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1、6.4.2向量在物理中的应用举例2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册同步课时训练一、单选题1在中，且，则点的轨迹一定通过的（）A重心B内心C外心D垂心2在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（）AB当时，C当角越大时，用力越省D当时，3如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（）ABCD4已知三个力，同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力，则（）ABC
2、D5已知点，则下列结论正确的是（）A三点共线BC是锐角三角形的顶点D是钝角三角形的顶点6如果表示“向南走”， 表示“向北走”， 表示“向东走”， 表示“向西走”，那么下列向量中表示“向北走”的是（）ABCD二、多选题7下列说法中正确的有（）A与垂直的单位向量为B平面上三个力，作用于一点且处于平衡状态，与的夹角为，则大小为C若非零向量，满足，则与的夹角是D已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是8点O在所在的平面内,则以下说法正确的有A若,则点O为的重心B若,则点O为的垂心C若,则点O为的外心D若,则点O为的内心三、填空题9一艘船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为.则船的实际航行速度大
3、小为 ，方向与水流的方向所成的角的大小为 .10在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 11已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为 .12一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为 km/h.四、解答题13某人在静水中游泳，速度为千米/小时，他在水流速度为千米/小时的河中游泳他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进
4、？实际前进的速度大小为多少？14如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，在静水中的速度是，河水的流速是，那么小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头方向又应怎样？15如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向与水流方向的夹角和的大小；（2）如果要使此人游得时间最短，且，求他实际前进的方向与水流方向的夹角和的大小16如图所示，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAC，E是垂足，F是DE的中点，求证AFBE
5、.参考答案：1A【分析】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.【解析】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：根据三角函数定义可得，因为，所以，即，即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，所以点的轨迹一定通过的重心.故选：A2B【分析】根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案.【解析】解：根据题意可得：，则，当时，故A错误；当时，及，故B正确；，因为在上递减，又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误；当时，即，解得，又因，所以，故D错误.故选：B
6、.3A【分析】根据平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质可得，然后再求出即可【解析】设与所成的角为，由题意得，则.故选:A4D【解析】如果物体保持平衡，那么所受合力为，根据已知三个力，计算可得。【解析】由物理知识，知物体平衡，则所受合力为，所以，故.故选：D【小结点评】本题考查由物体受力平衡求向量，是基础题。5D【解析】由题意，求得，得到是钝角，即可得到答案.【解析】由题意，点，可得，则，所以是钝角.故选：D.【小结点评】本题主要考查了向量的数量积的计算及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于据基础题.6C【分析】根据向量的
7、加法的几何意义，逐项判定，即可求解.【解析】由题意，向量表示向北走，所以A 不符合题意；向量表示向东走，所以B不符合题意；向量表示向北走，所以C符合题意；向量表示向南走，所以D不符合题意；故选：C7BC【分析】对于A：根据向量的坐标运算分析求解即可；对于B：可知，利用数量积和模长关系运算求解；对于C：根据模长关系可得，进而结合夹角公式运算求解；对于D：举反例说明即可.【解析】对于选项A：设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或，故A错误；对于选项B：由题意得，所以，故B正确；对于选项C：若非零向量，满足，则，即，可得，又因为，可知与的夹角的余弦值为，且，所以与的夹角是，故C正确；对于选项D：当时
8、，与平行，不满足与夹角为锐角，所以若与夹角为锐角，则的取值范围不包含0，故D错误.故选：BC.8AC【解析】逐项进行分析即可.【解析】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心；选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心；选项D，由得，即，同理可证，即点O是的垂心；故选：AC【小结点评】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量
9、的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题9 【分析】先作出图像，将实际问题转化为向量问题，利用勾股定理运算即可得解.【解析】解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示河水的流速，以为邻边作平行四边形，则就是船实际航行速度，在中，,所以 ， ,即，即船的实际航行速度大小为，方向与水流的方向所成的角的大小为，故答案为：(1)(2)【小结点评】本题考查了将实际问题转化为向量问题，重点考查了数形结合的思想方法，属基础题.10【分析】根据题意可得且，平方后利用数量积公式展开即可得解【解析】依题意，且，所以，即，解得故答案为：115【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.【
10、解析】由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当取得最小值.故答案为：5【小结点评】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.12【分析】利用勾股定理求得正确答案.【解析】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行，所以船实际航行的速度大小为km/h.故答案为：13答案见解析【分析】作出图形，利用平面向量加法的平行四边形法则可得结论.【解析】如图，设此人的实际速度为，水流速度为，游速为，则，在中，则，.故此人沿向量的方向游（即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为），实际前进的速度大小为千米/小时14小汽艇在河水中的实际运动速度是；小
11、汽艇实际运动方向与河岸的夹角为；要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头应与垂直河岸方向成的角【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算求出答案即可.【解析】如图（1）所示，小汽艇在河水中的实际运动速度是；，所以小汽艇实际运动方向与河岸的夹角为；如图（2）所示，中，所以，解得所以要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头应与垂直河岸方向成的角15（1），;(2) ,.【分析】（1）根据题意，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直即可，进而求解；（2）根据题意，要使时间最短，则只需游泳距离与合速度的比值最小，进而得当此人垂直于对岸游泳时，用时最短，进而求得答案.【解析
12、】解：（1）如果要使此人游得路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直，如图，此人游泳的方向与水流方向的夹角，此时，.（2）如图2，设与的夹角为，与的夹角为，实际游泳的距离为，所以，所以，故当与的夹角为时，此人游泳到对岸用时最短，如图3，当，由于，故，此时，所以.【小结点评】本题考查向量在物理上的应用，考查运算求解能力与数学建模思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据几何关系得到实际游泳的距离为与的比值的最小值，进而得当与的夹角为时，此人游泳到对岸用时最短.16见解析【解析】ABAC，且D是BC的中点，0.又，0.，F是DE的中点，.()()()()0.，AFBE.学科网（北京）股份有限公司