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1、-专题、圆形有界磁场中磁聚焦的相关规律练习 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上*点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的一样带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题目练习】1如下图，在半径为R的圆形区域充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不
2、考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说确的是 A只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上 B对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场过的弧长越长，时间也越长 D只要速度满足qBRvm，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上 2如下图，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=310-7kg、电荷量q=+210-3C的带正
3、电粒子以速度v=5102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则以下判断正确的选项是 A从Od边射入的粒子，出射点全局部布在Oa边 B从aO边射入的粒子，出射点全局部布在ab边 C从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边 D从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点 3如下图，在坐标系*Oy有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1a，0，圆分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线*=2a的左侧区域，有一沿*轴负方向的-匀强电场，场强大小为E，一质量为 m、电荷量为+qq0的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿*轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的 A 点射出磁场，
4、不计粒子重力，求：1磁感应强度B的大小；2粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；3假设将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与*轴正方向夹角=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。4如下图的直角坐标系中，从直线*=2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中*轴上方的电场方向沿 y 轴负方向，*轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界从A2l0，l0点到C2l0，0点区域，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子。从*时刻起，A点到C点间的粒子依次连续以一样速度v0沿*轴正方向射入电场。从A点射入的粒子
5、恰好从y轴上的A0，l0点沿沿*轴正方向射出电场，其轨迹如下图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。1求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小。2求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿*轴正方向运动.3 为便于收集沿*轴正方向射出电场的所有粒子，假设以直线*=2l0上的*点为圆心的圆形磁场区域，设计分布垂直于*Oy平面向里的匀强磁场，使得沿*轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过*=2l0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大.相应的磁感应强度B是多大.5如下图，在*oy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m 的圆形
6、磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与*轴、y轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG2100.025yxx，单位：m和直线DH0.425yx，单位：m构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。现有大量质量m=110-6 kg重力不计，电量大小为q=210-4 C，速率均为 20m/s 的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与 y 轴夹角在 0 至 1800之间。1求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；2试证明这些粒子经过*轴时速度方向均与*轴垂直；3通过计算
7、说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。-6如下图，真空中一平面直角坐标系*Oy，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域、和两个直径为L的圆形磁场区域、。电场的场强大小均为E，区域的场强方向沿*轴正方向，其下边界在*轴上，右边界刚好与区域的边界相切；区域的场强方向沿y轴正方向，其上边界在*轴上，左边界刚好与刚好与区域的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为22mEqL，区域的圆心坐标为0，2L、磁场方向垂直于*Oy平面向外；区域的圆心坐标为0，2L、磁场方向垂直于*Oy平面向里。两个质量均为 m、电荷量均为 q的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为32L，2L、32L，234L的两
8、点。在*轴的正半轴坐标原点除外放置一块足够长的感光板，板面垂直于*Oy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：1粒子离开电场时的速度大小。2粒子M击中感光板的位置坐标。3粒子N在磁场中运动的时间。7如下图，半圆有界匀强磁场的圆心O1在*轴上，OO1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B1。虚线MN平行*轴且与半圆相切于P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿*轴负向，磁场磁感应强度大小为B2。B1，B2方向均垂直纸面，方向如下图。有一群一样的正粒子，以一样的速率沿不同方向从原点O射入第 I 象限，其中沿*轴正方向进入磁
9、场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m，电荷量为q粒子重力不计。求：1粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。2假设撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标。3试证明：题中所有从原点O进入第 I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。8如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2.0103T，方向垂直于纸面向里，在*=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L=0.5m 的匀强电场区域,电场强度E=1.5103N/C，在*=2m 处有一垂直*方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率一
10、样的比荷91.0 10/qC kgm带负电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面。一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子M，恰能从磁场与电场的相切处进入电-场。不计重力及阻力的作用。求：1粒子 M 进入电场时的速度。2速度方向与y轴正方向成 30如图中所示射入磁场的粒子N，最后打到荧光屏上,画出粒子N的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。9如图甲所示,质量m=8.01025kg，电荷量q=1.61015C 的带正电粒子从坐标原点O处沿*Oy平面射入第一象限，且在与*方向夹角大于等于 30的围，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0=2.0107m/s。现在*一区域加一垂直于*Oy平面向里的匀强磁场,磁感应
11、强度大小B=0.1T，假设这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(=3.14)求：1粒子从y轴穿过的围。2荧光屏上光斑的长度。3打到荧光屏MN上最高点和最低点的粒子运动的时间差。4画出所加磁场的最小围用斜线表示。参考答案 1当vB时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为mvRqB、2 mTqB的匀速圆周运动；只要速度满足qBRvm时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上，选项 D 正确。2由0.3mvRmqB知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，
12、从Oa入射的粒子，出射点一定在b点；从Od入射的粒子，经过四分之一圆周后到达be，由于边界无磁场，将沿be做匀速直线运动到达b点；选项 D 正确。3解析：1当粒子速度沿*轴方向入射，从A点射出磁场时，几何关系知：r=a；由2vqvBmr知：mvmvBqrqa 2从A点进入电场后作类平抛运动；沿水平方向做匀加速直线运动：2xEqvam 沿竖直方向做匀速直线运动：vy=v0；-粒子离开第一象限时速度与 y 轴的夹角：202tanxyvEqavmv 3 粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从P点的出射方向与OO1平行，即与 y 轴平行；轨迹如下图；粒
13、子从 O 到 P 所对应的圆心角为1=600，粒子从 O 到 P 用时：163Tatv。由几何知识可知，粒子由P点到*轴的距离13sin2Saa；粒子在电场中做匀变速运动的时间：22mvtEq；粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：32()(23)aSatvv；粒子由P点第 2 次进入磁场，从Q点射出，O1QO3构成菱形；由几何知识可知Q点在*轴上，即为2a，0点；粒子由P到Q所对应的圆心角2=1200，粒子从 P 到Q用时：4233Tatv；粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：1234(23)2aamvtttttvvEq。4解析：1带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有002
14、ltv 从 A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知201()22Eq tlm 解得2002082mlmvEqtql 2设距C点为y处入射的粒子通过电场后也沿*轴正方向，第一次达*轴用时t，有 水平方向0 xvt 竖直方向21()2qEytm 欲使粒子从电场射出时的速度方向沿*轴正方向，有022lnx n=1，2，3，解得：2002201()2qEllynm vn 即在A、C间入射的粒子通过电场后沿*轴正方向的y坐标为021yln n=1，2，3，3当n=1 时，粒子射出的坐标为10yl 当n=2 时，粒子射出的坐标为2014yl 当n3 时，沿*轴正方向射出的粒子分布 y 0
15、 E A*=2l0 *=2l0 O1 O2 P Q-在y1到y2之间如图y1到y2之间的距离为12054Lyyl；则磁场的最小半径为0528LlR 假设使粒子经磁场偏转后会聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等如图，轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO1QO2为棱形，由200mvqv BR 得：0085mvBql 5解析：1由211vqvBmR知：110.1mvRmB 2考察从A点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K点离开磁场，O1和 O2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径一样，因此 O1AO2K 为菱形，离开磁场时速度垂直于O2K，即垂直于*轴，得证。3设粒子在第四
16、象限进入电场时的坐标为*，y1,离开电场时的坐标为*，y2,离开电场时速度为v2；在电场中运动过程，动能定理：2221211()22Eq yymvmv 其中21100.0025yxx，20.425yx 解得v2=100*在B2磁场区域做圆周运动的半径为R2，有22222vqv BmR解得R2=*因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径刚好为*坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y轴上；又因v2的方向与DH成 45，且直线HD与 y 轴的夹角为 450，则所有粒子在此磁场中恰好经过四分之一圆周后刚好到达H处，H点坐标为0，0.425。6解析：1粒子在区域中运动，由动能定理得2012EqLmv 解得02
17、EqLvm 2粒子在磁场中做匀速圆周运动，有200vqv Bmr，又有22mEBqL，解得02mvLrqB 因M运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径一样，故M在磁场中运动四分之一个周期后经过原点进入磁场，再运动四分之一个周期后平行于*轴正方向离开磁场，进入电场后做类平抛运动。假设M射出电场后再打在*轴的感光板上，则 M 在电场中运动的的时间0Ltv1 分 沿电场方向的位移 22011()2242EqLLLyatmv2 分 假设成立，运动轨迹如下图。-沿电场方向的速度2yqELvatm 速度的偏向角01tan2yvv 设射出电场后沿*轴方向的位移*1，有124tan2LLLx M击中感光板的横坐标
18、122LxLxL，位置坐标为2L，0 1 分 3N做圆周半径与圆形磁场区域的半径一样，分析可得N将从b点进入磁场，从原点O 离开磁场进入磁场，然后从d点离开磁场，沿水平方向进入电场。轨迹如图。在磁场中，由几何关系334cos22LL 则=300，圆弧对应的圆心角=1800300=1500 粒子在磁场中运动的周期0222LmLTvqE 粒子在磁场中运动的时间105360122mLtTqE 由对称关系得粒子在磁场、中运动时间相等；故粒子在磁场中运动的时间15262mLttqE 7解析：1粒子在正交的电磁场做直线运动，有02Eqqv B 解得02EvB 粒子在磁场B1中匀速圆周运动，有2001vqv
19、 BmR 解得0112mvmERqBqB B 由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径一样，即12mERqB B 2撤去磁场B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有 水平方向匀加速212EqRtm 竖直方向匀速0221222EmRmEyv tBEqqBB B-从y轴出电场的坐标为0211212()mEyyRv tqBBB B 3证明：设从O点入射的任一粒子进入B1磁场时，速度方向与*轴成角，粒子出B1磁场与半圆磁场边界交于Q点，如下图，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与OO1平行。所以从Q点出磁场速度与O2Q垂直，即与*轴垂直，所以垂直进入MN
20、边界。进入正交电磁场E、B2中都有02Eqqv B故做直线运动。8解析：1由沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子M在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m。粒子M在磁场中匀速圆周运动有：2vqvBmR 解得61 10/qBRvm sm 2由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N在磁场中转过 120角后从P点垂直电场线进入电场，运动轨迹如下图。在电场中运动的加速度大小1221.5 10/Eqam sm 穿出电场的竖直速度57.5 10/yLvatam sv 速度的偏转角tan0.75yvv 在磁场中从P点穿出时距O点的竖直距离11.50.75yrm 在电
21、场中运动沿电场方向的距离22211()0.187522Eq Lyatmmv 射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上3()tan0.75yxrLm 最好到达荧光屏上的竖直坐标123()0.1875yyyym 故发光点的位置坐标2m，0.1875m 9解析：粒子在磁场中匀速圆周运动，有2vqvBmR 解得0.1mvRmqB 当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即R=0.1m；且圆形磁场的圆心在 y 轴上O点正上方，如下图的O1点。1初速度沿y轴正方向的粒子直接从原点穿过 y
22、 轴；初速度与*轴正方向成 300的粒子，在磁场中转过 1500后沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为O2，则-OO2B=1500；设此粒子从 y 轴上的 A 点穿过 y 轴，由几何关系知OAO2=300，则有02 cos303OARR。粒子从 y 轴穿过的围为0 3R。2初速度沿 y 轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如下图，打在光屏上的 P点，有PyR；初速度与*轴正方向成 300入射的粒子，在磁场中转过 1500后沿水平方向射出，如下图，打在光屏上的 Q 点，有03s602QyRR inRR；荧光屏上光斑的长度33220QPlyyRm 3粒子在磁场中运动的周期8210mTsqB 打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间815111012466tTTTs 打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间8211024Rtsv 打到最高点和最低点的粒子运动的时差间89121()107.7 1064tttss 4所加磁场的最小围如下图，其中从B到C的边界无磁场分布。