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1、专题7：导数与不等式恒成立问题典型例题与练习（解析版）不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,-（10分）解得或（12分）考点：函数导数求极值，最值点评：不等式恒成立转化为求函数最值5已知函数f(x)=ex-ax，其中a0.（1）若对一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上取定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2)(x1x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0（x1,x2）,使恒成立.（1）（2）见解析【解析】解：令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取
2、最小值于是对一切恒成立，当且仅当. 令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，式成立.综上所述，的取值集合为.（）由题意知，令则 令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xR，f(x)1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函
3、数的性质进行分析判断.6已知函数的图象在点(1，)处的切线方程为(1)用表示出；(2)若在1，)上恒成立，求的取值范围()当0a1.若1x，则g(x)0，g(x)是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)1，则g(x)0，g(x)是增函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)lnx，故当x1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围为，)【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（2）先构造函数，利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围试题解析：解
4、：（1），则有，解得（2）由（1）知，令，则，（1）当，若，则，是减函数，所以，故在上恒不成立（2）时，若，故当时，综上所述，所求的取值范围为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题7已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）若对都有恒成立，求的取值范围.（1）；（2）【分析】（1）利用可求的值；（2）原不等式等价于，对恒立，令，利用导数可求该函数的最大值后可得的取值范围.【详解】（1），由题意即，解得 .（2）依题意得即，对恒立 .设，则，令，解得或.当时，；当时，；当时，；所以在，为增函数，在为减函数，则，又，所以 ；故只须，解得或，即的取值范围是
5、.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率. 含参数的函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.8设，其中（1）若有极值，求的取值范围；（2）若当，恒成立，求的取值范围(1)，(2)【分析】(1)本题首先可以根据函数解析式求出函数的导函数，然后根据题意即可得知函数的导函数所对应的方程有两个实数根，即，最后通过计算，即可得出结果；(2)本题可以对函数分别在区间、以及内进行讨论，并得出函数在每个区间下的单调性
6、以及最小值，并通过最小值大于即可列出算式并得出结果【详解】（1）由题意可知：，且有极值，则有两个不同的实数根，故，解得：，即（2）由于，恒成立，则，即，由于，则当时，在处取得极大值、在处取得极小值，当时，为增函数，因为，所以恒大于，当时，解得：；当时，即在上单调递增，且，则恒成立；当时，在处取得极大值、在处取得极小值，当时，为增函数，因为，所以恒大于，当时，解得，综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查函数与函数的导函数的相关性质，考查如何通过函数的导函数判断函数的极值以及根据函数的极值求参数的取值范围，考查通过导数判断不等式恒成立问题，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题9已知函数，（1）若
7、，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围，【解析】试题分析：（1）当时，；（2）由又由的取值范围是试题解析：（1）当时，由条件可知，即，解得，（2），故的取值范围是考点：函数的性质10已知在区间0,1上是增函数,在区间上是减函数,又()求的解析式;()若在区间(m0)上恒有x成立,求m的取值范围.）（）【解析】试题分析：（）由函数的单调区间可得到函数的极值点，将极值点代入中得到关于的方程，从而求得其值，确定函数解析式；（）将恒成立的不等式化简求得相应的x的取值范围，给定的区间为不等式解集的子集，从而得到m的取值范围试题解析：（），由已知，即解得，（）令，即，或又在区间上恒成立，考点：1函数导数与单调性极值；2解不等式15原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！