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1、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题目练习】1如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考
2、虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ）A只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D只要速度满足，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上2如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=310-7kg、电荷量q=+210-3C的带正电粒
3、子以速度v=5102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ）A从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边 B从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不
4、计粒子重力，求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。4如图所示的直角坐标系中，从直线x=2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界从A（2l0，l0）点到C（2l0，0）点区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子。从某时刻起，A点到C点间的粒子依次连续以相同速度v0沿x轴正方向射入电场。
5、从A点射入的粒子恰好从y轴上的（0，l0）点沿沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。（1）求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小。（2）求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？（3）为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？5如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限
6、中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG（，单位：m）和直线DH（，单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。现有大量质量m=110-6 kg（重力不计），电量大小为q=210-4 C，速率均为20m/s的带负电的粒子从处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至1800之间。（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证明这些粒子经过x轴时速度方向均与x轴垂直；（3）通过计
7、算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。6如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域、和两个直径为L的圆形磁场区域、。电场的场强大小均为E，区域的场强方向沿x轴正方向，其下边界在x轴上，右边界刚好与区域的边界相切；区域的场强方向沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好与区域的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为，区域的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向外；区域的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向里。两个质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为（，）、（，）的两点。在x轴的正半轴（坐标原点
8、除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：（1）粒子离开电场时的速度大小。（2）粒子M击中感光板的位置坐标。（3）粒子N在磁场中运动的时间。7如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O1在x轴上，OO1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B1。虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为B2。B1，B2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过
9、P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m，电荷量为q（粒子重力不计）。求：（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。（2）若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标。（3）试证明：题中所有从原点O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。8如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2.0103T，方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L=0.5m的匀强电场区域,电场强度E=1.5103N/C，在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷
10、带负电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内。一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子M，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：（1）粒子M进入电场时的速度。（2）速度方向与y轴正方向成30（如图中所示）射入磁场的粒子N，最后打到荧光屏上,画出粒子N的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。9如图甲所示,质量m=8.01025kg，电荷量q=1.61015C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0=2.0107m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T，若这
11、些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(=3.14)求：（1）粒子从y轴穿过的范围。（2）荧光屏上光斑的长度。（3）打到荧光屏MN上最高点和最低点的粒子运动的时间差。（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。参考答案1当vB时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为、的匀速圆周运动；只要速度满足时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上，选项D正确。2由知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa入射的粒子，出射点一定在b点；从Od入射的粒子，经过四
12、分之一圆周后到达be，由于边界无磁场，将沿be做匀速直线运动到达b点；选项D正确。3解析：（1）当粒子速度沿x轴方向入射，从A点射出磁场时，几何关系知：r=a；由知：（2）从A点进入电场后作类平抛运动；沿水平方向做匀加速直线运动：沿竖直方向做匀速直线运动：vy=v0；粒子离开第一象限时速度与y轴的夹角：（3）粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从P点的出射方向与OO1平行，即与y轴平行；轨迹如图所示；粒子从O到P所对应的圆心角为1=600，粒子从O到P用时：。由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离；粒子在电场中做匀变速运动的时间：；粒子磁场和电
13、场之间匀速直线运动的时间：；粒子由P点第2次进入磁场，从Q点射出，O1QO3构成菱形；由几何知识可知Q点在x轴上，即为（2a，0）点；粒子由P到Q所对应的圆心角2=1200，粒子从P到Q用时：；粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：。4解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有从A点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知解得（2）设距C点为处入射的粒子通过电场后也沿x轴正方向，第一次达x轴用时，有水平方向竖直方向欲使粒子从电场射出时的速度方向沿x轴正方向，有 （n =1，2，3，）解得：即在A、C间入射的粒子通过电场后沿x轴正方向的y坐标为 （n =1，2，3
14、，）（3）当n=1时，粒子射出的坐标为当n=2时，粒子射出的坐标为AOxyv0EECAx=2l0Cx=2l0O1O2PQ当n3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间（如图）y1到y2之间的距离为；则磁场的最小半径为 若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO1QO2为棱形，由 得：5解析：（1）由知：（2）考察从A点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K点离开磁场，O1和O2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O1AO2K为菱形，离开磁场时速度垂直于O2K，即垂直于x轴，得证。（3）设粒子在
15、第四象限进入电场时的坐标为（x，y1）,离开电场时的坐标为（x，y2）,离开电场时速度为v2；在电场中运动过程，动能定理：其中， 解得v2=100x在B2磁场区域做圆周运动的半径为R2，有 解得R2=x因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径刚好为x坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y轴上；又因v2的方向与DH成45，且直线HD与y轴的夹角为450，则所有粒子在此磁场中恰好经过四分之一圆周后刚好到达H处，H点坐标为（0，0.425）。6解析：（1）粒子在区域中运动，由动能定理得 解得（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有，又有，解得因M运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故M在磁场中运动四分之一
16、个周期后经过原点进入磁场，再运动四分之一个周期后平行于x轴正方向离开磁场，进入电场后做类平抛运动。假设M射出电场后再打在x轴的感光板上，则M在电场中运动的的时间（1分）沿电场方向的位移（2分）假设成立，运动轨迹如图所示。沿电场方向的速度速度的偏向角设射出电场后沿x轴方向的位移x1，有M击中感光板的横坐标，位置坐标为（2L，0） （1分）（3）N做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N将从b点进入磁场，从原点O离开磁场进入磁场，然后从d点离开磁场，沿水平方向进入电场。轨迹如图。在磁场中，由几何关系则=300，圆弧对应的圆心角=1800300=1500粒子在磁场中运动的周期粒子在磁场中运动的
17、时间由对称关系得粒子在磁场、中运动时间相等；故粒子在磁场中运动的时间7解析：（1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有解得粒子在磁场B1中匀速圆周运动，有解得由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径相同，即（2）撤去磁场B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有水平方向匀加速竖直方向匀速从y轴出电场的坐标为（3）证明：设从O点入射的任一粒子进入B1磁场时，速度方向与x轴成角，粒子出B1磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与OO1平行。所以从Q点出磁场速度与O2Q垂直，即与x轴垂直，所以垂直进入MN边界。进入正交电磁场
18、E、B2中都有故做直线运动。8解析：（1）由沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子M在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m。粒子M在磁场中匀速圆周运动有：解得（2）由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N在磁场中转过120角后从P点垂直电场线进入电场，运动轨迹如图所示。在电场中运动的加速度大小穿出电场的竖直速度速度的偏转角在磁场中从P点穿出时距O点的竖直距离在电场中运动沿电场方向的距离射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上最好达到荧光屏上的竖直坐标故发光点的位置坐标（2m，0.1875m）9解析：粒子在磁场中匀速圆周运动，有 解得当把荧光屏MN向左移动时
19、，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即R=0.1m；且圆形磁场的圆心在y轴上O点正上方，如图所示的O1点。（1）初速度沿y轴正方向的粒子直接从原点穿过y轴；初速度与x轴正方向成300的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为O2，则OO2B=1500；设此粒子从y轴上的A点穿过y轴，由几何关系知OAO2=300，则有。粒子从y轴穿过的范围为。（2）初速度沿y轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如图所示，打在光屏上的P点，有；初速度与x轴正方向成300入射的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，如图所示，打在光屏上的Q点，有；荧光屏上光斑的长度（3）粒子在磁场中运动的周期打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间打到最高点和最低点的粒子运动的时差间（4）所加磁场的最小范围如图所示，其中从B到C的边界无磁场分布。