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1、人教A版必修二知识点汇总 第7章 复 数 知识点汇总7.1.1 数系的扩充和复数的概念1.复数的概念（1）定义 形如a+bia，bR的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，且i2=-1，全体复数所构成的集合 叫做复数集. 这样，方程 x2-1在复数集 C 中就有解 x=i了.（2）表示方法复数通常用字母 z 表示，代数形式为z=a+bia，bR，其中 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.温馨提示:i2=-1；i 和实数之间能进行加法、乘法运算； (3)实部aR，虚部 bR.（3） 实例运用 例1说出下列复数的实部和虚部：-2+13i， 2+i， 22， - 3i， i， 0解：-2+13
2、i的实部为-2，虚部为13； 2+i的实部为 2，虚部为1； 22的实部为 22，虚部为0； - 3i的实部为0，虚部为- 3； i的实部为0，虚部为1； 0的实部为0，虚部为0；2.复数相等的充要条件（1）设a，b，c，d都是实数，则abicdi ac 且 bd.即“两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部对应相等.”（2）特别地，abi0ab0.即“0的实部与虚部都为0”.（3）实例运用例2求满足下列条件的实数x，y的值：(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i；解：由题意可得x+y=2x+3yy-1=2y+1解得x=4,y=-2(x+y-3)+(x-2)i=0解：由题意可
3、得x+y-3=0 x-2=0解得x=2,y=13.复数的分类（1）实数、虚数与纯虚数的概念与充要条件对于复数 abi（a，bR），当且仅当 b=0 时，它是实数；例如 ：2, -3 , - 12 , 0 都是实数.当且仅当 ab=0 时， 它是实数 0 ; 当 b0 时，它叫做虚数 ; 例如 ：2-3i, -5+7i, -0.2i 都是虚数.当 a=0且b0 时，它叫做纯虚数. 例如2i, -0.2i, 32i都是纯虚数.（2）复数的分类由上探究可知，复数 a+bi（a，bR）可分类如下：（3）实例运用例3当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数?(1)实数; (2)虚数; (
4、3)纯虚数 解：（1）当虚部m-1=0，即m=1时，复数z是实数； （2）当虚部m-10，即m1时，复数z是虚数； （3）当实部 m+1=0虚部 m-10时，即 m=-1 m1，故当m=-1时，复数z是纯虚数. 7.1.2 复数的几何意义 1.复平面的概念 如图, 点Z的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数 zabi可用点 Z(a,b) 表示 通过建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 例如，复平面内的原点 (0, 0) 表示实数0, 实轴上的点 (2, 0) 表示实数2, 虚轴上的点(0, -1)表示纯虚数-i, 点 (-2, 3)表示复数-2+3i.注1：实轴上
5、的点都表示实数；注2：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义（1）复数的几何意义一用点表示复数由复平面的概念引入可知：每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系:注：这是复数的第一种几何意义 用点表示复数.（2）复数的几何意义二用向量表示复数如图，设复平面内的点Z表示复数zabi ，连接OZ，显然向量 OZ 由点Z 唯一确定; 反过来，点Z也可以由向量OZ 唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系(实数0与零向量对应)，即
6、注：这是复数的第二种几何意义 用起点为坐标原点的平面向量表示复数.3.复数的模 如图，当我们用向量OZ表示复数zabi 时规定：向量OZ的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作 |z| 或 |a+bi| .即 |z|=|abi|=a2+b2 .简称为：“一个复数的模等于它实部与虚部的平方和再开算术平方根.”注：特别地，当b=0时，那么zabi是一个实数a，它的模就等于 |a|.简称为：“实数的模等于这个实数的绝对值.”4.共轭复数（1）定义 如图，一般地， 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 注：特别地，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数例如 3+5i 与
7、3-5i 互为共轭复数.（2）表示复数z的共轭复数用 z 表示， 即如果za+bi , 那么 z a-bi.（3）性质共轭复数复数 z 与 z 在复平面内对应的点关于x轴（实轴）对称.5.实例运用例3设复数z1=4+3i，z2=4-3i （1）在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量;（2）求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小解:（1）如图，复数z1,z2对应的点分别为 Z1(4,3)，Z2(4,-3)，对应的向量分别为 OZ1，OZ2，且复数z1,z2互为共轭复数.（2） 已知 z1=4+3i，z2=4-3i |z1|=|4+3i|=42+32=5 |z2|=|4-3i|=42+-3
8、2=5 故 |z1|= |z2| 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义1.复数加法的运算（1）复数加法的运算法则规定：设z1a+bi ，z2c+dia,b,c,dR是任意两个复数，那么它们的和为a+bi +c+di=(a+c)+(b+d)i简述为：“两个复数相加，实部与实部相加作为和的实部，虚部与虚部相加作为和的虚部.”例如(2+3i)+(-1+i)=2+-1+(3+1)i=1+4i注：由复数的加法法则可以看出（1）两个复数的和仍然是一个确定的复数；（2）特别地，当z1,z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和.（2）复数加法的运算律根据复数加法的运算法则可知：对任意的z1,
9、z2,z3C，都有（1）交换律：z1+z2=z2+z1;（2）结合律：z1+z2+z3=z1+z2+z3.注：实数集中加法的交换律、结合律在复数集中仍然成立，且实数集中的移项法则（移正为负、移负为 正 ）在复数集中仍然成立.（3）复数加法的几何意义如图所示，设复数z1a+bi ，z2c+di分别与向量OZ1,OZ2对应，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则z1+z2就对应着复平面中的向量 OZ.2.复数的减法运算（1）复数的减法法则 规定：复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi (x，yR)叫做复数a+bi(a，bR)减去复数c+di(c，dR)的差
10、，记作：x+yi =(a+bi)-(c+di). a+bi -c+di=a-c -b-di简述为：“两个复数相减，实部与实部相减作为差的实部，虚部与虚部相减作为差的虚部.”（2）复数减法的几何意义如图所示，设复数z1a+bi ，z2c+di分别与向量OZ1,OZ2对应，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则z1-z2就对应着复平面中的向量Z1Z2.3.实例运用例1 计算2+4i+3-4i；解：原式 = (2+3)+4+(-4)i = 5 例2设复数z的共轭复数为z，若复数z满足2z+z=3-2i，求z.解:设 z= a+bi(a,bR)，则 z 的共轭复数z= a-b, 2z+z =2(a+bi)
11、+(a- bi) =2a+2bi+a- bi=3a+bi又已知2z+z=3-2i，即 3a+bi=3-2i3a=3b=-2 , 解得a= 1b=-2 故 z=1-2i例3已知复数z1=3+4i，z2=3-4i，求 z1-z2.解：已知复数z1=3+4i，z2=3-4i， z1-z2= (3+4i)-(3-4i )= (3-3)+4-(-4)i= 8i例4计算（1）5-(3+2i)解(1)： 5-(3+2i) = 5-3-2i= 2-2i（2）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解(2)：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)= 5-6i-2-i-3-4i = -11i7.2.2 复数的乘
12、、除运算 1.复数加法的运算（1）复数乘法的运算法则规定：设z1a+bi ，z2c+dia,b,c,dR是任意两个复数，那么它们的积为a+bi c+di=ac+adi+bci+bdi2=ac-bd+ad+bci简述为：“两个复数相乘，先用多项式乘多项式展开，再将i2=-1代入化简.”例如(2+3i)(-1+i)=-2+2i-3i+3i2=-5-i.注：由复数的乘法法则可以看出两个复数的积仍然是一个确定的复数；特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.（2）复数乘法的运算律根据复数乘法的运算法则可知：对任意的z1,z2,z3C，都有交换律：z1z2=z2z1;结合律
13、：z1z2z3=z1z2z3；分配律：z1z2+z3=z1z2+z1z3.注：复数乘法的运算律与多项式乘法的运算律相同，同时相应的公式如完全平方公式(ab)2=a22ab+b2、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2以及乘方运算法则在复数范围内都适用.2.复数的除法运算（1）复数的除法法则 复数的除法法则为：a+bi c+di =a+bic+di=a+bic-dic+dic-di=ac-adi+bci-bdi2c2-di2 =ac+bd+bc-adic2+d2=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i简述为：“两个复数相除，先把除式转化为分式，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，实现分母
14、实数化后化简.”注：由复数的除法法则可以看出两个复数的商仍然是一个确定的复数；例如(2+3i)(1-i)=2+3i1-i=2+3i1+i1-i1+i=2+2i+3i+3i212-i2 =-1+5i2=-12+52i.（2）复数范围内一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a，b，cR且a0)的求根公式当判别式b24ac0时,x=-bb2-4ac2a;当判别式b24ac0时,x=-b-b2-4aci2a;3.实例运用例1计算 (1)7-6i-3i=-21i+18i2= -18-21i (2)3+4i-2+3i= -6+9i-8i+12i2= -18+i例2计算：(1)(2+3i)(2-3i)= 2
15、2-3i2= 4-9i2= 4-9(-1) = 13 (2)(1+i)2= 12+2i+i2=1+2i-1=2i例3计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)=(3+4i-6i-8i2)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -22+11i+4i-2i2 = -20+15i例4 计算 (1+2i)(3-4i)=1+2i3-4i=1+2i3+4i3-4i3+4i=3+4i+6i+8i232-4i2 =-5+10i25=-15+25i例5在复数范围内解方程x2+x+1=0解：=b2-4ac =12-411 =-30 x=-b-b2-4aci2a=-1-3i21=-13i2 x1=-12+32i ,x2=-12-32i