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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义 画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，量AB的长；一个直角边为5和12的直角ABC，量AB的长发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边a
2、、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2c2）1如图，直角ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系： ；若D为斜边中点，则斜边中线 ；若B=30，则B的对边和斜边： ；（给出证明）三边之间的关系： 。知识点二：验证勾股定理 知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。 求证：a2b2=c2。证明：例2。已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。求证：a2b2=c2。证明：知识点四：勾股定理简单应用 在RtABC中，C=90(1) 已知：a=6, b=8，求c(2) 已知：b=5，c=13，求a知
3、识点五：勾股定理逆定理如果三角形的三边长为，满足，那么，这个三角形是直角三角形利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 先找出最大边（如c） 计算与，并验证是否相等。 若=，则ABC是直角三角形。若，则ABC不是直角三角形。1.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt的是（） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24 C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为,则这个三角形是( )A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形3.已知 ,则由此为三边的三角形是 三角形.知识点六：勾股数（1）满足的三个正整
4、数，称为勾股数（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数（3）常见的勾股数有：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25； 11、60、61；9、40、411.设、是直角三角形的三边,则、不可能的是（ ）.A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,151. 若线段a，b，c组成Rt，则它们的比可以是（）A.234 B.346 C.51213D.467知识点七：确定最短路线1. 一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,AB有一只甲虫从A出发，沿表面爬到，最近距离是多少？2.如图,一圆柱
5、高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是 .AB知识点八：逆定理判断垂直1在ABC中，已知AB2BC2CA2，则ABC的形状是( )A锐角三角形；B直角三角形；C钝角三角形；D无法确定2如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是( )A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上答案都不对知识点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个
6、水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:7,8,9;12,9,15;m2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n均为正整数,mn);,.其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A.; B.; C.;
7、 D.2已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25B.14 C.7D.7或253.三角形的三边长为,则这个三角形是( )A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.4.ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c2，则( )A.a边的对角是直角 B.b边的对角是直角C.c边的对角是直角 D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）6、7、8，8、15、17，7、24、25，12、35、37，9、40、41A、1个 B、2个 C、3个 D、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 (
8、 ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.如图，=90，=5，=8，=11，则的长为 （ ）A、10 B、11 C、12 D、139.如图、山坡的高=5，水平距离=12，若在山坡上每隔0.65栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A、19棵 B、20棵 C、21棵 D、22棵10.RtABC中，=90，、所对的边分别是、，若=2，则+的值是 （ ）A、6 B、8 C、10 D、411.下列各组数据中，不
9、能构成直角三角形的一组数是（）、9，12，15 B、，1， C、0.2，0.3，0.4 D、40，41，912.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在RtABC中，C=90，若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SRtABC=_2.现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 3.勾股定理的作用是在直角三角
10、形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 4.如图中字母所代表的正方形的面积：= = 5.在ABC中，C90，若 a5，b12，则 c 6.ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，SABC = 。7.在RtABC中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是 。8.在ABC中，AC=17 cm，BC= 10 cm，AB=9 cm，这是一个_三角形（按角分）。9.已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 。三、简答题1.判断正误，并指出为什么？（1）ABC的两边为3和4，求第三边 解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c
11、为5。（2）若已知ABC为直角三角形，则第三边为52.在ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(mn)。 求证：ABC是直角三角形。3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积(画图求解)4.已知一艘轮船以16的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？(画图求解)5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？6.如图，在四边形ABCD中，BAD =，DBC =，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD； 家庭作业：一、基础达标:1
12、. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是ABC的三边，则a2b2c2； B.若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2；C.若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2；D.若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c22. ABC的三条边长分别是、，则下列各式成立的是（）A B. C. D. 3直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A121 B120 C90 D不能确定4斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是 ACB5假如有一个三角形是直角三角形，那么三边、之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边、满足，那么这个
13、三角形是 三角形，其中边是 边，边所对的角是 6一个三角形三边之比是，则按角分类它是 三角形7如图，已知中，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 8 一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是 二、综合发展:1如图，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长2.一个三角形三条边的长分别为，这个三角形最长边上的高是多少？3m4m20m3如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. 4如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的
14、叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？勾股定理综合二1如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于 ACDBE1题2已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（ ）cm2ABEFDC第2题 3已知：将正长方形纸片ABCD折叠两次，第一次折痕为AC，第二次折痕为AE，且点D落在F处.若长方形长为4，宽为3，求DE.4已知：如图，ABC中，C90，AD是角平分线，CD15，BD25求AC的
15、长分类讨论思想1 在RtABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 2在RtABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 3等腰三角形的两边长为10和12，则周长为_，底边上的高是_，面积是_。4.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10确定三角形形状1已知a、b、c是ABC的三边，且a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状2. 在ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，则ABC是否为直角三角形？为什么？3.若ABC的三边a、b、c满足a2
16、+b2+c2+338=10a+24b+26c，则ABC为 三角形（填锐角、直角或钝角）4.已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当n是多少时，三角形是一个直角三角形？最短距离问题ABCDL1.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？2. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所
17、走的最短路程是多少？ 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 4.如图，在直角ABC中，AB=4，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）5.如图，在正方形ABCD的边AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形ABCD的边长为1，那么第个正方形的面积为 综合练习三一、选择题1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（A）30
18、 （B）28 （C）56 （D）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm（D）12 cm3. 已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A） 钝角三角形 （B）
19、锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.58. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.9.ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知C=90，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）.（A）50元 （B）600元 （C）1200元 （D）1500元10.如图EABCD，ABCD于B，ABD和BCE都是等腰直角三角形
20、，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.（A）12 （B）7 （C）5 （D）13 （第10题） （第11题） （第14题）二、填空题11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米.12. 在直角三角形中，斜边=2，则=_.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在ABC中，C=90，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是_. （第15题） （第16题） （第17题）15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至
21、少要飞_米.16. 如图，ABC中，C=90，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于_.17. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是_.ABCD第18题图7cm18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2.三、解答题19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同
22、时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCDL第21题图22. 如图所示的一块地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？-