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1、类型一:勾股定理的直接用法 1、在RtABC中,C=90 (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在ABC中,C=90,a=6,c=10,b= (2) 在ABC中,C=90,a=40,b=9,c= (3) 在ABC中,C=90,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】ACD=90 AD=13, CD=12 AC2 =AD2CD2 =1
2、32122 =25 AC=5 又ABC=90且BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的长是4.类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长. 解析:作于D,则因, (的两个锐角互余) (在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中, . . 举一反三【变式1】如图,已知:,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股
3、定理有 . 又 (已知), . 在中,根据勾股定理有 , . 【变式2】已知:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 A=60,B=90,E=30。 AE=2AB=8,CE=2CD=4, BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=。 S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三
4、:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60方向走了到达B点,然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 解析:(1)过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已知可得:BC=500m,AB= 由勾股定理可得: 所以 (2)在RtABC中, BC=500m,AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向 举一反三 【变式】一
5、辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD, 与地面交于H 解:OC1米 (大门宽度一半), OD0.8米 (卡车宽度一半) 在RtOCD中,由勾股定理得: CD.米, C.(米).(米) 因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门 (二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四
6、个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线 思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论 解析:设正方形的边长为1,则图(1)、图(2)中的总线路长分别为 AB+BC+CD3,AB+BC+CD3 图(3)中,在RtABC中 同理 图(3)中的路线长为 图(4)中,延长EF交BC于H,则FHBC,BHCH 由FBH 及勾股定理得: EAEDFBFC EF12FH1 此图中总线路的长为4EA+EF 32.8282.732 图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最
7、省电线 举一反三 【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高为4cm,是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程 解: 如图,在Rt中,底面周长的一半cm, 根据勾股定理得 (提问:勾股定理) AC (cm)(勾股定理) 答:最短路程约为cm类型四:利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角ACB,使AB为斜边; (2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为; (3)
8、顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、的长度就是 、。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把看作是直角三角形的斜边, 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。 作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作ACOA且截取AC=1,以OC为半径, 以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。类型五:逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题:猫有四只脚(正确) 2原命题:对顶角相等(正确) 3原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等(正确) 4原命题:角平分线上的点,到这个角的
9、两边距离相等(正确) 思路点拨:掌握原命题与逆命题的关系。 解析:1. 逆命题:有四只脚的是猫(不正确) 2. 逆命题:相等的角是对顶角(不正确) 3. 逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上(正确) 4. 逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上(正确) 总结升华:本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ABC的形状。 思路点拨:要判断ABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。 解析:由a
10、2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 : a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3,b=4,c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理,得ABC是直角三角形。 总结升华:勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式1】四边形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 【答案】:连结AC B=90,AB=3,BC=4 AC2=AB2+BC2=2
11、5(勾股定理) AC=5 AC2+CD2=169,AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90(勾股定理逆定理) 【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形. 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可 证明: 所以ABC是直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答:DEEF。 证明:设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2; DE2
12、=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF(如图) DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。经典例题精析类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。 思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。 解析:设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得: (3x)2+(4x)2202 化简得x216; 直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华:直角三角形边的有关计算中,
13、常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。 【答案】如图,等边ABC,作ADBC于D 则:BDBC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) ABACBC2(等边三角形各边都相等) BD1 在直角三角形ABD中,AB2AD2+BD2,即:AD2AB2BD2413 AD SABCBCAD 注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a,则其面积为a。 【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得: 由(1)得:x+y7, (x+y)249,x2+2
14、xy+y249 (3) (3)(2),得:xy12 直角三角形的面积是xy126(cm2) 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。 思路点拨:首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解:此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得: (n+1)2+(n+2)2(n+3)2 化简得:n24 n2,但当n2时,n+110,n2 总结升华:注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。 【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A、8,15,17 B
15、、4,5,6 C、5,8,10 D、8,39,40 解析:此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断, 对数据较大的可以用c2a2+b2的变形:b2c2a2(ca)(c+a)来判断。 例如:对于选择D, 82(40+39)(4039), 以8,39,40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】:A 【变式5】四边形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 解:连结AC B=90,AB=3,BC=4 AC2=AB2+BC2=25(勾股定理) AC=5 AC2+CD2=169,AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90(勾
16、股定理逆定理) S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36类型二:勾股定理的应用 2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且QPN30,点A处有一所中学,AP160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 思路点拨:(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间,实质是要
17、求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。 解析:作ABMN,垂足为B。 在 RtABP中,ABP90,APB30, AP160, ABAP80。 (在直角三角形中,30所对的直角边等于斜边的一半) 点 A到直线MN的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。 如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC100(m), 由勾股定理得: BC21002-8023600, BC60。 同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD100(m),BD60(m), CD120(m)。 拖拉机行驶的速
18、度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答:拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。 解析:他们原来走的路为3+47(m) 设走“捷径”的路长为xm,则 故少走的路长为752(m) 又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4 【变
19、式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。 (1)直接写出单位正三角形的高与面积。 (2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少? (3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。 【答案】(1)单位正三角形的高为,面积是。 (2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积。 (3)过A作AKBC于点K(如图所示),则在RtACK中, ,故类型三:数学思想方法(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直
20、角三角形问题来解决 3、如图所示,ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DEDF,若BE=12,CF=5求线段EF的长。 思路点拨:现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD 解:连接AD 因为BAC=90,AB=AC 又因为AD为ABC的中线, 所以AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90 所以EDA=CDF 所以AEDCFD(ASA) 所以AE=FC=5 同理:AF=BE=12 在R
21、tAEF中,根据勾股定理得: ,所以EF=13。 总结升华:此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题,我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 (二)方程的思想方法 4、如图所示,已知ABC中,C=90,A=60,求、的值。 思路点拨:由,再找出、的关系即可求出和的值。 解:在RtABC中,A=60,B=90-A=30, 则,由勾股定理,得。 因为,所以, ,。 总结升华:在直角三角形中,30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三:【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。 解:因为ADE与AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形,所以B=C=90, 在RtABF中, AF=AD=BC=10cm,AB=8cm, 所以。 所以。 设,则。 在RtECF中,即,解得。 即EF的长为5cm。