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1、 信号与系统（第四版）习题解析高等教育出版社2007年8月目 录第1章习题解析2第2章习题解析6第3章习题解析16第4章习题解析23第5章习题解析31第6章习题解析41第7章习题解析49第8章习题解析55第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ (c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。1-2 给定题1-2图示信号f( t )，试画出下列信号的波形。提示：f( 2t )表示将f( t )波形压缩，
2、f()表示将f( t )波形展宽。(a) 2 f( t - 2 ) (b) f( 2t )(c) f( )(d) f( -t +1 ) 题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。图p1-21-3 如图1-3图示，R、L、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。SRSLSC题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。题1-4图解 系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x( t )，由于且
3、故有即1-5 已知某系统的输入f( t )与输出y( t )的关系为y( t ) = | f( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T为系统的运算子，则可以表示为不失一般性，设f( t ) = f1( t ) + f2( t )，则故有显然即不满足可加性，故为非线性时不变系统。1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。(1) (2) (3) (4) 解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。1-7 试证明方程所描述的系统为线性系统。式中a为常量。证明 不失一般性，设输入有两个分量，且则有相加得即可见即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。1-8 若
4、有线性时不变系统的方程为若在非零f( t )作用下其响应，试求方程的响应。解 因为f( t ) ，由线性关系，则由线性系统的微分特性，有故响应第2章习题解析2-1 如图2-1所示系统，试以uC( t )为输出列出其微分方程。题2-1图解 由图示，有又故从而得2-2 设有二阶系统方程在某起始状态下的0+起始值为试求零输入响应。解 由特征方程l2 + 4l + 4 =0得 l1 = l2 = -2则零输入响应形式为由于yzi( 0+ ) = A1 = 1-2A1 + A2 = 2所以A2 = 4故有2-3 设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。(a) f( t ) = 2e( t -1
5、) - 2e( t -2 )(b) f( t ) = sinpte( t ) - e( t -6 )解 (a)和(b)的波形如图p2-3所示。图p2-32-4 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。题2-4图解 (a) f( t ) = e( t ) - 2e( t -1 ) + e( t -2 ) (b) f( t ) = e( t ) + e( t -T ) + e( t -2T )2-5 试计算下列结果。(1) td( t - 1 )(2) (3) (4) 解 (1) td( t - 1 ) = d( t - 1 )(2) (3) (4) 2-6 设有题2-6图示信号f( t )，对
6、(a)写出f ( t )的表达式，对(b)写出f ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。题2-6图解 (a)f ( t ) = d( t - 2 )， t = 2-2d( t - 4 )， t = 4 (b) f ( t ) = 2d( t ) - 2d( t - 1 ) - 2d( t - 3 ) + 2d( t - 4 )图p2-62-7 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和uL，对(b)求冲激响应uC和iC，并画出它们的波形。题2-7图解 由图(a)有即当uS( t ) = d( t )，则冲激响应则电压冲激响应对于图(b)RC电路，有方程即当iS = d( t )时，则同时
7、，电流2-8 设有一阶系统方程试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。解 因方程的特征根l = -3，故有当h( t ) = d( t )时，则冲激响应阶跃响应2-9 试求下列卷积。 (a) d( t ) * 2(b) e( t + 3 ) * e( t - 5 )(c) te-te( t ) * d ( t )解 (a) 由d( t )的特点，故d( t ) * 2 = 2(b) 按定义e( t + 3 ) * e( t - 5 ) = 考虑到t t -5时，e( t -t - 5 ) = 0，故e( t + 3 ) * e( t - 5 ) =也可以利用迟延性质计算该卷积。因为e
8、( t ) * e( t ) = te( t )f1( t - t1 ) * f2( t - t2 ) = f( t -t1 -t2 )故对本题，有e( t + 3 ) * e( t - 5 ) = ( t + 3 - 5 )e( t + 3 - 5 ) = ( t - 2 )e( t - 2 )两种方法结果一致。 (c) te-te( t ) * d ( t ) = te-te( t ) = ( e-t - te-t )e( t )2-10 对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。题2-10图解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即f1( t ) = 2e(
9、t ) - 2e( t - 1 )f2( t ) = e( t ) - e( t - 2 )故f1( t ) * f2( t ) = 2e( t ) - 2e( t - 1 ) * e( t ) - e( t - 2 )因为e( t ) * e( t ) = = te( t )故有f1( t ) * f2( t ) = 2te( t ) - 2( t - 1 )e( t - 1 ) -2( t - 2 )e( t - 2 ) + 2( t - 3 )e( t - 3 )读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。(b)根据d ( t )的特点，则f1( t ) * f2( t
10、) = f1( t ) *d ( t ) + d ( t - 2 ) + d ( t + 2 ) = f1( t ) + f1( t - 2 ) + f1( t + 2 )结果见图p2-10(b)所示。图p2-102-11 试求下列卷积。 (a) (b) 解 (a)因为，故 (b)因为，故2-12 设有二阶系统方程试求零状态响应解 因系统的特征方程为l2 + 3l + 2 =0解得特征根l1 = -1， l2 = -2故特征函数零状态响应 = 2-13 如图系统，已知试求系统的冲激响应h( t )。题2-13图解 由图关系，有所以冲激响应即该系统输出一个方波。2-14 如图系统，已知R1 =
11、R2 =1W，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应uC( t )。题2-14图解 由KCL和KVL，可得电路方程为代入数据得特征根l1,2 = -1 j1故冲激响应uC( t )为 2-15 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f( t ) = e( t )时，全响应y1( t ) = 3e-3te( t )；当输入f( t ) = -e( t )时，全响应y2( t ) = e-3te( t )，试求该系统的冲激响应h( t )。解 因为零状态响应e( t ) s( t )，-e( t ) -s( t )故有y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e-3te
12、( t )y2( t ) = yzi( t ) - s( t ) = e-3te( t )从而有y1( t ) - y2( t ) = 2s( t ) = 2e-3te( t )即s( t ) = e-3te( t )故冲激响应h( t ) = s ( t ) = d( t ) - 3e-3te( t )2-16 若系统的零状态响应y( t ) = f( t ) * h( t )试证明：(1) (2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应证 （1）因为y( t ) = f( t ) * h( t ) 由微分性质，有y ( t ) = f ( t ) * h( t ) 再由积分性质，有（2）因为s(
13、t ) = e( t ) * h( t ) 由（1）的结果，得 第3章习题解析3-1 求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。题3-1图解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为系数 所以三角级数为3-2 如图所示周期矩形波信号，试求其复指数形式的傅里叶级数。图中。解：该信号周期，故，在一个周期内可得：因为为奇函数，故，从而有指数形式： 题3-2图3-3 设有周期方波信号f( t )，其脉冲宽度t = 1ms，问该信号的频带宽度（带宽）为多少？若t压缩为0.2ms，其带宽又为多少？解 对方波信号，其带宽为Hz，当t1 = 1ms时，则当t2 = 0.2ms时，则3-4
14、 求题3-4图示信号的傅里叶变换。题3-4图解 (a)因为f( t ) = 为奇函数，故或用微分定理求解亦可。(b) f( t )为奇函数，故 若用微分-积分定理求解，可先求出f ( t )，即f ( t ) = d( t + t ) + d( t - t ) - 2d( t )所以又因为F1( 0 ) = 0，故3-5 试求下列信号的频谱函数。(1) (2) 解 (1) (2) 3-6 对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为题3-6图证 因为f( t ) =( 0，| t | t则 3-7 试求信号f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t的傅里叶变换。解 因为1
15、2pd(w) 2cost 2pd(w - 1) + d(w + 1) 3cos3t 3pd(w - 3) + d(w + 3) 故有F(w ) = 2pd(w) + d(w - 1) + d(w + 1) + 3pd(w - 3) + d(w + 3) 3-8 试利用傅里叶变换的性质，求题3-8图所示信号f2( t )的频谱函数。题3-8图解 由于f1( t )的A = 2，t = 2，故其变换根据尺度特性，有再由调制定理得3-9 试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。 (1) f( t ) = Acos(w0t) * e( t ) (2) f( t ) = Asin(w0t)e( t ) 解
16、（1）因为所以由时域卷积定理（2）因为由频域卷积定理3-10 设有信号f1( t ) = cos4ptf2( t ) =试求f1( t ) f2( t )的频谱函数。解 设f1( t ) F1(w)，由调制定理而故3-11 设有如下信号f( t )，分别求其频谱函数。(1) (2) 解 (1) 因 故(2) 因 故3-12 设信号f1( t ) =试求f2( t ) = f1( t )cos50t的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。解 因故幅度频谱见图p3-12。5050| F2(w) |图p3-12第4章习题解析4-1 如题4-1图示RC系统，输入为方波u1( t )，试用卷积定理求响应u2(
17、 t )。题4-1图解 因为RC电路的频率响应为而响应u2( t ) = u1( t ) * h( t )故由卷积定理，得U2(w ) = U1(w ) * H( jw )而已知，故反变换得4-2 一滤波器的频率特性如题图4-2所示，当输入为所示的f( t )信号时，求相应的输出y( t )。题4-2图解 因为输入f( t )为周期冲激信号，故所以f( t )的频谱当n = 0，1，2时，对应H( w )才有输出，故Y(w ) = F(w ) H( w )= 2p2d(w) + d(w - 2p) + d(w + 2p)反变换得y( t ) = 2( 1 + cos2pt )4-3 设系统的频
18、率特性为试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解 冲激响应，故而阶跃响应频域函数应为所以阶跃响应4-4 如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H( jw )。题4-4图解 由图可知输出取上式的傅氏变换，得故频率特性4-5 设信号f( t )为包含0 wm分量的频带有限信号，试确定f( 3t )的奈奎斯特采样频率。解 由尺度特性，有即f( 3t )的带宽比f( t )增加了3倍，即Dw = 3wm。从而最低的抽样频率ws = 6wm 。故采样周期和采样频率分别为4-6 若对带宽为20kHz的音乐信号进行采样，其奈奎斯特间隔为多少？若对信号压缩一倍，其带宽为多少？这时奈奎斯
19、特采样频率为多少？解：对，其，故：压缩信号为后，则带宽增加一倍：故：4-7 设f( t )为调制信号，其频谱F( w )如题图4-7所示，cosw0t为高频载波，则广播发射的调幅信号x( t )可表示为x( t ) = A 1 + m f( t ) cosw0t式中，m为调制系数。试求x( t )的频谱，并大致画出其图形。F(w)题4-7图解 因为调幅信号x( t ) = Acosw0t + mA f( t )cosw0t故其变换式中，F(w )为f( t )的频谱。x( t )的频谱图如图p4-7所示。X(w)图p4-74-8 题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统
20、。已知输入f(t)的频谱和频率特性H1( w )、H2( w )如图所示，试画出x(t)和y(t)的频谱图。F(w)题4-8图题4-8图解 由调制定理知而x(t)的频谱又因为所以它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设wC w2。F1(w)F2(w)X(w)Y(w)图p4-84-9 如题4-9图所示系统，设输入信号f(t)的频谱F(w )和系统特性H1( w )、H2( w )均给定，试画出y(t)的频谱。F(w)H1(jw)H2(jw)题4-9图解 设，故由调制定理，得从而它仅在| w | = ( 30 50 )内有值。再设则有即F3(w )是F2(w )的再频移。进而得响应的频谱为其结果仅截
21、取 -20 w a0a3故系统稳定。6-10 如题6-10图示反馈系统，为使其稳定，试确定K值。题6-10图解 该系统的H( s )为从必要条件考虑，应当K 0，再由a1a2 a0a3考虑，应满足K 9，故当0 K 9时系统稳定。也可以从劳斯阵列判定。因为阵列：为使第一列元素不变号，即应即0 K 9时系统稳定。第7章习题解析7-1 试画出下列离散信号的图形。 (a) (b) (c) (d) 解 各信号的图形分别如图p7-1所示。图p7-17-2 试画出下列序列的图形。 (a) (b) (c) (d) 解 各序列的图形分别如图p7-2所示。图p7-27-3 设有差分方程起始状态。试求系统的零输入
22、响应。解 系统的特征方程为l2 + 3l + 2 = 0其特征根为l1 = -1， l2 = -2则零输入响应的形式为由起始状态y(-1)和y(-2)导出起始值y(0)和y(1)n = 0时，y(0) = -3y(-1) - 2y(-2) = 1.5 - 2.5 = -1n = 1时，y(1) = -3y(0) - 2y(-1) = 3 + 1 = 4从而有解得K1 = 2， K2 = -3故7-4 设有离散系统的差分方程为试画出其时域模拟图。解 原方程可以写为从而可得时域模拟图p7-4，图中D为单位延时（位移）器。DDD图p7-47-5 如图所示为工程上常用的数字处理系统，是列出其差分方程。
23、DDD题7-5图解 由图可得差分方程7-6 设有序列f1( n )和f2( n )，如图7-6所示，试用二种方法求二者的卷积。题7-6图解 方法一：用“乘法”2 1.5 1 1 1.5 2 1 1 1 12 1.5 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 22 3.5 4.5 5.5 5 5.5 4.5 3.5 2即有方法二：用单位序列表示各函数后卷积。因为则7-7 设有一阶系统为试求单位响应h( n )和阶跃响应s( n )，并画出s( n )的图形。解 由方程知特征根l = 0.8，故阶跃响应为s( n )的图形如图p7-7
24、所示。图p7-77-8 设离散系统的单位响应，输入信号，试求零状态响应y( n )。解 由给定的f( n )和h( n )，得因为故得7-9 试证明证明7-10 已知系统的单位响应，输入信号，求系统的零状态响应。解 因为利用时延性质，则所以得第8章习题解析8-1 求下列离散信号的Z变换，并注明收敛域。(a) d( n - 2 )(b) a-ne( n )(c) 0.5n-1e( n - 1 )(d) ( 0.5n + 0.25n )e( n )解 (a) (b) (c) (d) 8-2 求下列F( z )的反变换f( n )。(a) (b) (c) (d) (e) 解 (a) 因为故解得K1
25、= 4，K2 = -3进而所以(b) 所以(c) 由于故解得K1 = -2，K2 =2进而所以(d) 由于故解得故有所以(e) 由于故解得K1 = 1， K11 = -1， K12 = -1从而有故得8-3 试用z变换的性质求以下序列的z变换。(a) (b) 解 (a) 由时延性质，有 (b) 8-4 试证明初值定理证明 因为当z时，则上式右边除f(0)外均为零，故8-5 试用卷和定理证明以下关系：(a) (b) 证明 (a) 因由卷和定理而故得 (b) 因为而所以8-6 已知，试求的Z变换。解 因由卷和定理而所以8-7 已知因果序列的Z变换为F( z )，试分别求下列原序列的初值f( 0 )
26、。(1) (2)解 (1) 所以(2) 所以8-8 已知系统的差分方程、输入和初始状态如下，试用Z变换法求系统的完全响应。解 对方程取Z变换，有即故所以8-9 设系统差分方程为起始状态y( -1 ) = 3，y( -2 ) = 2，当f( n ) = ze( n )时，求系统的响应y( n )。解 对差分方程取z变换，得即从而有故解得K1 = 1， K2 = 4， K3 = 0则有得全响应8-10 设一系统的输入，系统函数试求系统的零状态响应。解 因为所以解得K1 = -1， K2 = 2故得所以 8-11 设有系统方程试画出其Z域的模拟框图。解 在零状态下对方程取z变换，得即故有由此可以画出
27、模拟图如图p8-11所示。图p8-118-12 如题8-12图所示z域框图，试写出其差分方程。题8-12图解 由图可得故有所以8-13 如题8-13图所示z域框图，是写出其差分方程。题8-13图解 由图可得故有即从而有差分方程8-14 对于题8-12和8-13，试分别写出系统函数H( z )。解 对于题8-12，因而 故对于题8-13，因故8-15 已知某数字滤波器的差分方程为（1）求系统函数H( z )；（2）求单位响应h( n)。解 （1）在零状态下对方程取z变换，得故系统函数（2）由于故单位响应8-16 如题8-16图所示系统，试求其系统函数H( z )和单位响应h( n)。题8-16图解 由模拟图可得 可得K0 = -3， K1 = -1， K2 = 7故得8-17 设一阶系统为（1）求单位响应h( n)；（2）若系