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1、 核心素养系列（十）逻辑推理与数学抽象突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质类型一形如“对任意x1A，都存在x2B，使得g(x2)f(x1)成立”典例1已知函数f(x)3x22xa22a，g(x)x，若对任意x11,1，总存在x20,2，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围【素养指导】存在性问题转化为大于最小值或者小于最大值来计算.【解析】f(x)3
2、x22xa(a2)，则f(x)6x2，由f(x)0得x.当x时，f(x)0，所以f(x)minfa22a.又由题意可知，f(x)的值域是的子集，所以 解得实数a的取值范围是2,0【素养点评】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围【素养专练】1已知函数f(x)x22x3，g(x)log2xm，对任意的x1，x21,4有f(x1)g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】(，0)【解析】f(x)x22x3(x1)22，当x1,4时，f(x)minf(
3、1)2，g(x)maxg(4)2m，则f(x)ming(x)max，即22m，解得m0)，x，若存在x1及x2，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围【素养指导】根据值域公共部分即可得到结果【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为0,1，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分先求没有公共部分的情况，即22k1或2k0，解得k，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.【素养点评】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域
4、相等”来求解参数的取值范围类型三形如“对任意x1A，都存在x2B，使得f(x1)g(x2)成立”典例3已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_【素养指导】恒成立问题转化为最值问题【答案】 【解析】依题意知f(x)maxg(x)max.f(x)x在上是减函数，f(x)maxf.又g(x)2xa在2,3上是增函数，g(x)max8a，因此8a，则a.【素养点评】理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)maxg(x)max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围【素养专练】已知函数f(x)ln(x21)，g(x)xm，若对x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_【答案】 【解析】当x0,3时，f(x)minf(0)0，当x1,2时，g(x)ming(2)m，由f(x)ming(x)min，得0m，所以m.3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！