时间：2024 年年 6月月 28 日日 试卷满分：试卷满分：150 分分 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的
13、答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在写在试卷试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷写在试卷 草稿纸和草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是
14、符合题目要求的符合题目要求的.1.某校高三年级有 810名学生，其中男生有 450名，女生有 360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为 72 的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）A.40，32 B.42，30 C.44，28 D.46，26【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数【详解】根据分层抽样原理知，4507240810=，3607232810=，所以抽取男生 40人，女生 32 人 故选：A.2.下列统计量中，都能度量样本12,nx xx的集中趋势的是（）A.样本12,nx xx的标准差与极差 B.样本12,nx xx的中位数与平均数 C.样本12,nx x
15、x的极差与众数 第2页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 D.样本12,nx xx的方差与平均数【答案】B【解析】【分析】利用度量集中趋势和离散程度数据区别，可判断选项.【详解】根据书中知识可知：度量数据的集中趋势的是中位数，平均数，众数，度量数据离散程度的是方差，标准差，极差，所以本题 B是正确的，故选:B.3.在正方体ABCDA B C D 中，二面角DABD的大小是（）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】B【解析】【分析】作出图形，根据二面角的定义，结合正方体的线面关系判断出待求二面角的平面角即可求解.【详解】如图，由正方体的性质易知AB平面ADD A，AD 平面ADD A
16、，AD平面ADD A，则,ABAD ABAD，而平面ABCD平面ABC DAB =，则D AD为二面角DABD的平面角，又因为四边形ADD A 为正方形，所以45D AD=，即二面角DABD的大小是45.故选：B.4.已知,m n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列结论不正确的是（）A.若,mnm,n，则 的 第3页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 B.若m=，/nm，则n C.若,mnmn，则 D.若,mm，则【答案】ABC【解析】【分析】根据空间中的直线、平面的位置关系结合反例一一判定选项即可.【详解】对于 A 项，若/mn，则,可能相交，如下图所示，故 A 错误；对于 B 项
17、，若m=，/nm，则n/或n ，如下图所示，故 B 错误；对于 C 项，如图所示，,mnmn，显然,不一定垂直，故 C 错误；对于 D 项，由线面垂直的性质可知若,mm，则，即 D 正确.故选：ABC 5.设D为ABC所在平面内一点，若3BCCD =，则下列关系中正确的是 A.1433ADABAC=+B.1433ADABAC=第4页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 C.4133ADABAC=+D.4133ADABAC=【答案】A【解析】【详解】3BCCD =ACAB=3(AD AC)；AD=43AC13AB.故选 A 6.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相
18、等，下列结论不正确的是（）A.圆柱的侧面积为24R B.圆锥的侧面积为25R C.圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】D【解析】【分析】根据圆锥，圆柱，以及球的表面积和体积公式，即可结合选项逐一求解.【详解】对 A，圆柱的侧面积等于2224RRR=，A 正确；对 B，圆锥的母线长为2245RRR+=，所以圆锥的侧面积为212552RRR=，B正确；对 C，圆柱的体积为2322RRR=，圆锥的体积为2312233RRR=，球的体积为343R，所以33342233RRR+=，C 正确，对 D，圆柱的表面积2221246SRRR=+=，圆锥的表面积222
19、25(51)SRRR=+=+，.第5页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 球的表面积为234SR=，由于5146+，所以圆锥的表面积最小，D错误；故选：D 7.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，侧面PAB为等边三角形，,E F分别为,PA BC的中点，给出以下结论：/BE平面PFD；/EF平面PCD；平面PAB与平面PCD交线为l，则/CDl；BE 平面PAC 则以上结论正确的序号为 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先分析图形，取 PD中点 M，根据三角形中位线的性质，易知/BEFM，/EFCM，故正确，根据线面平行的判定定理和性质定理，可证得/CDl，得到正确，非
20、常容易得出不正确，从而选出正确的结果.【详解】取PD中点M，易知/BEFM，结合BE 平面PFD，FM PFD平面，根据线面平行的判定定理，得知正确；根据题意，可知EMFC=，从而得到四边形 FCME是平行四边形，所以/EFCM，根据线面平行的判定定理，得知正确；/CDAB得/CD平面PAB，由线面平行的性质可知/CDl，正确，显然不正确，故选 C.【点睛】该题考查的是有关判定立体几何中的命题的正确性的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，线面平行的性质，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.8.如图，在正方体1111ABCDABC D中，,M N P分别是1111,C D BC AD的中点，有四
21、个结论：第6页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 AP与CM是异面直线；1,AP MN DD相交于一点；过 A，M，P 的平面截正方体所得的图形为平行四边形；过 A，M，N 的平面截正方体所得的图形为五边形；其中错误的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由空间中直线与直线，直线与平面位置关系依次判断即可.【详解】对于，连接11,AC PM AC，如图所示：由,M P分别是1111,C D AD的中点，可得11/PMACAC，可得AP与CM共面，故错误；对于，因为AP平面,ACMP M平面,，ACMPMAP N平面ACMP，所以由异面直线的定义可得，AP与MN是
22、异面直线，则1,AP MN DD不相交于一点，故错误；对于，由知，过 A，M，P的平面截正方体所得的图形为四边形ACMP，而12PMAC=，故四边形ACMP不是平行四边行，故错误；的 第7页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 对于，取1113,3CEC EAFD F=，则过 A，M，N 的平面截正方体所得的图形为五边形ANEMF，故正确.故选：C 二二 多选题：本题共多选题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，有选错的得分，有选错的得 0
23、分，部分选对的得部分分分，部分选对的得部分分.9.设复数1 3i2iz+=+，则下列命题结论不正确的是（）A.z的虚部为 1 B.2z=C.z在复平面内对应的点在第四象限 D.z是方程2220 xx+=的根【答案】BCD【解析】【分析】利用复数的概念及运算就可以作出判断.【详解】由()()()()1 3i2i1 3i55i1 i2i2i2i5z+=+，可得：=1 iz，所以z的虚部为1，即 A是错误的；由1 iz=+，可知2z=，即 B是正确的；由=1 iz可知在复平面内对应的点1,1在第四象限，即 C是正确的；由方程2220 xx+=的根为24i=1 i2，即 D是正确的；故选：BCD.10
24、.已知向量()()2,0,1,1ab=，则下列结论正确的是（）A.ab=B.()ab+b 第8页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 C.a与b的夹角为34 D.a在b上的投影向量为()1,1 【答案】CD【解析】【分析】根据模长公式即可求解 A，根据向量的线性的坐标运算即可求解 B，根据夹角公式即可求解 C，根据投影向量的定义，即可求解 D.【详解】对于 A，()2222202,112ab=+=+=，故 A错误，对于 B,()1,1ab+=,而()1,1b=，故()ab+与b不共线，故 B错误，对于 C，22cos,222a ba ba b=，由于,0,a b，故a与b的夹角为34，C正确
25、，对于 D，a在b上的投影向量为(),1,12cos2ba b baa bbbbbb=，故 D 正确，故选：CD 11.已知正四面体PABC的棱长为2，则（）A.正四面体PABC的外接球表面积为4 B.正四面体PABC内任意一点到四个面的距离之和为定值 C.正四面体PABC的相邻两个面所成二面角的正弦值为13 D.正四面体SEFG在正四面体PABC的内部，且可以任意转动，则正四面体SEFG的体积最大值为181【答案】BD【解析】【分析】将棱长为2的正四面体PABC放到棱长为1的正方体中，正方体的外接球即为正四面体的外接球，从而判断 A，利用等体积法判断 B，设BC中点为D，连接PD，AD，则P
26、DA为所求二面角的平面角，利用余弦定理计算可判断 C，求出正四面体PABC内切球的半径此时即为最大的正四面体SEFG的外接球的半径，从而判断 D.【详解】棱长为2的正四面体PABC的外接球与棱长为1的正方体的外接球半径相同，设外接球的半径为R，则22221113R=+=，所以243SR=，所以 A 错误 设正四面体PABC内任意一点到四个面的距离分别为1234,d dd d，第9页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 设正四面体PABC的高为d，又1322sin6022ABCABPAPCPBCSSSS=，由等体积法可得()12341133S ddddSd+=，()ABCABPAPCPBCSS
27、SSS=，所以1234ddddd+=为定值，所以 B正确 如图所示，设BC中点为D，连接PD，AD，则ADBC，PDBC，故PDA为所求二面角的平面角，2AP=，62PDAD=，由余弦定理得()222222662221cos2366222ADPDAPPDAAD PD+=，则22 2sin1 cos3PDAPDA=，所以 C错误 对于选项 D，要使正四面体SEFG在四面体PABC的内部，且可以任意转动，则正四面体SEFG的外接球要在四面体PABC内切球内部，当正四面体SEFG的外接球恰好为四面体PABC内切球时，正四面体SEFG的体积最大值，又3111141 1 1323P ABCV=，32AB
28、CABPAPCPBCSSSS=，设正四面体PABC内切球的半径为r，则()13P ABCABCABPAPCPBCVr SSSS=+，即1134332r=，解得36r=，所以正四面体SEFG的外接球半径为36 设正四面体SEFG的边长为a，则233226a=，所以23a=，故体积3211281S EFGVa=，即正四面体SEFG的体积最大值为181，所以 D正确 故选：BD 第10页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】关键点点睛：涉及到正四面体外接球一般将其放到正方体中，正方体的体对角线即为正方体外接球的直径.三三 填空题：本题共填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共
29、分，共 15 分分.12.如图，O A B 是水平放置的OAB的斜二测直观图，若3,2 2,45O AOBA O B=，则OAB的面积为_.【答案】6 2【解析】【分析】利用直观图与原图形的面积比求解即可.【详解】由题意得1232322O A BS =2=，而24BOAAOBSS =，故324OABS=，解得6 2OABS=，故OAB的面积为6 2.故答案为：6 2 13.已知向量()1,2a=，则与a垂直的单位向量的坐标为_.【答案】2 55,55【解析】【分析】设与向量a垂直的单位向量为(),bx y=，利用与向量a垂直，且为单位向量得到关于,x y的方程组，再解方程组可得答案.【详解】设
30、与向量a垂直的单位向量为(),bx y=，的 第11页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 则22201xyxy+=+=，解得2 5555xy=，或2 5555xy=，所以2 55,55=b，或2 55,55=b.故答案为：2 55,55.14.如图，正三棱锥PABC的侧面和底面ABC所成角为，正三棱锥QABC的侧面和底面ABC所成角为,2 3,ABP=和Q位于平面ABC的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则PBQ=_，()tan+的最大值为_.【答案】.90 .43【解析】【分析】由几何体结构特征可知PQ为外接球直径即得90PBQ=；先设12,PNh QNh=，外接球半径为 R
31、，则 由222PQPBBQ=+以 及 已 知 条 件 可 求 得1 24hh=，再 根 据 几 何 体 结 构 特 征 得12tan,tanPNQNhhMNMN=，再结合两角和正切公式以及基本不等式即可求解.【详解】由几何体结构特征可知PQ为外接球直径，所以90PBQ=；连接PQ，交平面ABC于点N，取AB中点M，连接CM，由正棱锥性质知NCM，且()()22222222 332333CNCMBCBM=，第12页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 则2BN=、3CM=，1MN=，设12,PNh QNh=，外接球半径为 R，则222211PBBNPNh=+=+，222221BQBNNQh=+
32、=+所以由222PQPBBQ=+得()222121211hhhh+=+，1 24hh=，又12tan,tanPNQNhhMNMN=，故()12121 2tantantan1tantan13hhhhhh+=，而121 224hhhh+=，当且仅当122hh=时取等，故max4tan()3+=.故答案为：90；43.【点睛】关键点点睛：求解maxtan()+的关键是由222PQPBBQ=+以及已知数据求出1 24hh=.四四 解答题：本题共解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.果切是一种新型水果售卖方式，商家
33、通过对整果进行消洗去皮去核冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.（1）统计得到 10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1,7,4,7,4,6,6,3,7,5，求这 10个数据的第 70百分位数与方差2s；（2）统计 600 名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在 5岁到 55岁之间，按照 第13页/共23页 学科网（北京）股份有限公司)5,15,15,25,25,35,35,45,45,55分组，得到频率分布直方图.估计这 600名中国果切消费者年龄的中位数a及平均数（结果保留整数）.【答案】（1）第 70 百分位数为 6.5；
34、方差3.6 （2）24a=；25=【解析】【分析】(1)百分位数先排序，再利用分位数公式求解即可.(2)根据频率直方图结合中位数和平均数的求法计算求解.【小问 1 详解】按从小到大顺序：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，由于10 70%7=，故第 70 百分位数为676.52+=；平均数1 34 256 27 3510 x+=，2222222(1 5)(35)2(45)(55)2(65)3(75)3.610s+=【小问 2 详解】由()0.020 100.20.5,0.0200.035100.550.5,=可得1525a，所以()0.20150.0350.5a+=，解得0.315240.
35、035a=+，所以这 600 名中国果切消费者年龄的中位数为 24.其平均数 10 0.020 1020 0.035 1030 0.025 1040 0.015 1050 0.005 1025.=+=16.在ABC中，内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c，且222bcbca+=（1）求角 A的大小；（2）若12,sin7bC=（i）求sinB的值；（ii）求ABC的面积【答案】（1）3A=（2）（i）13sin14B=；（ii）2 313.的 第14页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）结合余弦定理，即可求解；（2）（i）结合三角函数的同角公式，以及正弦两角和公式，
36、即可求解；（ii）结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解.【小问 1 详解】已知222bcbca+=，由余弦定理2222cosbcbcAa+=，则1cos2A=，又()0,A，则3A=.【小问 2 详解】（i）1sinsin7CA=，由正弦定理有ca，得3CA=，故24 3cos1 sin7CC=，()34 31113sinsinsincoscossin272714BACACAC=+=+=+=.（ii）由正弦定理可知，32sin14 3213sin1314=bAaB，故ABC的面积为1114 312 3sin22213713ABCSabC=.17.如图，正方体1111ABCDABC D的
37、棱长为 1，E，F分别为1AD，1CD的中点.（1）证明：/EF平面ABCD.（2）求异面直线EF与1BC所成角的大小.（3）求直线BD与平面1D EF所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析 第15页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（2）60 （3）2.【解析】【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即得；（2）利用平移得到EF与1BC所成角为1D AC，解三角形即得；（3）连接1DO，过D作1DGDO于点G，先证AC 平面1D DO，再证DG 平面1ACD，即得直线BD与平面1D EF所成角，结合1DOD即可求得.【小问 1 详解】如图，连接AC交BD于点O，因为E，F分别为1AD，1
38、CD的中点，所以/EFAC.因为AC平面ABCD，且EF 平面ABCD，所以/EF平面ABCD.【小问 2 详解】因11/ABCDDC，且11ABCDDC=，易得11ABC D，则有11/BCAD，由（1）得/EFAC，故EF与1BC所成角为1D AC（或其补角）.因为11ACADCD=，所以160D AC=，即EF与1BC所成角的大小为60.【小问 3 详解】连接1DO，过D作1DGDO于点G.因为1DD 平面ABCD，且AC平面ABCD，所以1DDAC，又BDAC且1DDBDD=，第16页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 所以AC 平面1D DO.因为DG 平面1D DO，所以DGA
39、C，又1DGDO，且1ACDOO=，1,AC DO 平面1ACD，所以DG 平面1ACD，所以直线BD与平面1D EF所成角为1DOD（或其补角）.因为正方体的边长为 1，所以11DD=，22DO=，所以11tan2DDDODDO=.【点睛】思路点睛：解决异面直线的夹角问题，大多通过平移将两直线集中到一个三角形中，利用三角函数定义或正弦定理，余弦定理求解；对于线面所成角，一般需要作出并证明直线在平面上的射影，借助于直角三角形求解.18.（1）已知()2,3A，()4,3B，点P在线段AB的延长线上，且32APPB=，求点P的坐标；（2）若,a b 是夹角为60的两个单位向量，求：（i）12ab
40、的值；（ii）函数()()Rf xaxb x=的最小值；（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明 余弦定理；平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；三角形的三条中线交于一点 注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）()8,15；（2）（i）32，（ii）32；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),P x y，依题意可得3APAB=，从而得到方程组，解得即可；（2）（i）根据21122abab=及数量积的运算律计算可得；（ii）由()21324f xaxbx=+，结合二次函数的最值即可求解；（3）根据所选条件，画出图形，结合向量的运算证明即可.【详解】（
41、1）设(),P x y，则()()(),2,32,3APx yxy=，()()()4,32,32,6AB=，第17页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 因为点P在线段AB的延长线上，且32APPB=，所以3APAB=，所以()23 2336xy=，解得815xy=，所以()8,15P；（2）（i）因为a，b为单位向量，所以1=a，1=b，所以222111222ababaa bb=+21311 1 cos6042=+=；（ii）因为()()2222221 2 cos60f xaxbaxbaxa bx bxx=+=+2213124xxx=+=+，所以当12x=时，函数()f xaxb=的最小值
42、为32；（3）若选：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 证明：如图，设,CBa CAb ABc=，由三角形法则有=cab，所以()22222cababa b=+即2222coscababC=+.同理可得，2222cosabcbcA=+，2222cosbacacB=+.若选：在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，证明：222222ACBDABDCADBC+=+.第18页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 根据条件作出图形，因为四边形ABCD为平行四边形，所以ABDC=，ADBC=，ACABAD=+，所以()22222ACABADA
43、BAB ADAD=+=+，因为BDADAB=，所以()22222BDADABADAD ABAB=+，所以2222222222ACBDABADABDCADBC+=+=+，即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；若选：在ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，证明：AD，CE，BF相交于一点.由题意作出图形，设ACa=，BC b =，则ABCBCAba=+，12ADACCDab=+=，12BFBCCFba=+=，设AD，CE相交于一点1G，()101AGAD=，()101BGBF=，则11122AGADabab=，第19页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 11122BGB
44、Fbaba=，又()1111122AGABBGabbaba=+=+=+，所以112112=，解得23=，23=，所以123AGAD=，再设AD，BF相交于一点2G，同理可证得223AGAD=，即1G，2G重合，即AD，CE，BF相交于一点，所以三角形的三条中线交于一点.19.如图，已知三棱台111ABCABC的体积为7 312，平面11ABB A 平面11BCC B，ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且1111222ABAAABBB=，（1）证明：BC平面11ABB A；（2）求点B到面11ACC A的距离；（3）在线段1CC上是否存在点F，使得二面角FABC的大小为6，若存在，求出CF
45、的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）2 217 第20页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（3）存在，4 25CF=【解析】【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得11ABBB；由面面垂直和线面垂直的性质可证得1ABBC，结合BCAB可证得结论；（2）延长111,AA BB CC交于一点P，根据1 1 187P ABCABC A B CVV=可求得P ABCV，利用体积桥P ABCB PACVV=可构造方程求得结果；（3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设3FEt=，根据几何关系可表示出DE，由二面角大小可构造方程求得t，进而得到结果.
46、【小问 1 详解】连接1AB，在三棱台111ABCABC中，11/AB AB；1111222ABAAABBB=，四边形11ABB A为等腰梯形且1160ABBBAA=，设2ABx=，则1BBx=.由余弦定理得：22221112cos603ABABBBAB BBx=+=，22211ABABBB=+，11ABBB；平面11ABB A 平面11BCC B，平面11ABB A 平面111BCC BBB=，1AB 平面11ABB A，1AB平面11BCC B，又BC平面11BCC B，1ABBC；ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，BCAB，1ABABA=，1,AB AB 平面11ABB A，BC平
47、面11ABB A.【小问 2 详解】第21页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 由棱台性质知：延长111,AA BB CC交于一点P，1112ABAB=，1 1 14ABCA B CSS=，1 1 18P ABCP A B CVV=，1 1 1887 32 377123P ABCABC A B CVV=；BC 平面11ABB A，即BC平面PAB，BC即为三棱锥PABC中，点B到平面PAB的距离，由（1）中所设：2ABBCx=，60PABPBA=，PAB为等边三角形，2PAPBABx=，()2311132 32 322332233P ABCPABVSBCxxx=，1x=；2ABBCPAPB
48、=，2 2ACPC=，()22122 2172PACS=，设所求点B到平面11ACC A的距离为d，即为点C到面PAC的距离，P ABCB PACVV=，172 3333PACSdd=，解得：2 217d=.即点B到平面11ACC A的距离为2 217.【小问 3 详解】BC 平面11ABB A，BC平面ABC，平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB=取AB中点N，在正PAB中，PNAB，PN平面ABC，第22页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 又PN 平面PNC，平面PNC 平面ABC 作FECN，平面PNC 平面ABCCN=，则FE 平面ABC，作EDAB，连接FD，则ED即
49、FD在平面ABC上的射影，FE 平面ABC，AB平面ABC，ABFE，DEFEE=，,DE FE 平面DEF，AB平面DEF，FD 平面DEF，ABFD，FDE即二面角FABC的平面角.设3FEt=，在PCN中，作POCN，FECN，/PO FE，又FE 平面ABC，PO平面ABC，1112 32 23323P ABCABCVSPOPO=，解得：3PO=，由（2）知：2 2ACPC=，225OCPCPO=，EFCEPOOC=，5353CEtt=，22215CN=+=，55ENt=，/DE BC，552225ENtDEBCtCN=，第23页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 若存在F使得二面角FABC的大小为6，则33tantan6223FEtFDEDEt=，解得：25t=，2214 22 225CFCEEFtCC=+=，存在满足题意的点F，4 25CF=.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于FE长度的方程，从而求得结果.