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1、人教A版必修二知识点汇总第6章 平面向量及其应用 知识点汇总6.1 平面向量的概念1.向量的概念(1)向量：像力、位移这样，在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：像长度、质量这样，在数学中，我们把只有大小没有方向的量叫做数量.注：物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中其他的一些向量和数量吗？例1 下列物理量中，向量有（），数量有（） .（填序号）质量； 年龄 ； 位移； 角度； 加速度； 面积； 风速； 身高； 温度； 弹力.2.向量的表示与特殊向量（1）有向线段如图所示，我们把具有方向的线段叫做有向线段.以 A为起点、B为终点的有向线段记作AB，线段 AB
2、的长度也叫做有向线段AB的模，记作|AB|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度注：知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了.（2）向量的表示几何表示如图，数学上通常用有向线段表示向量，以 A为起点、B为终点的有向线段表示向量AB. 其中有向线段AB的长度表示向量AB的大小（或模），记作|AB|，有向线段AB的方向表示向量AB的方向.注：在空间中，向量是可以进行平移的.字母表示向量可以用字母a，b，c，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用a,b,c表示）温馨提示：有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素，而向量有大小和方向两个要素.在空间中，有向线段是固定
3、的，而向量是可以自由平移的.每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段.（3）特殊向量零向量长度为 0 的向量叫做零向量 , 记作0. 注：i. 0的模为0，即 |0|=0 ； ii. 0的方向是任意的，即它的方向可以看作任意方向.单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 , 通常用e表示，即| e |=1.注：任何一个非零向量a都有它的单位向量，且e=aa.（4）实例运用例2如图，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离(精确到1km) 解：如图所示AB表示表示 A 地至 B 地的位移，AC表示表示 A 地至 C 地的位移
4、， 图中比例尺为1:8 000 000 即图上1cm 代表实际距离 80km |AB|1.380=104km | AC|280=160km答:A地至B，C两地的实际距离分别约为104km，160km.3.向量间的特殊关系（1）平行向量（或共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量），记作 ab.注 我们规定，零向量与任意向量平行， 即对于任意向量 a，都有0 a. 注 如图,已知a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线 l，在 l上任取一点O，则可在 l上分别作出OA=a，OB=b，OC=c这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 因此平行向量也叫做共
5、线向量 .（2）相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 如图 向量a与b为相等向量，记作a=b. 注：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关； 同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量， 因为向量完全由它的模和方向确定.（3）相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 如图 向量a与c为相反向量，记作c=-a. 注向量a的相反向量为-a，且-a=a；注规定: 0的相反向量为 0，记作 -0= 0.（4）实例运用例3如图，设O是正六边形ABCDEF的中心写出图中的共线向量;分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量解：如图所示 已知O是正
6、六边形ABCDEF的中心 OA , CB,DO,FE 是共线向量 OB ,DC ,EO,AF 是共线向量 OC,AB,ED,FO是共线向量 由图可知 OA=CB=DO; OB=DC=EO; OC=AB=ED=FO.6.2.1 向量的加法运算 1.向量加法的定义与三角形法则（1）向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.注：对于零向量与任意向量a，规定a+0=0+a=a ,即“任何向量与零向量相加等于它本身”.（2）向量加法的三角形法则如图，已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b,，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC. （语言表达）：两
7、个向量的求和，等于先把第一个向量的尾端和第二个向量的首端连接，那么连接第一个向量的首端与第二个向量的尾端得到的向量即为这两个向量的和.即向量加法的三角形法则简称为“首尾相连接”.（3） 实例运用 例1如图，已知平面四边形ABCD，则AB+BC+CD= ( A ) A.AD B. BD C. AC D.02. 向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的向量OC (OC是平行四边形OACB的对角线)就是向量 a 与 b 的和.即OC=OA+OB=a+b 温馨提示 : 应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”.向量加法
8、的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.3.向量加法的性质及其运算律（1）一般地，我们有a+b|a|b| ，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立.注：当等号不成立时，这一不等式的几何意义为“三角形的任意两边之和大于第三边”（2）交换律：a+b=b+a.（3）结合律：(a+b)c=a+bc. 4.实例运用例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为63 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; 解：如图所示，AD表示
9、船速，AB 表示江水速度，以AD,AB为邻边作平行四边形 ABCD，据平行四边形法则可知AD+AB=AC, 故AC表示船实际航行的速度（2） 求船实际航行的速度的大小与方向.解: 由（1）知四边形 ABCD为平行四边形 |AB|=|DC|=6, |AD|=|BC|=63又 已知 ADAB DAC=90 四边形ABCD为矩形 B=90,即 ABC 为直角三角形 |AC|=AB2+BC2=62+632=144=12又 tanCAB=|BC|AB|=636=3 , 且CAB(0,90) CAB=60答：船实际航行的速度的大小为12km/h，方向为东偏北60（即与江水速度的夹角为60）6.2.2 向量
10、的加法运算 1.相反向量及其性质（1）向量加法的定义长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 如图， 向量 a 与 b 互为相反向量，记作 b=- a . 注向量a 的相反向量为-a，且 -a= a； 注规定：0的相反向量为0，记作 -0=0.（2）相反向量的性质如图，由两个向量和的三角形法则易知：当a 与 b 互为相反向量时，则满足 a+b=b+a=AB+BC=AC=0即“互为相反向量的两个向量的和为零向量”2.向量减法的定义及其运算法则（1）向量减法的定义向量a 加上 b 的相反向量，叫做a 与 b 的差，记作： a-b= a+-b .求两个向量差的运算叫做向量的减法.注：由向量减法的定义可
11、知，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.（2）向量减法的运算法则（几何意义）作法 如图，已知非零向量 a 与 b, 在平面内任取一点 O，作OA=a，OB=b ， 据向量加法的三角形法则有 OB+BA=OA, BA=OA- OB.几何意义对于具有公共起点的非零向量 a 与 b ，a - b可以表示为从向量b的终点指向向量 a 的终点的向量.注：向量减法的运算法则可以简称为具有公共起点的两向量“尾尾倒相连”.3.实例运用例 如图 （2），在平行四边形ABCD中 ，AB=a , AD=b ,你能用 a , b表示向量AC,DB 吗？解： 已知在平行四边形A
12、BCD中 ，AB=a , AD=b , 据向量加法的平行四边形法则可知 AC=AB+AD=a + b 又据向量的减法法则可知 DB=AB- AD=a - b 6.2.3 向量的数乘运算1.定义 一般地，我们规定实数与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度与方向规定如下：（1）a 的长度为:|a|=|a|;（2）a 的方向为：当 0 时，a 的方向与a的方向相同； 当 0 时，a 的方向与a的方向相反； 当 0 时，a0.温馨提示.向量的数乘a仍是一个向量；.实数 与向量a 不能相加减.2.运算律根据向量数乘的定义可以得到如下的运算律设，为实数，则有：(1)(a)=
13、a；(2)()a=a+a；(3)(ab)=a+a.特别地，有()a=-a=-a，(ab)=a-a.3.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ,b，以及任意实数，1，2，恒有 (1a2b)=1a+2b.例1 计算：（1）-34a=-12a;（2）3a+b-2a-b-a=3a +3b-2a+2b-a=5b;（3）a+3b-c-3a-2b+c=a+3b-c-3a+2b-c=-2a+5b-2c.4.向量共线定理及其推论（1）向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使b=a a0（2）向量共线定理的推论在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：
14、OA=xOB+yOC(O为平面内直线AB外任意一点)，其中x+y=1.例2如图，已知任意两个非零向量a，b，试作OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想解:如图，分别作向量OA，OB，OC，过点A,C作直线AC观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A,B,C三点共线.证明： AB=OB-OA=a+2b-a+b=a+2b-a-b=b AC=OC-OA=a+3b-a+b=a+3b-a-b=2b AC=2AB AC与AB为共线向量又ACAB=A 故A,B,C三点共线.6.2.4 向量的数量积1.向量的夹角与数量积（1）向量的夹
15、角如图，已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量OA=a , OB=b ,则AOB(0)叫做向量a与b的夹角,记作= a，b .注：特别地，当 0 时，a与b同向 ；当 时，a与b反向；当 2 时，我们说a与b垂直，记作ab .温馨提示两向量的夹角的范围是0，；两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.（2）向量的数量积如图，已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做 a与b的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab=|a|b|cos 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0a=0.温馨提示 数量积运算中间是“”，不能写成“”，也不能省略不写.
16、向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0.（3）实例运用例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=23，求 ab解： ab=|a|b|cos =54cos23=54-12=-10;例2设|a|=12，|b|=9，ab=-54 2，求a与b的夹角解：由 ab=|a|b|cos 可得 cos=ab|a|b|=-542129=-22又0， =342.投影向量、向量数量积的性质与运算律（1）投影向量的概念 如图，设a，b是两个非零向量，AB=a , CD=b，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1,B1,得到 A1B1，我们
17、称上述变换为向量 a 向向量 b 投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.特别地，如图，在平面内任取一点O，作OM=a , ON=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.（2）投影向量的求解公式 对于任意的 0，都有向量向量a在向量b上的投影向量OM1为 OM1=acose=acosbb注：其中 为向量 a 与 b 夹角.（3）向量数量积的性质 由向量数量积公式 a b|a|b|cos 可得如下的性质 设两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，e是与 b方向相同的单位向量，则有a e=ea=acos; a b ab=0;.当a与 b同向时，ab=
18、|a|b|; .当a 与 b反向时，ab=-|a|b|cos ; .特别地,a2=aa= a 2，则有 a =a2 ;由|cos|1可得 ： | a b|a|b|.（4）向量数量积的运算律 由向量数量积的定义可得如下的运算律：对于向量a ， b ， c 和实数，有 a bb a(交换律)；( a) b=a b(数乘结合律)；(a + b) c=a c+b c(分配律);a + b2=a2+2a b+b2(完全平方公式); a + ba - b=a2-b2（平方差公式）.注：等式ab c=a b c不成立，因为a b c表示与 c共线的向量，a b c表示与a共线的向量，而a 与 c 不一定共线
19、，所以ab c=a b c不一定成立.（4） 实例运用例3已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60，求(a+2b)(a-3b).解：(a+2b)(a-3b)=a2-3a b+2a b-6b2 =a2-a b-6b2 = a 2-|a|b|cos -6 b 2 = a 2-|a|b|cos -6 b 2 =62-64cos 60-642 =-72例4 已知|a|=3，|b|=4,且a与b不共线. 当k为何值时，向量a+kb与a-kb相互垂直？解：向量a+kba-kb的充要条件为 (a+kb)(a-kb)=0 a2-kb2=0 a2-k2b2=0 已知|a|=3，|b|=4 a2= a 2=
20、32=9 b2= b 2=42=16 满足9-16k2=0解得k=916=34 故当k=34 时，向量a+kb与a-kb相互垂直.6.3.1 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 由上探究可知 如图所示，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=1e1+2e2，如果e1，e2不共线，我们把 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.注：由平面向量基本定理知，任一向量都可以由基底唯一表示.2.实例运用例 如图，OA，OB不共线，且AP=tAB(tR)，用OA，OB表示OP解：已知AP=tAB(tR)，OP=OA+AP=OA
21、+tAB=OA+tOB-OA =1-tOA-tOB6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加减运算的坐标表示 1.平面向量的正交分解与坐标表示（1）平面向量的正交分解 如图，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.a=OA=OQ+OP=3 i+3j（其中OPOQ）（2）平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，设与 x 轴, y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i , j，取 ij 作为基底. 对于平面内的任意一个向量 a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y, 使得a=xi +yj,如图，以原点 O 为起点作 OA=a,过点A作AMx 轴
22、，ANy 轴，垂足分别为点M与N，这样点 M 对应着实数x，点 N 对应着实数y，这样 a=xi +yj 中的x与y就被唯一确定了.如图2所示，我们把 a=xi +yj中的有序数对 x,y 叫做向量a的坐标，记作 a = x,y其中，x 叫做 a 在在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，式叫做向量 a 的坐标表示.例如 i = 1,0， j =0,1， 0 =0,0. 注：求一个向量 a 的坐标，实际上是把向量 a 的起点平移到坐标原点O，其终点 A 坐标即是向量 a 的坐标.（3）实例运用例1 如图，分别用基底i,j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标 解：由图可知a=A
23、A1+AA2=2i+3j a=2,3同理可得 b=-2i+3j=-2,3 c=-2i-3j=-2,-3 d=-2i-3j=-2,-32.平面向量加减运算的坐标表示（1）平面向量加减运算的坐标表示如果已知 a= x1 , y1 , b= x2 , y2, 那么 a+b=x1+ x2，y1+y2. a-b=x1- x2，y1-y2. 即：“两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.”（2）平面向量坐标的求解方法如果已知A= x1 , y1 , B= x2 , y2, 那么 AB=x2- x1，y2-y1. 即：“一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.” （3）
24、实例运用例2已知 a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a-b的坐标解： 已知 a=(2,1)，b=(-3,4) a+b=2+-3，1+4=-1,5 a-b=2-3，1-4=5,-36.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示1.平面向量数乘运算的坐标表示如果已知a= x , y，那么a= x , y.即“实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.”2.平面向量共线的坐标表示如果已知a x1 , y1，b x2 , y2，其中b0，那么a，b共线（即ab）的充要条件是x1 y2=x2y1或x1 y2-x2y1=0，记作：abx1 y2=x2y1或x1 y2-x2y1=0.即：两个
25、向量共线（平行）的充要条件是“坐标交叉相乘积相等”或“坐标交叉相乘再求差值为0”.3.实例运用例1已知 a=(2,1)，b=(-3,4)，求 3a+4b 的坐标解：已知 a=(2,1)，b=(-3,4) 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=6,3+-12,16=-6,19 例2已知 a=(4,2)，b=(6,y)，且a/b，求y解：已知 a=(4,2)，b=(6,y)，且a/b， 满足 4y=26（交叉相乘积相等） 解得 y=3 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示1.平面向量数量积的坐标表示如果已知 a=x1,y1，b=x2,y2，那么ab =x1 x2+y1y2,简述为：“两个向量的
26、数量积等于它们对应坐标乘积的和”.2.平面向量的模长公式如果已知 a=(x,y)，那么a=x2+y2, 即“一个向量的模长等于它横纵坐标的平方和再开算数平方根” 注：特别地，如图作有向线段AB=a, 设 AB=a=(x,y)，Ax1,y1，Bx2,y2 则 x=x2- x1y=y2-y1故此时a=AB=x2- x12+y2-y12.3.平面向量垂直的充要条件设 a与b是非零向量， a=x1,y1，b=x2,y2 则abab=0x1 x2+y1y2=0，即平面内两个非零向量垂直的充要条件为：“平面内两个非零向量垂直的充要条件为两个向量的坐标对应相乘和为0”.4.平面向量的夹角公式设 a与b是非零
27、向量， a=x1,y1，b=x2,y2 ，是 a与b的夹角，根据数量积的定义 ab=|a|b|cos ,坐标表示ab=x1 x2+y1y2 ，以及向量的模长公式a=x12+y12, b=x12+y12,可得cos=ab|a|b|=x1 x2+y1y2x12+y12x12+y125.实例运用例1已知 a=-3,4，b=5,2，求 a，b，ab解：已知 a=-3,4，b=5,2 a=-32+42=5 b=52+22=29 ab=-35+42=-7 例2 已知向量BA=(12, 32)，BC=( 32,12)，求 ABC.解：已知BA=(12, 32)，BC=( 32,12) BABC=12 32+
28、 3212=32 BA=122+ 322=1 BA= 322+122=1 cos=ab|a|b|=3211=32又 ABC0,180ABC=306.4.3 余弦定理、正弦定理 1.余弦定理及其推论（1）探究1在ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？提示：如图，设CB=a,CA=b,AB=c则据向量减法的三角形法则可知 AB=CB-CA，即 c=a-b 又据数量积的性质c2=c2对两边求平方可得 c2=ab2 c2=a2+b2-2ab， c2=a2+b2-2|a|b|cos C， 即c2=a2+b2-2abcosC；同理可得 a2=b2+c2-2bccosA
29、；b2=a2+c2-2accosB.（2）余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍.即 a2=b2+c2-2bccosA；或 a=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB；或 b=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC；或 a=a2+b2-2abcosC;注：利用余弦定理，我们可以从三角形的两边及其夹角直接求出第三边.（3）余弦定理的推论 三角形中任何一个角的余弦值，等于组成这个角两边的平方和减去这个角所对边的平方，再除以组成这个角两边乘积的两倍. 即 cosA=b2+c2- a22bc cosB=a2+c
30、2- b22ac cosC=a2+b2- c22ab 注：利用余弦定理推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.（4）三角形的元素与解三角形一般地，三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边a，b，c 叫做三角形的元素.已知角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.（5）实例运用例1 已知在ABC中，b2，c3，A120，则a .解： 已知在ABC中，b2，c3，A120， 据余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=22+32-223cos120=4+9-12-12=19 故 a=19例2 在ABC中，若 abc132，求A，B，C,并判断这个三角形的形状.解： 已知在ABC中
31、， abc132， 可设a=x,b=3x,c=2x 据余弦定理推论可得 cosA=b2+c2- a22bc=3x2+2x2- x223x2x=32 又 A(0，) A=6同理可得 cosB=a2+c2- b22ac=x2+2x2- 3x22x2x=12 又 B(0，) A=3 C=-(A+B)=-(6+3 )=2 , 故ABC是直角三角形.2.正弦定理及其应用（1）探究如图，已知在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，O为ABC的外接圆,设O的半径为R,过圆心O作直径A1B,则A1B=2R，连接A1C. A与A1是同为 BC 所对的圆周角A=A1, 又A1B为O的直径 圆周角BCA1
32、=90, 即ABC为直角三角形, sinA=sinA1=BCA1B=a2R, 即 sinA=a2R, asinA=2R， 同理可得bsinB=2R,csinC=2R 故满足asinA=bsinB=csinC=2R（R为ABC的外接圆半径）（2）正弦定理如图，已知在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，那么 asinA=bsinB=csinC=2R（R为ABC的外接圆半径）即“在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，且比值都等于这个三角形外接圆半径的2倍.”注（作用）：利用正弦定理，不仅可以解决 “已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决 “已知两边和其中一边的对角，解三角形
33、”的问题.（3）正弦定理的变形已知在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（R为ABC的外接圆半径）可得1.边化角公式：a=2RsinA，b=2RsinB，c =2RsinC.2.角化边公式：sinA=a2R，sinB=b，sinC=c2R. （4）三角形的面积公式如图，已知在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，作边a上的高h , 在RtABC中，ADB=90 sinB=hc, 则 h =csinB , SABC=12acsinB,同理可得 SABC=12absinC, SABC=12bcsinA.即“任意三角形的面积等于
34、任意两边与它们夹角正弦值乘积的一半”.（5）实例运用例1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= 3，A=60，B=45，求b的长.解：已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a= 3，A=60，B=45由正弦定理asinA=bsinB可得 b=asinBsinA=3sin45sin60=32232=2例2在ABC中，BC=1，AB= 3，C=3，求角A.解：已知在ABC中，BC=1，AB= 3，C=3， 由正弦定理BCsinA=ABsinC可得 1sinA= 3sin3 解得 sinA=1323=12 又 A(0，) , A=6 或56 又BC=1AB= 3， AC A=6 例3 在ABC中，a=4,b=6,SABC=6 2，求角C.解：已知在ABC中，a=4,b=6,SABC=6 2， 12absinC=6 2 即 1246sinC=6 2 解得sinC=22 又 C(0,180) , C=45或135学科网（北京）股份有限公司