《专题08 数列（老师版） .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题08 数列（老师版） .docx（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题专题 08 数列数列一、单选题一、单选题1.【江苏省南通市江苏省南通市 2021 届高三下学期届高三下学期 3 月模拟月模拟】已知数列已知数列 na的前的前n项和为项和为Sn，且且12a，1nnaS，若，若(0,2020)na，则称项，则称项na为为“和谐项和谐项”，则数列，则数列 na的所有的所有“和谐项和谐项”的平方和为的平方和为（）A1118433B1114433C1018433D1214433【答案】【答案】A【解析】因为1nnaS，所以1(2)nnaSn，则11nnnnaaSS，即1nnnaaa，12nnaa，12nnaa，因为12a，所以2112aSa，故12,22,1nnna
2、n，因为(0,2020)na，所以111n，数列 na的所有“和谐项”的平方和为：10112222210111210114 1 4441844444441 4333aaaa，故选：A.2.【江苏省南通市海安高级中学江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期学年高三上学期 1 月调研月调研】有这样一道题目有这样一道题目：“戴戴氏善屠，日益功倍氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：其意思为：“有一个姓戴的有一个姓戴的人善于屠肉人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的每一天屠完的肉是前一天的 2 倍倍，第一天屠了第一天
3、屠了 5 两肉两肉，共屠了共屠了 30 天天，问一共问一共屠了多少两肉？屠了多少两肉？在这个问题中，该屠夫前在这个问题中，该屠夫前 5 天所屠肉的总两数为（天所屠肉的总两数为（）A35B75C155D315【答案】【答案】C【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为1a，公比为q，前n项和为nS，所以15a，2q=，因此前 5 天所屠肉的总两数为551151 215511 2aqq.故选：C.3.【江苏省南通市海安高级中学【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期期中】学年高三上学期期中】在在 1，2，3，2020这这 2020 个自然数中，将能被个自然数中，将
4、能被 2 除余除余 1，且被，且被 3 除余除余 1 的数按从小到大的次序排成一列，构的数按从小到大的次序排成一列，构成数列成数列 na，则，则50a（）A289B295C301D307【答案】【答案】B【解析】由题意可知1na 即是 2 的倍数，又是 3 的倍数，即1na 是 6 的倍数，则161,nnNan，所以65nan，所以505065295a.故选：B.4.【江苏省南通市海门市第一中学【江苏省南通市海门市第一中学 2020-2021 学年高三上学期期末】学年高三上学期期末】我国天文学和数学著我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影作
5、周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度晷长即为所测量影子的长度）二十四节气及晷长变化如图所示二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（，则说法不正确的是（）A相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B春分和秋分两个节气
6、的晷长相同春分和秋分两个节气的晷长相同C立冬的晷长为一丈五寸立冬的晷长为一丈五寸D立春的晷长比立秋的晷长短立春的晷长比立秋的晷长短【答案】【答案】D【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列na,其中115a 寸，13135a 寸，公差为d寸，则13515 12d，解得10d（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列 nb,首项1135b，末项1315b，公差10d （单位都为寸）.故选项 A 正确；春分的晷长为7b，7161356075bbd秋分的晷长为7a，716156075aad，所以 B 正确；立冬的晷长为10a，10191590105aad，即立冬的晷长为一丈五寸，C 正确；
7、立春的晷长，立秋的晷长分别为4b，4a，413153045aad，41313530105bbd，44ba，故 D 错误.故选：D5.【江苏省南通市启东市【江苏省南通市启东市 2020-2021 学年高三上学期期中】学年高三上学期期中】设设nS是等比数列是等比数列 na的前的前n项项和，已知和，已知360SS，则，则189aa（）A-512B-8C-2D-1【答案】【答案】B【解析】设 na的公比为(0)q q，由已知1q，因为360SS，所以3611(1)(1)011aqaqqq，解得32q ，所以173931818918aa qqqaa q.故选：B6.【江苏省南通市如皋市【江苏省南通市如皋
8、市 2020-2021 学年高三上学期学年高三上学期 10 月第一次教学质量调研月第一次教学质量调研】九章算九章算术是我国古代的一本数学名著术是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有方程、勾股九章，收有 246 个与生产、生活实践有联系的应用问题个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章在第六章“均输均输”中有这中有这样一道题目：样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：其意思为：“现现有五个人分有五
9、个人分 5 钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（）A13B23C16D56【答案】【答案】B【解析】设每人分到的钱数构成的等差数列为na，公差0d，由题意可得，12345aaaaa，55S，故113327adad，15105ad，解可得，123a，16d，故任意两人所得的最大差值243d 故选：B7.【江苏省南通市如皋市江苏省南通市如皋市 2021 届高三下学期届高三下学期 4 月第二次适应性考
10、试月第二次适应性考试】我国古代数学著作我国古代数学著作 九九章算术章算术中记载问题中记载问题：“今有垣厚八尺今有垣厚八尺，两鼠对穿两鼠对穿，大鼠日一尺大鼠日一尺，小鼠日半尺小鼠日半尺，大鼠日增倍大鼠日增倍，小鼠日自半小鼠日自半，问几何日相逢？问几何日相逢？”，意思是意思是“今有土墙厚今有土墙厚 8 尺尺，两鼠从墙两侧同时打洞两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？问两鼠几天
11、打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为两鼠相逢需要的天数最小为（）A2B3C4D5【答案】【答案】C【解析】设需要 n 天时间才能打通相逢，则212 1n+11122112n8，化为：2n12n80，令 2n=t,则2810417ttt （舍去）或417t 2n8,n3,n 的最小整数为 4.故选 C二、多选题二、多选题1.【江苏省南通市【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期中】学年高三上学期期中】关于等差数列和等比数列，下列四个关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（选项中不正确的有（）A若数列若数列na的前的前n项和项和2(nSanbnc a，b，c为常数）则数列为常
12、数）则数列na为等差数列为等差数列B若数列若数列na的前的前n项和项和122nnS，则数列，则数列na为等差数列为等差数列C数列数列na是等差数列，是等差数列，nS为前为前n项和，则项和，则nS，2nnSS，32nnSS，仍为等差数列仍为等差数列D数列数列na是等比数列，是等比数列，nS为前为前n项和，则项和，则nS，2nnSS，32nnSS，仍为等比数列；仍为等比数列；【答案】【答案】ABD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，若数列 na的前n项和2nSanbnc，若0c，由等差数列的性质可得数列 na为等差数列，若0c，则数列 na从第二项起为等差数列，故A不正确；对于B，若数列 na
13、的前n项和122nnS，可得1422a，2218224aSS，33216268aSS，则1a，2a，3a成等比数列，则数列 na不为等差数列，故B不正确；对于C，数列 na是等差数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，32nnSS，即为12naaa，12nnaa，213nnaa，即为22322nnnnnnnSSSSSSSn d为常数，仍为等差数列，故C正确；对于D，数列 na是等比数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，32nnSS，不一定为等比数列，比如公比1q ，n为偶数，nS，2nnSS，32nnSS，均为 0，不为等比数列.故D不正确.故选：ABD.2.【江苏省南通市海安高级中学【
14、江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期学年高三上学期 1 月调研】月调研】已知正项等比数列已知正项等比数列 na满足满足12a，4232aaa，若设其公比为，若设其公比为 q，前，前 n 项和为项和为nS，则（，则（）A2q=B2nna C102047SD12nnnaaa【答案】【答案】ABD【解析】由题意32242qqq，得220qq，解得2q=（负值舍去），选项 A 正确；12 22nnna，选项 B 正确；1221222 1nnnS，所以102046S，选项 C 错误；13nnnaaa，而243nnnaaa，选项 D 正确故选：ABD3.【江苏省南通市海安市【江苏省
15、南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期期末】学年高三上学期期末】已知数列已知数列 na的通项公式为的通项公式为2nna，*,i jN，下列仍是数列，下列仍是数列 na中的项的是（中的项的是（）AijiaaBijiaaCijiaaDijiaa【答案】【答案】CD【解析】对 A，22221ijiijijiaa，可得ijiaa不是 na中的项，故 A 错误；对 B，22221ijiijijiaa，可得ijiaa不是 na中的项，故 B 错误；对 C，2222ijiijijiaa，可得ijiaa是 na中的第2ij项，故 C 正确；对 D，222ijijjiiaa，可得ijiaa是 na中的
16、第j项，故 D 正确.故选：CD.4.【江苏省南通市海门市第一中学【江苏省南通市海门市第一中学 2020-2021 学年高三上学期期末】学年高三上学期期末】在悠久灿烂的中国古在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.张丘建算经是我国古代有标志性的内容张丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪大约创作于公元五世纪.书中有如下问题书中有如下问题：“今有女善织今有女善织，日益功日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为
17、：其大意为：“有一女子擅长织布，织有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织 5 尺，尺，一个月共织了九匹三丈一个月共织了九匹三丈，问从第二天起问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？每天比前一天多织多少尺布？”.已知已知 1 匹匹=4丈丈，1丈丈=10尺尺，若这一个月有若这一个月有 30 天天，记该女子这一个月中的第记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为天所织布的尺数为na，2nanb，对于数列对于数列 na、nb，下列选项中正确的为（，下列选项中正确的为（）A1058
18、bbB nb是等比数列是等比数列C1 30105a bD357246209193aaaaaa【答案】【答案】BD【解析】由题意可知，数列 na为等差数列，设数列 na的公差为d，15a，由题意可得130 29303902da，解得1629d，116129129nnaand，2nanb Q，1112222nnnnaaadnanbb（非零常数），则数列 nb是等比数列，B 选项正确；16805532929d ，553105222ddbb，1058bb，A 选项错误；301295 1621aad，211 305 2105ab，C 选项错误；41161933532929aad，511620945429
19、29aad，所以357552464432093193aaaaaaaaaa，D 选项正确；故选：BD.5.【江苏省南通市如皋市江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期学年高三上学期 10 月第一次教学质量调研月第一次教学质量调研】已知等比已知等比数列数列 na的公比的公比0q，等差数列，等差数列 nb的首项的首项10b，若，若99ab，且，且1010ab，则下列结论一，则下列结论一定正确的是（定正确的是（）A9100a aB910aaC100b D910bb【答案】【答案】AD【解析】对选项 A，因为0q，所以29109990a aaa qa q，故 A 正确；对选项 B，因为91
20、00a a，所以91000aa或91000aa，即910aa或910aa，故 B 错误；对选项 C，D，因为910,a a异号，99ab，且1010ab，所以910,b b中至少有一个负数，又因为10b，所以0d，910bb，故 C 错误，D 正确.故选：AD6.【江苏省南通市如皋市江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期教学质量调研学年高三上学期教学质量调研（三三）】已知正项数列已知正项数列 na满足满足11a，2211nnnnanaana，则，则6a的值可能为（的值可能为（）A1B2C3D4【答案】【答案】ABCD【解析】因为2211nnnnanaana，所以110nnnna
21、aaan所以1nnaa或1nnana对于 A，前 6 项均满足即可得到，故 A 正确；对于 B，43,a a满足，其余项满足即可得到，故 B 正确；对于 C，54,a a满足，其余项满足即可得到，故 C 正确；对于 D，65,a a满足，其余项满足即可得到，故 D 正确；故选：ABCD7.【江苏省南通市通州高级中学江苏省南通市通州高级中学 2020-2021 学年高三上学期第五次阶段性测试学年高三上学期第五次阶段性测试】大衍数列大衍数列，来源于乾坤谱中对易传来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十大衍之数五十”的推论的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理生
22、原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前其前 10 项依次是项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则下列说法正确的是（，则下列说法正确的是（）A此数列的第此数列的第 20 项是项是 200B此数列的第此数列的第 19 项是项是 182C此数列偶数项的通项公式为此数列偶数项的通项公式为222nanD此数列的前此数列的前n项和为项和为(1)nSnn【答案】【答案】AC【解析】观察此
23、数列，偶数项通项公式为222nan，奇数项是后一项减去后一项的项数，2122nnaan，由此可得2202 10200a，A 正确；192020180aa，B 错误；C 正确；2(1)nSn nnn是一个等差数列的前n项，而题中数列不是等差数列，不可能有(1)nSnn，D 错故选：AC三三、填空题填空题1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市 2021 届高三下学期届高三下学期 2月第一次调研】月第一次调研】在正项等比数列在正项等比数列 na中，若中，若35727a a a，则，则931logiia_.【答案】【答案】9
24、【解析】na为正项等比数列，若mnpq都有mnpqa aa a2192837465=a aa aa aa aa又35727a a a，3527,a即53a，2192837465=9a aa aa aa aa93333311289logloglogloglogiiaaaaa31932833734635loglogloglogloga aa aa aa aa33333log 9log 9log 9log 9log 3=2+2+2+2+1=9故答案为：92.【江苏省南通江苏省南通市市 2020-2021 学年高三上学学年高三上学期期 12 月月考模拟月月考模拟】已知数列已知数列 na的首项是的首项是
25、11a，且且11nnnaan，则数列，则数列 na的通项公为的通项公为_.【答案】【答案】1nan【解析】由11nnnaan，即1(1)nnnana，故数列nna为常数列，11a，即1nna，1nan.故答案为：1nan.3.【江苏省南通市【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期末模拟】学年高三上学期期末模拟】设等比数列设等比数列 na满足满足132aa，244aa，则，则5a _.【答案】【答案】325【解析】因为132aa，244aa，所以24132aaqaa，又1142aa，所以125a，所以45232255a.故答案为：3254.【江苏省南通市海安高级中学江苏省南通市海安高
26、级中学 2020-2021 学年高三上学期学年高三上学期 12 月测试月测试】已知数列已知数列 na，nb满足满足2log,nnba nN，其中，其中 nb是等差数列且是等差数列且1020112a a，则，则122020bbb_.【答案】【答案】1010【解析】由题可知：1020112a a，所以2102201110201220112110loglogloglog 21aabbaa由数列 nb是等差数列，若mnpq，则mnpqaaaa所以120202201910101011.1bbbbbb所以12202010201110101010bbbbb故答案为：10105.【江苏省南通市海安市【江苏省南
27、通市海安市 2020-2021 学年高三上学期期末】学年高三上学期期末】设数列设数列 na的前的前n项和为项和为nS，写出一个同时满足条件写出一个同时满足条件的等差数列的等差数列 na的通项公式的通项公式na _.nS存在最小值且最小值存在最小值且最小值不等于不等于1a；不存在不存在正整数正整数k，使得，使得1kkSS且且12kkSS.【答案】【答案】答案不唯一，如26n【解析】若20a，则满足，又不存在正整数k，使得1kkSS且12kkSS，则可得nS连续两项取得最小值，即存在 n 使得0na，则可得 na的通项公式可以是26nan.故答案为：答案不唯一，如26n.6.【江苏省南通市海安市实
28、验中学江苏省南通市海安市实验中学 2020-2021 学年高三上学期第三次学情检测学年高三上学期第三次学情检测】数列数列 na是是公比为公比为 2 的等比数列，其前的等比数列，其前n项和为项和为nS，若，若5421SS，则，则13aa_.【答案】【答案】5【解析】数列na是公比为 2 的等比数列，其前n项和为nS，且5421SS，所以4151(21)(21)212121aa，解得11a，故31145aa 故答案为：57.【江苏省南通市海门市第一中学【江苏省南通市海门市第一中学 2020-2021 学年高三上学期期末】学年高三上学期期末】等比数列等比数列 na的各项的各项均为正数，且均为正数，且
29、564718a aa a，则，则3132310logloglogaaa_.【答案】【答案】10【解析】因为等比数列 na的各项均为正数，且564718a aa a，所以1 10293847569a aa aa aa aa a，所以3132310312310loglogloglog()aaaa a aa31 102956log()a aa aa a53log 910故答案为：108.【江苏省南通市如东县江苏省南通市如东县 2020-2021 学年高三上学期期末学年高三上学期期末】朱载堉朱载堉（1536-1611）是中国明是中国明代一位杰出的音乐家代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家数学家和天文
30、历算家，他的著作他的著作律学新说律学新说中制作了最早的中制作了最早的“十二十二平均律平均律”十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律十二等程律”，即一个八度，即一个八度 13 个音，相邻两个个音，相邻两个音之间的频率之比相等音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率且最后一个音是最初那个音的频率的的2倍倍 设第三个音的频率为设第三个音的频率为1f，第七个音的频率为第七个音的频率为2f，则，则21ff_
31、【答案】【答案】132【解析】由题知：一个八度 13 个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，可以将每个音的频率看作等比数列na，一共 13 项，且1nnaqa，最后一个音是最初那个音的频率的 2 倍，1312aa，12121122a qaq，1164122113321312faa qqqfaa q，12312ff故答案为：1329.【江苏省南通市通州高级中学【江苏省南通市通州高级中学 2020-2021 学年高三上学期第五次阶段性测试】学年高三上学期第五次阶段性测试】已知等差已知等差数列数列na的前的前n项为项为nS，若，若43S，54S，则，则9a _.【答案】【答案】75【解析】由题知：4
32、115114 3446325 4551042SadadSadad，解得：135a，110d.91785aad.故答案为：7510.【江苏省南通市通州区江苏省南通市通州区、启东市启东市 2020-2021 学年高三上学期期末学年高三上学期期末】在各项都为正数的等在各项都为正数的等比数列比数列 na中中，已知已知101a，其前其前 n 项之积为项之积为nT，且且126TT，则则nT取最小值时取最小值时，n 的值是的值是_【答案】【答案】9【解析】由126TT得1261TT，即37891011 129101a a a a a aa a故9101a a因为1 18910a aa a，则1 181a a
33、，由于101a，得181a所以等比数列 na是递增数列，故91001aa 则nT取最小值时，9n 故答案为：911.【江苏省南通市通州区江苏省南通市通州区 2020-2021 学年高三上学期第三次调研考试学年高三上学期第三次调研考试】无穷数列无穷数列 na满足满足：只要只要*,pqaap qN，必有，必有11pqaa，则称，则称 na为为“和谐递进数列和谐递进数列”已知已知 na为为“和谐递和谐递进数列进数列”，且前四项成等比数列，且前四项成等比数列，151aa，22a，则，则2021S_【答案】【答案】7576【解析】1234,a a a a成等比数列，121,2aa，344,8aa，又15
34、aa，na为“和谐递进数列”，26aa，37aa，48aa，59aa，数列na是周期数列，周期为 42021505(1 248)17576S 故答案为：757612.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学 2020-2021 学年高三上学期学年高三上学期 12 月三月三校联考】校联考】数列数列 na为等比数列，其前为等比数列，其前 n 项的乘积为项的乘积为nT，若，若39TT，则，则12T_.【答案】【答案】1【解析】39TT，45891a aa a，349()1a a，即491 121a aa a，所以61212311 121 12()1Ta
35、 a aa aa a，故答案为：113.【江苏省镇江市江苏省镇江市、南通市如皋南通市如皋 2020-2021 学年高三上学期教学质量调研学年高三上学期教学质量调研（二二）】周髀算周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法日月历法”曰曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，生数皆终，万物复，生数皆终，万物复始始，天以更元作纪历天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有该
36、地区的如城街道一老年公寓共有20位老位老人人，他们的年龄他们的年龄（均为正整数均为正整数）之和为一遂又三蔀之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人其中有两位百岁老人（均不到均不到110岁岁），他们的年龄相差一岁他们的年龄相差一岁；其余其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则则20位老人中年龄最小位老人中年龄最小的岁数为的岁数为_.【答案】【答案】77【解析】由题意可知，20为老人的年龄之和为23 761748（岁），设最小年龄者为n nN岁，年龄最大的两位老人的岁数分别为m、1m，则1001110m，100110m，可得101110m，由题意可得2171811172
37、121815217482nmmnnnmmn，化简得9798mn，7989mn，则1017989110n，即6889697n，nNQ，解得77n.故答案为：77.四四、解答题解答题1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市 2021 届高三下学期届高三下学期 2月第一次调研】月第一次调研】已知等差数列已知等差数列 na满足满足1235nnaan.（1）求数列）求数列 na的通项公式；的通项公式；（2）记数列）记数列11nna a的前的前 n 项和为项和为nS.若若*n N，24nS(为偶数为偶数)，求，求的值的值.【答案【
38、答案】（1）1nan；（2）2.【解析】（1）设等差数列 na的公差为 d，因为1235nnaan，所以122328,211,aaaa即11328,3511,adad解得12,1ad，所以2(1)1nann.经检验，1nan符合题设，所以数列 na的通项公式为1nan.（2）由（1）得，11111(1)(2)12nna annnn，所以1111111123341222nSnnn.*nN，12nS，因为*n N，24nS，所以2142，即27(2)2.因为为偶数，所以2.2.【江苏省南通市江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期学年高三上学期 12 月月考模拟月月考模拟】已知数列已知数列
39、 na的前的前n项和为项和为nS，且，且*1222,nnSSnnN，数列，数列 nb中，中，1122ab.（1）求）求 na的通项公式；的通项公式；（2）若）若2211nnbb，212nnnbba，求数列，求数列 nb的前的前10项和项和.【答案【答案】（1）2nna；（2）139.【解析】（1）当2n 时，21226SS，2214aSS；当3n 时，由122nnSS可得出1222nnSS，两式作差得1122nnnnSSSS，即12nnaa，则12nnaa，且212aa，所以，数列 na是等比数列，且首项为2，公比也为2，12 22nnna；（2）由题意得2211nnbb，2122nnnbb，
40、所以212112nnnbb，且2112bb，则1212312nnnbb，2232512nnnbb，25312bb，1311 2bb，所以11212112 1 2122212321 2nnnnbbnnnn ，所以21222nnbnn，所以2212nnbnn，所以12212232nnnbbnn，易得123bb也适合上式，所以 nb的前10项和为25236129102 1 257 12221 171391 22bbbb 3.【江苏省南通市江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期末模拟学年高三上学期期末模拟】设等差数列设等差数列 na的前的前n项和为项和为nS，等比数列等比数列 nb的前的前
41、n项和为项和为nT，已知已知0nbnN，111ab，233aba，5325STb.（1）求数列）求数列 na、nb的通项公式；的通项公式；（2）求和：）求和：121 2231nnnbbbTTT TT TL.【答案【答案】（1）43nan，12nnb；（2）1111221n.【解析】（1）由233aba，111ab，得332baa，得2qd.又533255SaTb，所以332aTb，即21212dqq.由得220qq，解得2q=，4d.所以43nan，12nnb.（2）由（1）1 2211 2nnnT，因为1111111112nnnnnnnnnnnnbbTTT TqT TqT TTT，所以121
42、 22 311223111111112nnnnnbbbTTT TT TTTTTTTLL1111111112221nnTT.4.【江苏省南通市【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期中】学年高三上学期期中】已知等比数列已知等比数列na的前的前n项和为项和为*234,2,4nSnNSSS成等差数列，且成等差数列，且2341216aaa.（1）求数列）求数列na的通项公式；的通项公式；（2）若）若2(2)lognanbn，求数列，求数列1nb的前的前n项和项和nT.【答案】【答案】(1)12nna(2)32342(1)(2)nnTnn【解析】（1）设等比数列na的公比为q，由23424,
43、S SS成等差数列知，324224SSS，所以432aa，即12q .又2341216aaa，所以231111216a qa qa q，所以112a ，所以等比数列na的通项公式12nna.（2）由（1）知1()22(2)log(2)nnbnn n，所以111 11(2)22nbn nnn所以数列1nb的前n项和：11111111111224511233nTnnnn111112212nn32342(1)(2)nnn所以数列1nb的前n项和32342(1)(2)nnTnn5.【江苏省南通市【江苏省南通市 2021 届高三下学期届高三下学期 3 月模拟】月模拟】已知数列已知数列 na满足：满足：2
44、4nnSan，设，设4nnba，1nncb（1）求数列）求数列 na的通项公式；的通项公式；（2）设数列）设数列 nc其前其前n项和为项和为nT，如果，如果nTm对任意的对任意的*nN恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范的取值范围围【答案【答案】（1）224nna；（2）14m【解析】解：（1）当1n 时，1124Sa，14a 当2n 时，24nnSan1124(1)nnSan由-得11224nnnnSSaa124nnaa142(4)nnaa12nnbb11222nnnbb224nna（2）由（1）知21()2nnc，111821111142412nnnT由nTm对任意的*nN恒成立，14m
45、6.【江苏省南通市海安高级中学【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期学年高三上学期 1 月调研】月调研】已知数列已知数列 na满足满足14a，且当，且当2n 时，时，1122nnnan an.（1）求证：数列）求证：数列nan是等差数列；是等差数列；（2）记）记221nnnba，求数列，求数列 nb的前的前n项和项和nS.【答案【答案】（1）证明见解析；（2）22241nnnSn.【解析】（1）证明：当2n 时，1122nnnan an，将上式两边都除以1n n，得1221nnaannn，即121nnaann，所以数列nan是以141a为首项，2 为公差的等差数列.（2
46、）解：由（1）得即42122nannn，即21nan n，所以2222111141nnnbann.所以22222111111142231nSnn22211214141nnnn.7.【江苏省南通市海安高级中学【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期学年高三上学期 12 月测试】月测试】已知数列已知数列 na中中，11a，其前，其前 n 项的和为项的和为nS，且满足，且满足22(2)21nnnSanS.（1）求证：数列）求证：数列1nS是等差数列；是等差数列；（2）设）设1nnbS，211nnnnbcbb，求数列，求数列 nc的前的前 n 项和项和nT.【答案【答案】（1）证
47、明见解析；（2）21nnTnn.【解析】（1）由题意，数列 na中，满足22(2)21nnnSanS，可得而21221nnnnSSSS，整理得112nnnnSSSS，可得1112nnSS，又由11a，可得11111Sa，所以数列1nS是首项为 1，公差为 2 的等差数列.（2）由（1）知112(1)21nnnS，可得21nbn，则22441 11111(21)(21)(21)(21)2 2121nnncnnnnnn 所以11111111112335212122121nnTnnnnnnn.8.【江苏省南通市海安高级中学【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期期中】学年高三上
48、学期期中】已知公比已知公比q大于大于 1 的等的等比数列比数列 na满足满足1310aa，24a.（1）求）求 na的通项公式；的通项公式；（2）设）设nb，求数列，求数列 nb的前的前n项和项和nS.请在请在nn a；22log9na；12121nnna这三个条件中选择一个这三个条件中选择一个，补充在上面的补充在上面的横线上，并完成解答横线上，并完成解答.【答案】【答案】答案见解析【解析】（1）2111104aa qa q，解得122aq或1812aq1q Q，122aq2nna（2）若选2nnbn2311 22 23 2(1)22nnnSnn 23121 22 2(1)22nnnSnn -
49、得：23122222nnnSn1112 1222 212(1)2212nnnnnnSnnn1(1)22nnSn选：22log 29|29|nnbn1n 时，117Sb2n 时，2127512Sbb3n 时，312375315Sbbb4n 时，4123416Sbbbb即2(792)8(4,)2nnnSnn nnN 5n 时，2(4)(129)16132916(4)162nnnSnn 选11211(21)(21)2121nnnnnnb2231111111111122121212121321nnnnS9.【江苏省南通市海安市【江苏省南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期期末】学年高三上学期
50、期末】已知等差数列已知等差数列 na的前的前n项和项和为为nS，35a，636S.（1）求数列）求数列 na的通项公式；的通项公式；（2）记）记mb为为2log k在区间在区间*0,mamN中正整数中正整数k的个数，求数列的个数，求数列 mb的前的前m项和项和.【答案【答案】（1）21nan；（2）212233mm【解析】（1）设等差数列 na的公差为d，则3161+256 56+362aadSad，解得1a1,d2=，11221nann；（2）由20log21mkam，解得2112mk，mb为2log k在区间*0,mamN中正整数k的个数，211212 41mmmb，设数列 mb的前m项和