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1、石嘴山三中2024届高三年级第三次模拟考试文科数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1(1i)2 =（ ）A2i B22i C22i D2i2集合，B6，8，10，
2、12，14，则集合AB中元素的个数为（ ）A5 B4 C3 D23如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图案。定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（）A对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个B函数可以是某个圆的“太极函数”C正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”D是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”4. 已知数列是等比数列，且则的值为（ ）A B2 C3 D4 5我国古代数学名著九章算术将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中错误的是（ ）A平面 B平面平面C D为锐角三角形6将
3、函数的图像向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到的图像，则（ ）A B C D7一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ） A. BC D8.在上随机取一个数，则“直线与圆无公A1ABFOCxy共点”的概率为（ ）A B C D9 如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AA1与准线垂直且垂足为A1，若BC=2BF，AA1=3，则此抛物线的方程为（ ）A B C D10已知函数，若的值域是，则的值为（ ）ABC D11已知双曲线的上、下焦点分别为，直线与的上、下支分别交于点，若以线段为直径的圆恰好过点，且，则的离心率为（ ）A B
4、2CD12.若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）ABCD第II卷（非选择题）二、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量，若向量在向量方向上的投影为2，则实数 14.设是数列的前项和，当时点在直线上，且 ，则的值为 15.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的半径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值为 16已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)（一）必考题：（共60分）17为了庆祝党的二十大胜利召开，培养
5、担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占.(1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；(3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.参考公式：，（是第组的频率），参考数据：18
6、如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，点在棱上，平面.(1)试确定点的位置，并说明理由；(2)是否存在实数，使三棱锥的体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.19在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：；.(1)求角A的大小；(2)若，求的面积.20已知函数，（为自然对数的底数）(1)求曲线在处的切线方程(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；21.已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.（二） 选考
7、题（10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分22【选修4-4，坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线是经过点且倾斜角为的直线以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系(1)求的直角坐标方程和的极坐标方程；(2)若曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，求的值23.【选修4-5，坐标系与参数方程】已知函数(1)求不等式的解集；(2)若函数的最小值为，且正数满足，求证：石嘴山三中2024届高三三模考试数学（文科）试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、 单选题（本大
8、题共12小题，每小题5分，共60分）1(1i)2 =A-2iB2-2iC-2-2iD2i【答案】A2集合，B6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为（ ）A5 B4 C3 D2【答案】D3如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图案。定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（）A对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个B函数可以是某个圆的“太极函数”C正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”D是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”【答案】D【分析】根据太极函数的定义，结合圆的对称性、奇函数的对称性逐一判断即可.【详解】任意一
9、个圆是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确；函数是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则是该圆的“太极函数”，故B正确；将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数是该圆的“太极函数”，故有无数个圆成立，故C正确；函数的图象是中心对称图形，则是“太极函数”，但函数是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故D错误.故选：D.4.已知数列等比数列，且则的值为（ ）A B2 C3 D4 【答案】B5我国古代数学名著九章算术将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，如图，已知直三棱是堑堵，其中，则下列说法中错误的是（）A平面B平面平面CD为锐角三角形【答
10、案】C【分析】利用线面平行判定定理直接证明可判断A；证明平面，然后由线面垂直的性质可判断B；假设，然后可证，即可判断C；设，利用证明即可得为锐角，同理即可证明为锐角三角形，可判断D.【详解】选项A：易知，又平面，平面，所以平面，故A正确选项B：因为，所以，由直棱柱性质可知，又平面，所以平面，而平面，所以平面平面，故B正确选项C：假设，因为，平面，所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以C错误选项D：设，则，所以为锐角同理可得，均为锐角，故D正确故选：C6将函数的图像向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到的图像，则（ ）A B CD【答案】C7一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个
11、三棱住的侧视图的面积为（ ）ABCD【答案】A【详解】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧视图面积为.故选A.考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.8在上随机取一个数，则事件“直线与圆无公共点”发生的概率为（）ABCD【答案】B【分析】根据直线与圆有公共点，求出的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线，即与圆有公共点，则圆心到直线距离，故解得或，由几何概型的概率公式，得事件“直线与圆公共点”发生的概率为.故选：B.9A1ABFOCB1xy如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于两点
12、A、B，交其准线于C，若|BC|=2|BF|，AA1=3，则此抛物线的方程为（ A ）Ay2=xBy2=9xCy2=xDy2=3x【答案】D10已知函数，若的值域是，则的值为（）ABCD【答案】C【详解】当时，因为的值域是，又在上单调递减，所以.故选：C.11.已知双曲线的上、下焦点分别为，直线与的上、下支分别交于点，若以线段为直径的圆恰好过点，且，则的离心率为（）AB2CD【答案】C【分析】由题意可知四边形是矩形，设，所以，再由双曲线的定义结合离心率的计算公式即可得出答案.【详解】如下图，已知四边形是平行四边形，又因为以线段为直径的圆恰好过点，所以，又因为，设，所以，则的离心率为.故选：C.
13、12.若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】A 【详解】因为是定义在上偶函数，所以，因为，所以，因为在上单调递增，所以， 故选：A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量，若向量在向量方向上的投影为2，则实数 【答案】【分析】利用向量的投影公式即可得解.【详解】因为，所以，所以向量在向量方向上的投影为，则.14设是数列的前项和，时点在直线上，且=2，则的值为 ABCD【详解】试题分析：由已知，即，可知数列为等差数列，且公差为，又函数的最小值为，即，故15.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的半径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值为 【答案】
14、【分析】由轴截面为正三角形求出圆锥底面半径与圆锥高的关系，求出圆锥的体积、球的体积即可得解.【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，由题可知：，所以圆锥的体积为，球的体积，所以，故答案为：16已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可）【分析】将问题“在上有最小值”转化为在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，结合二次函数零点分布求解即可.【详解】由可知，又在上有最小值，所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，所以，解得，又因为，所以.故答案
15、为：（答案不唯一，中的任意整数均可）.三、解答题.(共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占.(1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法
16、抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；(3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.参考公式：，（是第组的频率），参考数据：【答案】(1)(2)(3)105【分析】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可；（2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与组合数即可求得所求概率；（3）先利用题目所求标准差公式求得，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数.【详解】（1）依题意，得，所以抽取的200名学生的平均成绩.（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的
17、高三学生应该有人，所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为.（3）依题意，得，所以优秀的比赛成绩应该，而比赛成绩在的频率为：，而，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人.18如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，点在棱上，平面.(1)试确定点的位置，并说明理由；(2)是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)点是的中点，理由见解析(2)存在，使三棱锥体积为【分析】（1）连接，交于点，连结，根据线面平行的性质定理，证出，再结合是的中点，判断出点是的中点，可得答案；（2）若三棱锥体积为，则可推出三棱锥的体积为，进而利用棱锥的体积公
18、式与底面，列式算出实数的值，即可得到答案.【详解】（1）点是的中点，理由如下： 连接，交于点，连结， 底面是正方形，、相交于点，是的中点，平面，含于平面，平面平面， 中，是的中点，是的中点.（2）为中点，.若，则 底面，解得.存在，使三棱锥体积为.19在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：；.(1)求角A的大小；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换化简计算即可求解；（2）由可得，由（1），根据余弦定理和三角形面积公式计算即可求解.【详解】（1）若选：，由正弦定理得，又，所以，又，所以，
19、即，又，所以；若选：，由正弦定理得，又，所以，即，又，所以；若选：，即，又，所以，即，又，所以；（2）由（1）知，所以，即，又，所以，得，所以，解得，故.20已知函数，（为自然对数的底数）(1)求曲线在处的切线方程(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数求曲线在切点处的切线方程；（2）求出函数在时的值域，可求实数的最大值；【详解】（1）函数，所以曲线在处的切点坐标为，切线斜率为0，切线方程为.（2），因为，所以，则，所以函数在上单调递减.，所以函数的值域为.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为，所以实数的最大值为.21.已知椭圆的方程，右焦点为，
20、且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.【详解】（1）设椭圆焦距为，由题意可得，3分故椭圆方程为4分（2）当斜率不存在时，易知；5分当斜率存在时，设，,，,，由，得，显然，所以，7分因为，所以，9分因为，所以，又，10分设，则，解得且，所以，综上可得的取值范围为12分22【选修4-4，坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线是经过点且倾斜角为的直线以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系(1)求的直角坐标方程和的极坐标方程；(2)若曲线的极坐标方程为，设与和
21、的交点分别为，求的值【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得其普通方程为由题知直线的直角坐标方程为，即，将代入，得，则直线的极坐标方程为-5分（2）由（1）可知的普通方程为，即，故其极坐标方程为曲线的极坐标方程为，由解得由解得，所以-10分23已知函数(1)求不等式的解集；(2)若函数的最小值为，且正数满足，求证：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论去绝对值求解不等式；（2）先求出的最小值，确定，再利用基本不等式证明.【详解】（1）当时，解得，所以；当时，解得，所以；当时，解得，所以综上，不等式的解集为（2）由（1）函数，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以