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1、专题8：导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习（解析版）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例1：已知，函数（）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；（）如果函数是上的单调函数，求的取值范围解：. （） 是偶函数， . 此时， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+递增极大值递减极小值递增 可知
2、：的极大值为， 的极小值为. （）函数是上的单调函数，在给定区间R上恒成立判别式法则 解得：. 综上，的取值范围是. 例2、已知函数 （I）求的单调区间； （II）若在0，1上单调递增，求a的取值范围。子集思想（I） 1、 当且仅当时取“=”号，单调递增。 2、 a-1-1单调增区间： 单调增区间：（II）当 则是上述增区间的子集：1、时，单调递增 符合题意2、， 综上，a的取值范围是0，1。 针对练习1已知为实数，（）求导数；（）若，求在上的最大值和最小值；（）若在和上都是递增的，求的取值范围.1（1）；（2）最大值为最小值为；（3）.【解析】试题分析：（1）按导数的求导法则求解（2）由f（
3、1）=0代入可得f（x），先求导数，研究函数的极值点，通过比较极值点与端点的大小从而确定出最值（3）（法一）由题意可得f（2）0，f（2）0联立可得a的范围（法二）求出f（x），再求单调区增间（，x1）和x2，+），依题意有（，2）（，x1）2，+x2，+）解：（1）由原式得f（x）=x3ax24x+4a，f（x）=3x22ax4（2）由f（1）=0得，此时有由f（x）=0得或x=1，又，所以f（x）在2，2上的最大值为，最小值为（3）解法一：f（x）=3x22ax4的图象为开口向上且过点（0，4）的抛物线，由条件得f（2）0，f（2）0，2a2所以a的取值范围为2，2解法二：令f（x）=0即
4、3x22ax4=0，由求根公式得：所以f（x）=3x22ax4在（，x1和x2，+）上非负由题意可知，当x2或x2时，f（x）0，从而x12，x22，即解不等式组得2a2a的取值范围是2，2考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性2已知函数（）若函数在，处取得极值，求，的值；（）若，函数在上是单调函数，求的取值范围2解：（）， 2分由， 4分可得 6分（）函数的定义域是， 7分因为，所以 8分所以， 9分要使在上是单调函数，只要或在上恒成立10分当时，恒成立，所以在上是单调函数； 11分当时，令，得，此时在上不是单调函数； 12分当时，要使在上是单调函数，只要，
5、即13分综上所述，的取值范围是 14分【解析】试题分析：解：（），由，可得 4分（）函数的定义域是，因为，所以 5分所以7分要使在上是单调函数，只要或在上恒成立当时，恒成立，所以在上是单调函数；当时，令，得，此时在上不是单调函数；当时，要使在上是单调函数，只要，即综上所述，的取值范围是 12分考点：本试题考查了导数在函数中的运用点评：导数做为一种工具，出现在函数中，主要处理一些关于函数单调性的问题，以及函数的最值和极值问题的运用那么要明确，导数值为零是函数值在该点取得极值的必要不充分条件属于难度试题3已知函数的图象在点(1，)处的切线方程为(1)用表示出；(2)若在1，)上恒成立，求的取值范围
6、()当0a1.若1x，则g(x)0，g(x)是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)1，则g(x)0，g(x)是增函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)lnx，故当x1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围为，)【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（2）先构造函数，利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围试题解析：解：（1），则有，解得（2）由（1）知，令，则，（1）当，若，则，是减函数，所以，故在上恒不成立（2）时，若，故当时，综
7、上所述，所求的取值范围为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题4已知函数f（x）2lnx（）若a1，求函数f（x）的极值；（）若函数f（x）在区间1，2上为单调递增函数，求实数a的取值范围4（）见解析 （）的取值范围是.【解析】试题分析：（1）利用导数求单调性的步骤进行即可；（2）函数f（x）在区间1,2上为单调函数，等价于在区间1,2上，f（x）0或f（x）0恒成立，然后转化为最值问题来处理试题解析：（1）当a1时，f（x）3x2x2ln x，其定义域为（0，），则f（x）4x3（x0），当x（0,1）时，f（x）0，故函数f（x）在区间（0,1）上单调递增；当x（1，）时，f
8、（x）0，故函数f（x）在区间（1，）上单调递减所以f（x）的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1，）（2）由题易得f（x）4x（x0），因为函数f（x）在区间1,2上为单调函数，所以在区间1,2上，f（x）0或f（x）0恒成立，即4x0或4x0在x1,2时恒成立，即4x或4x（1x2），即max或min，其中1x2令h（x）4x（1x2），易知函数h（x）在1,2上单调递增，故h（1）h（x）h（2）所以h（2）或h（1），即42，4113，解得a0或0a或a1 故a的取值范围为（，0）（0，1，）考点：导数在函数中的应用5已知.（1）当时，讨论的单调区间；（2）若在定义域R内单调递
9、增，求a的取值范围.5（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【分析】（1）计算，根据与，可得结果.（2）利用等价转化的思想，在上恒成立，然后根据的单调性，简单计算，可得结果.【详解】（1）当时，则，令，得令，得所以的单调递增区间为单调递减区间为（2）由题可知：在定义域R内单调递增等价于由在上单调递增，又则【点睛】本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题6函数f（x）x3+ax2+bx+c，曲线yf（x）上点P（1，f（1）处的切线方程为y3x+1（1）若yf（x）在x2时有极值，求函数yf（x）在3，1上的最大值；（2）若函数yf（x）在区间2，1上单调递增，求b的
10、取值范围6(1) f（x）在3，1上最大值为13 (2) 0，+）【分析】（1）由f（x）x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式，求函数的导数f（x），通过f（x）0，及f（x）0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间2，1上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间2，1上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用
11、基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可【详解】解：（1）由f（x）x3+ax2+bx+c，求导数得f（x）3x2+2ax+b，过yf（x）上点P（1，f（1）的切线方程为：yf（1）f（1）（x1）即y（a+b+c+1）（3+2a+b）（x1）故，即，有yf（x）在x2时有极值，故f（2）0，4a+b12，则，解得a2，b4，c5，f（x）x3+2x24x+5f（x）3x2+2ax+b3x2+4x4（3x2）（x+2） x3（3，2）2（2，） （，1） 1 f（x） + 0 0+ f（x） 8 增函数 极大值13 减函数 极小值 增函数 4f（x）极大f（2）（2）
12、3+2（2）24（2）+513,f（1）13+2141+54f（x）在3，1上最大值为13（2）方法一：yf（x）在区间2，1上单调递增，又f（x）3x2+2ax+b，由（1）知2a+b0，f（x）3x2bx+b，依题意f（x）在2，1上恒有f（x）0，即g（x）3x2bx+b0在2，1上恒成立在x1时，即b6，g（x）最小值g（1）3b+b0，b6，在x2时，即b12，g（x）最小值g（2）12+2b+b0，则b，在21时，即12b6，g（x）最小值0，综合上述讨论可知，b取值范围是：0，+）解法二：（1）yf（x）在区间2，1上单调递增，又f（x）3x2+2ax+b，由（1）知2a+b0，
13、f（x）3x2bx+b，依题意f（x）在2，1上恒有f（x）0，即g（x）3x2bx+b0在2，1上恒成立b3（x1）6（x1），令m（x）3（x1）3（x1）+（）3（2）6，（x1），3（x1）6最大值为0，（）max0，b0，b取值范围是：0，+）【点评】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题7已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.7（1）；（2）3.【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增.利用
14、导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.8已知，函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在区间上是减函数，求的取值范围.8（1）；（2）.【分析】（1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（2）可得在恒成立，由此可
15、建立关系求解.【详解】，（1）当时，在点处的切线方程为，即.（2）函数在区间上是减函数，在恒成立，而在恒成立，在恒成立，这时，当函数在区间上是减函数时，.9已知，函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围.9（1）在和上递增，在上递减；（2）【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可【详解】解：（1）当时，则，令，得或，令，得，所以在和上递增，在上递减；（2），令，若函数在上单调递减，则在上恒成立，则，解得，所以a的取值范围为，【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题10设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围10（）切线方程为（）当时，函数单调递增当时，函数单调递减（）的取值范围是.【详解】（），曲线在点处的切线方程为.（）由，得，若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，（）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.15原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！