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1、天津市部分区2024年高三质量调查试卷（二）数 学本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号2本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：如果事件，互斥，那么如果事件，相互独立，那么棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B
2、. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 4. 在数列中，若（），则的值为（ ）A. 1B. 3C. 9D. 275. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）A. B. C D. 6. 已知双曲线（，）左、右焦点分别为，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 3C. D. 7. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ）A. 的值为0.015B.
3、估计这组数据的众数为80C. 估计这组数据的第60百分位数为87D. 估计成绩低于80分的有350人8. 在各棱长均为2正三棱柱中，上下底面的中心分别为，三个侧面的中心分别为，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥和，则剩余部分的体积为（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数，关于有下面四个说法：的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；在区间上单调递增；当时，的取值范围为；在区间上有个零点以上四个说法中，正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题，共105分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中
4、包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10. 已知是虚数单位，化简的结果为_11. 的展开式中，常数项为_.(用数字作答)12. 过点的直线与圆相交于，两点，且与抛物线相切，则_13. 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是_；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则_14. 在中，是的中点，延长交于点设，则可用，表示为_，若，,则面积的最大值为_15. 已知函数若，且，使得成立，则实数的取值范围是_三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在中，
5、角，对边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值17. 如图，平面，为中点（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长18. 设椭圆（）的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，且，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程19. 已知是等差数列，数列的前项和为，且，（）（1）求和的通项公式；（2）求；（3）设数列满足（），证明：20. 已知函数，（1）若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；（2）当时，证明：，；（3）若在区间上恒成立，求的取
6、值范围天津市部分区2024年高三质量调查试卷（二）数学本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号2本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：如果事件，互斥，那么如果事件，相互独立，那么棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，再求出即
7、可.【详解】因为，所以，所以，故选：A2. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，结合不等式性质，可得答案.【详解】由，当时，则；当时，则；因为，则可知，所以；故“”是“”的必要不充分条件，故B项正确.故选：B.3. 若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可.【详解】，所以.故选：B.4. 在数列中，若（），则的值为（ ）A. 1B. 3C. 9D. 27【答案】D【解析】【分析】由数列的递推式，分
8、别求出的值即可得出结果.【详解】当时，当时，所以，当时，所以.故选：D.5. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D.【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，对于A，为偶函数，故A错误；对于B，故B错误；对于C，为奇函数，当时，因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；对于D，当时，所以时，单调递增，当时，单调递减，故D错误，故选：C.6. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线
9、交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】依题意，得到，代入渐近线方程，进而求出，再根据求出离心率.【详解】由题意知，抛物线的准线方程为，又因为，则点，又因为点在双曲线的渐近线上，所以，所以双曲线的离心率，故选：D.7. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ）A. 的值为0.015B. 估计这组数据的众数为80C. 估计这组数据的第60百分位数为87D. 估计成绩低于80分的有350人【答案】C【解析】【分析】利用频率分布直方图的性质可判
10、定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D.【详解】易知，解得，所以A错误；由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；由频率分布直方图可知前两组频率之和为，前三组频率之和为，故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为，则，解得，所以C正确；成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误.故选：C.8. 在各棱长均为2的正三棱柱中，上下底面的中心分别为，三个侧面的中心分别为，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥和，则剩余部分的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得正三棱柱的体积与挖去的两个三棱锥的体积，
11、可求剩余几何体的体积.【详解】如图所示：因为三个侧面中心分别为，所以三棱锥和三棱锥的底面面积为，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体积为，三棱柱的体积为，故剩余几何体的体积为.故选：A.9. 已知函数，关于有下面四个说法：的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；在区间上单调递增；当时，的取值范围为；在区间上有个零点以上四个说法中，正确个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先把用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可.【详解】因为，即.对于，函数的图象向右平行移动个单位长度，得到，所以正确；对于，则，先减后增，所以错误；对于，当，则
12、，当且仅当时，即时，当且仅当时，即，所以的取值范围为，所以正确；对于，由，则，则当时，所以在上有个零点，所以错误.故选：B.第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题，共105分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10. 已知是虚数单位，化简的结果为_【答案】【解析】【分析】利用复数乘除法法则进行计算即可.【详解】.故答案为：.11. 的展开式中，常数项为_.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定的值，代入即可求解.【详解】由题意二项式展开式的通项为，令，可得展开
13、式的常数项为.故答案为：.12. 过点的直线与圆相交于，两点，且与抛物线相切，则_【答案】【解析】【分析】先设出直线方程，由直线与抛物线相切解出斜率，再由直线与圆相交的弦长公式求出即可.【详解】由题可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，由，消去得，因为直线与抛物线相切，所以，解得，即直线方程为：，化为一般式为，又因为圆的圆心为，半径，则圆心到直线距离为，所以.故答案为：.13. 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是_；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则_【答案】 . . #0.8【解析】【
14、分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望.【详解】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件，则，所以；由题意可得的取值为，所以，故答案为：；.14. 在中，是的中点，延长交于点设，则可用，表示为_，若，,则面积的最大值为_【答案】 . ， . 【解析】【分析】根据几何关系，表示向量；设，再利用平面向量基本定理表示，即可求解，再根据，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解.【详解】由点是的中点，则；设，则，所以，得,所以，即，因为，所以，即，即，当时，即时等号成立，所以面积的最大值为. 故答案为：；.15. 已知函数若，且，使得成立，则实数的取值范围是_【答案】【解
15、析】【分析】由题意可得函数在上不单调，分，结合二次函数的性质，作出图象即可.【详解】当时，可得，易知在R上单调递减，不满足题意；当时，当时，对称轴为，当时，此时函数在上单调递减;当时，当时，开口向上，大致图象如图所示：所以函数上单调递减，在上单调递增，所以，且，使得成立，满足题意;当时：当时，函数的开口下，对称轴， 当，即时，易知函数在和上单调递减，在上单调递增，大致图象如图所示：由此可知，且，使得成立，满足题意;当时，即时，此时函数的大致图象如图所示：易知函数在R上单调递减，所以不存在，且，使得成立;综上，的取值范围为：，故答案为：.【点睛】方法点睛: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质
16、，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在中，角，的对边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）由余弦定理求解即可；（2）由正弦定理求解即可；（3）在中，先由求出，进而求出，然后用两角差的正弦公式求解即可.【小问1详解】由余弦定理得，所以【小问2详解】由正弦定理得，即，解得【小
17、问3详解】在中，所以因为，所以为锐角，所以，17. 如图，平面，为的中点（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）建立坐标系，利用，即可证明；（2）分别求得平面与平面的法向量，利用法向量即可求解；（3）设，借助，求得值，即可求解.【小问1详解】证明：因为平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由已知可得，因为为的中点，所以，所以，所以，所以，所以.【小问2详解】，设平面的法向量，则，即，令得，所以平面的法向量，设平面与平面夹角为，所以平面与平面夹角的余弦值为
18、【小问3详解】设且（），则，所以，所以，所以，化简得，解得或（舍），因为，所以18. 设椭圆（）的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，且，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆方程.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再利用三角形面积列出方程求解即得.【小问1详解】依题意，令椭圆半焦距为c，由，得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，由消去得：，则，解得，又，由（1）知
19、，由，得，即，解得，所以直线的方程.19. 已知是等差数列，数列的前项和为，且，（）（1）求和的通项公式；（2）求；（3）设数列满足（），证明：【答案】（1） （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质求得数列首项与公差，可求的通项公式，由已知可得，可求数列的通项公式；（2）由（1）的结论代入计算可求的值；（3）由已知放缩可得，进而可得，利用错位相减法可求得，可求结论.【小问1详解】设的公差为，由题意，所以，当时，所以，所以，当时，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；【小问2详解】；【小问3详解】，所以，设，则，所以，因为，所以，所以【点睛】关键点点睛：本题第三问
20、的关键是利用放缩法得，再利用错位相减法对右边求和即可.20. 已知函数，（1）若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；（2）当时，证明：，；（3）若在区间上恒成立，求的取值范围【答案】（1） （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）对于，求导，利用导数的几何意义即可得解；（2）将问题化为证明恒成立，构造函数，利用导数即可得证.（3）构造函数，将问题转化为恒成立，利用导数分类讨论与两种情况，从而得解.【小问1详解】由，可知，因为在处的切线斜率为2，所以，所以，【小问2详解】证明：当时，要证，即证，两边取对数得，即证，令，只需证即可所以，在上单调递减所以，成立，所以，.【小问3详解】若在区间上恒成立，即在区间上恒成立令则，令，因为，所以，所以，所以在时单调递增可知当时，即，所以在时单调递增所以成立当时，当时，所以使得当时，即，所以此时单调递减；当时，即，所以此时单调递增；所以，不成立，舍去综上，【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式（，为参数）恒成立问题中参数范围的步骤：1.将参数与变量分离，不等式化为或的形式；2.求在时的最大值或者最小值；3.解不等式或，得到的取值范围.