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1、中学数学研究39三角形面积的向量坐标表示及其应用湖北省阳新县高级中学(435200)邹生书三角形面积公式大家最为熟悉的有 S=12ah 和S=12absinC,还有大家不太熟悉的用三角形三个顶点坐标表示的三阶行列式公式.自从向量知识下放到高中数学教材后,高中数学知识就注进了新鲜血液,向量知识与三角、几何、解析几何等知识的融合与深透,给高中数学带来新的生命和知识的增长点,给我们解决数学问题也带来了全新的视角.向量运算和向量的坐标运算给数学带来了新结论和新方法,用向量的视角来解读和诠释数学问题,给我们带来不一样的精彩.本文向读者介绍三角形面积的向量坐标公式及其在解题中的应用.定 理在 OAB 中,
2、已 知 点 O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则 SOAB=12|x1y2 x2y1|.证法 1 如图 1,设点 A,B 在x 轴上的射影分别为 M,N.则SOAB=SOMA+SAMNBSONB=12x1y1+12(y2+y2)(x2x1)12x2y2=12(x2y1x1y2).于是,一般地有 SOAB=图 112|x1y2 x2y1|.证法 2SOAB=12OA OB sinAOB=12OA OB1 cos2AOB=12OA2 OB2(OA OB cosAOB)2=12OA2 OB2(OA OB)2=12(x21+y21)(x22+y22)(x1y2+x2y1)2=12(x1
3、y2 x2y1)2=12|x1y2 x2y1|.证法 3 设直线 OA 上任意一点 M 的坐标为(x,y),则 OM=(x,y),因为 OM/OA,所以有 y1x x1y=0,此即为直线 OA 的方程.于是点 B 到直线 OA 的距离d=|x2y1 x1y2|x21+y21,所以 SOAB=12OA d=12x21+y21|x2y1 x1y2|x21+y21=12|x1y2 x2y1|.证 法 4 如 图 2,将 线 段 OA绕 点 O 顺 时 针 旋 转 90到OA,则 A(y1,x1).SOAB=12OA OB sinAOB=12OA OB sin(90 AOB)=12OAOB cosAO
4、B=12 OA OB=12(x1y2 x2y1).于是,一般地有图 2SOAB=12|x1y2 x2y1|.评注 证法 1 原始简朴,通过辅助线将三角形进行补形和分割,把任意三角形的面积转化为直角梯形和直角三角形面积求解,化难为易,体现化归转化思想和数形结合思想,没有根号只有加减乘除四则运算,初中学生都能接受.证法 2综合严紧,用到了三角形面积公式、同角三角函数间的平方关系、二次根式性质、平面向量数量积的定义、两点间的距离公式和数量积的坐标运算等.证法 3 雅俗共享,用向量共线求直线方程避免对斜率存在性的讨论,用点线距离公式和两点的距离公式分别求三角形的底和高,最后用底乘高的一半求三角形面积.
5、证法 4 奇巧优美,将旋转变换、三角公式与平面向量数量积完美结合,计算没有根号解法精彩.推论 1 在 ABC 中,若 AB=(x1,y1),AC=(x2,y2),则 SOAB=12|x1y2 x2y1|.证明 设 O 为坐标原点,作 OP=AB,OQ=AC,则 P(x1,y1),Q(x2,y2),OAB 与 OPQ 全 等,所 以SABC=SOPQ=12|x1y2 x2y1|.评注 推论 1 用三角形两边的向量坐标表示三角形面积,形式简洁结构优美,比三角形顶点坐标的三阶行列面积公式应用更为方便快捷.三点共线可以看作是这三点围成平面区域的面积为零,在公式中当三角形面积为零时x1y2x2y1=0,
6、这恰好是此时 A,B,C 三点共线的条件.至此,三点共线的充要条件与三角形面积公式和谐统一.由此不仅得出三点共线的又一面积解释,而且还可以用向量共线的充要条件帮助理解和记忆三角形面积的向量坐标公式.推论 2 在四边形 ABCD 中,若 AC=(x1,y1),BD=(x2,y2),则 SABCD=12|x1y2 x2y1|.40中学数学研究证明 如图 3,设 AC,BD 相交于点 M,BMC=.则SACB=SAMB+SCMB=12MA MB sin(180)+12MC MB sin=12(MA+MC)MB sin=12AC MB sin.同理可得 SACD=12AC MDsin,所以SABCD=
7、SACB+SACD=12AC MB sin+12AC MD sin=12AC (MB+MD)sin=12AC BDsin.同定理证法 1 可得12AC BD sin=12|x1y2 x2y1|.故SABCD=12|x1y2 x2y1|.评 注 从 推 论 2 的 证 明 过 程可知,四边形 ABCD 的面积公式12AC BDsin 与三角形面积公式S=12absinC 非常相似,四边形面积向量坐标公式12|x1y2 x2y1|与三角形面积向量坐标公共公式完全图 3相同.在四边形 ABCD 中,当点 D 与 A 重合时,四边形ABCD 变成 ABC,BD 与 AB 重合,角 就是 BAC,四边形
8、面积公式变为三角形面积公式12AB AC sinBAC,从运动变化和联系的观点我们看到了三角形面积公式与四边形面积公式的完美统一,体现了数学的和谐之美.下面举例说明面积向量坐标公式在解题中的应用.例 1 已知平面直角坐标系内四点 A(3,2),B(2,1),C(4,3),D(1,4),则四边形 ABCD 的面积为.解 由题设知 AC=(7,5),BD=(1,5),由推论 2 得四边形 ABCD 面积为12|7 5 5 (1)|=20.例 2 已知 ABC 内接于椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0),且 ABC 的重心 G 就是坐标原点 O,求 ABC 的面积.解 因为 O 为 ABC 的重
9、心,所以SABC=3SOBC.设 A(acos,bsin),B(acos,bsin),C(acos,bsin),由三角形面积坐标公式得SOBC=12|abcos sinabsin cos|=12ab|sin()|.由三角形重心坐标公式得13(acos+acos+acos)=0,13(bsin+bsin+bsin)=0,即cos+cos=cos,sin+sin=sin.两式平方相加得 cos()=12,所以|sin()|=32,于是 SOBC=34ab,从而 SABC=334ab.例 3(2009 年高考陕西卷理科第 21题)已知双曲线 C 的方程为x2a2y2b2=1(a 0,b 0),离心率
10、 e=52,顶点到渐近线的距离为255.图 4(I)求双曲线 C 的方程;(II)如图 4,P 是双曲线 C 上一点,又 A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若 AP=PB,13,2,求 SAOB面积的取值范围.解(I)求得双曲线 C 的方程为y24 x2=1(过程略).(II)求得双曲线的渐近线方程为 y=2x,依题意设 A(m,2m),B(n,2n)(m,n 0),由 AP=PB 得xP=m n1+,yP=2m+2n1+.又点 P 在双曲线上,将点 P 的坐标代入双曲线方程求得 mn=(1+)24.由三角形面积坐标公式得SAOB=12|4mn|=(1+)22=
11、12(+1)+1=S(),则 S()=12(1 12)=2 122,令 S()=0 得 =1.又 S(1)=2,S(13)=83,S(2)=94,所以 S()max=83,S()min=2,故 SAOB面积的取值范围是2,83.例 4 已知抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F,P 是抛物线上的一点,且其纵坐标为 4,|PF|=4.(1)求抛物线的方程;(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点,APB 的平分线与 x 轴垂直,求 PAB 的面积最大时直线 AB 的方程.解(1)求得抛物线的方程为 y2=8x(过程从略).(2)由(1)知 P(2,4),因为 APB 的平分
12、线与 x 轴垂直,所以 kPA+kPB=0,即y1 4x1 2+y2 4x2 2=0,所以(y1 4)(x2 2)+(y2 4)(x1 2)=0,也就是(y14)(y228 2)+(y24)(y218 2)=0,即(y14)(y2216)+(y24)(y2116)=0,亦即(y14)(y24)(y1+y2+8)=0,又点 A,B 与点 P 不重合,所以 y1=4,y2=4,于是有y1+y2+8=0.PA=(x12,y14),PB=(x22,y24),中学数学研究41所以 PAB 的面积为S=12|(x1 2)(y2 4)(x2 2)(y1 4)|=|(x1 2)(y2 4)|=?(y218 2
13、)(y2 4)?=18|(y21 16)(y2 4)|=18|(y21 16)(4 y1)|=18|(y1 4)2(y1+4)|=S(y1).不妨设点 A 在直线 PF 的左侧,所以 y1(4,4),所以S(y1)=18(y14)2(y1+4),则S(y1)=18(y14)(3y1+4),当4 y1 0,S 单调递增;当 43 y1 4时,S(y1)0,S 单调递减,所以当 y1=43时,面积 S 最大,此时 x1=y218=29.由点 A,B 在抛物线上得 y22=8x2,y21=8x1,则 y22 y21=8(x2 x1),由此得直线 AB 的斜率为y2 y1x2 x1=8y2+y1=1,
14、故直线 AB 的方程为y=(x 29)43,即 y=x 23.例 5(2015 年高考上海卷文科第 22 题)如图 5,已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线 l1和 l2分别与椭圆交于点A,B 和 C,D,设 AOC 的面积为 S.图 5(1)设 A(x1,y1),C(x2,y2),用 A,C 的坐标表示点 C 到直线 l1的距离,并证明 S=12|x1y2 x2y1|;(2)设 l1:y=kx,C(33,33),S=13,求 k 的值;(3)设 l1和 l2的斜率之积为 m,求 m 的值使得无论 l1和 l2如何变动,面积 S 保持不变.解(1)同定理的证法 3,这里从略.(2)将 y
15、=kx 代入 x2+2y2=1,得 x21=12k2+1.由三角形面积公式得S=12|33x133kx1|=123|(1 k)x1|=1231 k2k2+1=13,整理得 5k2+6k+1=0,解得 k=1 或 k=15.(3)设 l1:y=kx,则 l2:y=mkx,分 别 代 入x2+2y2=1,得 x21=12k2+1,x22=k2k2+2m2.于是S=12|x1y2 x2y1|=12?mx1x2k kx2x1?=12|k2 m|k|x1x2|=12|k2 m|k|k|(2k2+1)(k2+2m2)=k4 2m2k2+m222k4+(4m2+1)k2+2m2=2k4 4m2k2+2m22
16、2 2k4+(4m2+1)k2+2m2.比较分子分母知,当且仅当 4m2+1=4m 即 m=12时,S=122与 k 的取值无关,故所求 m 的值为 12.例 6(北京航空航天大学自主招生考试热身题(一)第 1 题)设(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)是平面曲线 x2+y2=2x 4y 上任意三点,则 w=x1y2 x2y1+x2y3 x3y2的最大值为.解 设这三个点为 A,B,C,由 x2+y2=2x 4y 得(x 1)2+(y+2)2=5,故曲线表示半径为5 的圆,由题设知 A,B,C 三点在这个圆上,显然原点 O(0,0)也在此圆上.由所求式联想到三角面积的坐标公式我们有
17、x1y2 x2y1=2 12|x1y2 x2y1|=2SOAB,同理x2y3 x3y2=2SOBC,所以w=x1y2 x2y1+x2y3 x3y2=2(SOAB+SOBC)=2SOABC.设 OB,AC 的夹角为 q,则SOABC=12OB AC sinq612OB AC=12(25)2=10,等号当且仅当 OB,AC 为直径且互相垂直时成立,此时四边形 OABC 为正方形.故 w 的最大值为 20.评注 本题是北京航空航天大学李尚志教授命制的北京航空航天大学自主招生考试热身题(一)中的第 1 题,第 1 题就非常难,无现成的题型套路可寻,考生束手无策不知从何下手,一开始就给考生一杀威棒,甚至
18、是几杀威棒.高考试题整体上按先易后难的顺序排列,自主招生的目的就是选拔优秀学生,在考查数学核心素养和创新意识的同时,还考查考生先易后难的解题策略和处变不惊的心理素质.所以命题风格也别具一格,这份试题是两头难中间相对较易,并且中间某个或几个题目与前面的难题有密切关系,考生可通过做中间的题目得到启发后杀回马枪再来解决前面的难题.李尚志教授指出:能够死记硬背现成公式用来解决现成模式的问题,就是数学核心素养中的“数学运算”.而能够用现成公式加以变通解决不现成的问题,就是数学核心素养中的“数学建模”.高考以死记硬背为主,稍微来几道灵活运用的,让死记硬背的考生也能考上一般的大学,让灵活应用的考生考上名牌大学.