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1、 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度下学期学年度下学期 东北育才超常教育实验部东北育才超常教育实验部 少儿少儿 35 班班 数学学科数学学科 阶段检测二阶段检测二 考试时间：考试时间：120 分钟分钟 试卷满分：试卷满分：150分分 一一.选择题（共选择题（共 8 小题）小题）1.函数()4lnf xxm xx=+在1,3上单调递增，则实数m的取值范围为（）A.5,3+B.5,3+C.()3,+D.)3,+2.在等差数列 na中，若25192228aaaa+=，则12a=（）A.45 B.6 C.7 D.8 3.点P是曲线exyx=+上的点，Q是直线2yx=上
2、的点，则|PQ的最小值为（）A.55 B.2 55 C.5 D.2 5 4.已知定义在R上的函数()f x满足：对任意()(),0 xR f xfx的解集为（）A.()4,+B.()1,4 C.(),3 D.(),4 5.乒乓球，被称为中国“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为()01pp，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为()fp，则下列说法中正确的是（）A.打满三局结束比赛的概率为()()2211pppp+B.()fp的常数项为 4 C
3、.函数()fp在10,3上单调递增 D.122f=6.已知函数()e2e0 xf xaxb=+对任意 xR成立，则ba的最小值为（）的 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A.14 B.12 C.1 D.2 7.已知数列 na满足，11a=，1(22)nnnana+=+，则100234100aaaaa=+（）A.50101 B.51101 C.5099 D.5199 8.已知函数()exf xx=+，()lng xxx=+，若()()12f xg xt=，则2122xxt+的最大值为（）A.94 B.2 C.2e 12 D.23e1e 二二.多选题（共多选题（共 3 小题）小题）9.设
4、数列 na的前n项和为nS，111nnSSnn+=+，132S=，则下列说法正确的是（）A.*234,Nnann=+B.24264,SSSSS成等差数列，公差为8 C.nS取得最大值时16n=D.0nS 时，n的最大值为 33 10.已知函数()22e,1e,1xxxxf xxx C.2x=是()f x的极大值点 D.a的取值范围是222 ee,e82+11.已知具有相关关系两个变量 x，y 的一组观测数据()11,xy，()22,xy，.，(),nnxy，由此得到的线性回归方程为ybxa=+，则下列说法中正确的是（）A.回归直线ybxa=+至少经过点()11,xy，()22,xy，.，(),
5、nnxy中的一个点 B.若11niixxn=，11niiyyn=，则回归直线ybxa=+一定经过点(),x y C.若点()11,xy，()22,xy，.，(),nnxy都落在直线20 xy+=上，则变量 x，y的样本相关系数的 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 1r=D.若22020y=，22023y=，则相应于样本点()22,xy的残差为3 三三.填空题（共填空题（共 3 小题）小题）12.一个盒子中有大小相同的 4 个红球 3个白球，若从中任取 3个小球，则在“抽取的 3 个球中至少有一红球”的前提下“抽取的 3个球全是红球”的概率是_；若用X表示抽取的三个球中白球的个数，则(
6、)E X=_.13.已知函数()2ln1f xx=，()()()()g xa xm=，若存在实数0a 使()()yf xg x=在)e,e上有 2个零点，则m的取值范围为_ 14.已知()12lnf xaxxx=+，()f x有极大值()1f x和极小值()2f x，则a的取值范围是_，()()12f xf x+=_.四四.解答题（共解答题（共 5 小题）小题）15.已知各项均为正数的数列na满足2218nnaan+=，且11a=.（1）写出2a，3a，并求na的通项公式；（2）记14,2,nnana nbn+=为奇数为偶数求1 23 45 615 16bbb bb bb b+.16.已知函数
7、()2 lnaf xxa xx=有两个极值点12,x x.（1）求实数a取值范围；（2）若()()122ef xf x+，求实数a的取值范围.17.一个袋子中有 10 个大小相同的球，其中有 4个白球，6个黄球，从中依次随机地摸出 4 个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中黄球的个数分别为,X Y.（1）求()(),E XE Y；（2）现采用不放回摸球，设()1,2,3,4kAk=表示“第k次取出的是黄球”，证明：()()()()123123P A A AP A P AP A，求正整数 m 的取值范围.19.若函数()f x在,a b上有定义，且对于任意不同12,x xa b，
8、都有()()1212f xf xxx，则称()f x为,a b上的“类函数”.（1）若()22xf xx=+，判断()f x是否为1,2上的“2 类函数”；（2）若()()21 eln2xxf xa xxx=，为1,2上的“2 类函数”，求实数 a 的取值范围.的的 第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度下学期学年度下学期 东北育才超常教育实验部东北育才超常教育实验部 少儿少儿 35 班班 数学学科数学学科 阶段检测二阶段检测二 考试时间：考试时间：120 分钟分钟 试卷满分：试卷满分：150分分 一一.选择题（共选择题（共 8 小题）小题）1.函数()4lnf
9、 xxm xx=+在1,3上单调递增，则实数m的取值范围为（）A.5,3+B.5,3+C.()3,+D.)3,+【答案】D【解析】【分析】由题意可得()2410mfxxx=+在1,3上恒成立，利用参变分离法将其转化为4mxx，只需求出4()g xxx=在1,3上的最大值即得.【详解】依题意，()2410mfxxx=+在1,3上恒成立，即4mxx在1,3上恒成立，不妨设4()g xxx=，1,3x，因24()10g xx=在1,3上恒成立，故4()g xxx=在1,3上单调递减，则max()(1)3g xg=，故3m.故选：D.2.在等差数列 na中，若25192228aaaa+=，则12a=（
10、）A.45 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质求解.【详解】因为()()25192222251912428aaaaaaaaa+=+=，所以127a=.故选：C.第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 3.点P是曲线exyx=+上的点，Q是直线2yx=上的点，则|PQ的最小值为（）A.55 B.2 55 C.5 D.2 5【答案】A【解析】【分析】设与直线2yx=平行的直线2yxc=+与曲线exyx=+相切于点()00,Pxy，则两平行线间的距离最小，求出最小值即可.【详解】设与直线2yx=平行的直线2yxc=+与曲线exyx=+相切于点()00,Pxy，则
11、两平行线间的距离即为|PQ的最小值，因为()e1xfx=+，所以()00e12xfx=+=，解得00 x=，所以()00e01f=+=，()0,1P即12 0c=+，所以曲线的切线为21yx=+，由平行线间的距离公式可得|PQ的最小值为1 0554 1+=+故选：A 4.已知定义在R上的函数()f x满足：对任意()(),0 xR f xfx的解集为（）A.()4,+B.()1,4 C.(),3 D.(),4【答案】D【解析】【分析】构造函数()()xf xg xe=，并利用导数判断()g x的单调性；把要解不等式变形为()()123123xxf xfxee+，根据()g x的单调性即可解出不
12、等式.第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【详解】设()()xf xg xe=，则()()()xfxf xgxe=，因为对任意()(),0 xR f xfx在R上恒成立，所以()g x在R上单调递增，又4123()()xe fe fxx+等价于()()123123xxf xfxee+，即()(2)13g xgx+，因为()g x在R上单调递增，所以123,xx+解得4x，所以原不等式的解集是(,4).故选：D.5.乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛
13、结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为()01pp，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为()fp，则下列说法中正确的是（）A.打满三局结束比赛的概率为()()2211pppp+B.()fp的常数项为 4 C.函数()fp在10,3上单调递增 D.122f=【答案】C【解析】【分析】设实际比赛局数为X，先计算出X可能取值的概率，即可判断 A 选项；进而求出期望值()fp，即可判断 BCD选项.【详解】设实际比赛局数为X，则X的可能取值为2,3，所以()()2221P Xpp=+，()()()()123C1121P Xpppppp=+=，因此三局结束比赛的概率为()21pp，则 A 不正确；故()
14、()()22213 21fppppp=+2215222222ppp=+=+，第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 由()02f=知常数项为 2，故 B不正确；由1522f=，故 D 不正确；由二次函数的性质可得函数()fp在10,2上单调递增，而110,0,32，所以函数()fp在10,3上单调递增，C正确.故选：C.6.已知函数()e2e0 xf xaxb=+对任意 xR成立，则ba的最小值为（）A.14 B.12 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由导数探讨恒成立的不等式并建立,a b的不等式，再构造函数，利用导数求出最小值即得.【详解】函数()e2exf xaxb=+，求导
15、得()e2xfxa=，依题意，0a，当a，函数()f x单调递增，当0 x 时，()2e1f xaxb +，而函数2e1yaxb=+在(,0)上单调递增，函数值集合为(,e1)b +，因此存在0Rx，当0 xx时，()0f x，当ln(2)xa时，()0fx时，()0fx，则函数()f x在(,ln(2)a上单调递减，在(ln(2),)a+上单调递增，即有min()(ln(2)22 ln(2)ef xfaaaab=+，于是22 ln(2)e0aaab+，则e2ln(2)2baaa+，令e()2ln(2)2,0g aaaa=+，求导得222e2e()ag aaaa=，当0e2a时，()0g a时
16、，()0g a，即函数()g a在e(0,)2上递减，在e(,)2+上递增，因此mine()()22g ag=，所以ba的最小值为 2.第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 故选：D【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.7.已知数列 na满足，11a=，1(22)nnnana+=+，则100234100aaaaa=+（）A.50101 B.51101 C.5099 D.5199【答案】C【解析】【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项na，利用错位相减法求出na的前 100项和得解.【详解】由1(22)nnnana+=+，得112nna
17、nan+=，所以121nnanan=，12122nnanan=，23223nnanan=，21221aa=（2n，*Nn），累乘可得1121nnana=，又11a=，得12nnan=.设0123991231001 22 23 24 2100 2Saaaa=+=+，则123410021 22 23 24 2100 2S=+，-得239910012222100 2S=+，10010010012210099 2112S=，10099 21S=+，99100100234100100 25099 299aaaaa=+.故选：C.8.已知函数()exf xx=+，()lng xxx=+，若()()12f
18、xg xt=，则2122xxt+的最大值为（）A.94 B.2 C.2e 12 D.23e1e【答案】A【解析】第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】由已知可得出()()lng xfx=，分析函数()f x的单调性，可得出12lnxx=，即可得出221222xxttt+=+，结合二次函数的基本性质可求得2122xxt+的最大值.【详解】因为函数exy=、yx=均为R上的增函数，所以，函数()exf xx=+为R上的增函数，()()lnlnelnlnxg xxxxfx=+=+=，因为()()()122lnf xg xfxt=，其中tR，所以，12lnxx=，故22221222199
19、2ln22244xxtxxtttt+=+=+=+，当且仅当12t=时等号成立，故2122xxt+的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12lnxx=，将所求代数式转化为以t为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二二.多选题（共多选题（共 3 小题）小题）9.设数列 na的前n项和为nS，111nnSSnn+=+，132S=，则下列说法正确的是（）A.*234,Nnann=+B.24264,SSSSS成等差数列，公差为8 C.nS取得最大值时16n=D.0nS 时，n的最大值为 33【答案】ABD【解析】【分析】由题意首先求出(
20、)33nSnn=，由此即可判断 BCD；然后再求出()*342,Nnan n=，由此即可判断 A.【详解】由题意111nnSSnn+=+，132S=，则数列nSn是以1321S=为首项，1d=为公差的等差数列，所以()32133nSnnn=，即()33nSnn=，而开口向下的二次函数()23333yxxxx=+的对称轴为332x=，第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以当16n=或17n=时，nS取得最大值，故 C错误；对于 A，由()33nSnn=，得1132aS=，()()()*11 34,2,NnSnnnn=，所以()()()()*1331 34342,2,NnnnaSSnn
21、nnn nn=，而1342 132a=，所以()*342,Nnan n=，故 A正确；对于 B，由()33nSnn=，得262S=，421166254SS=，64162 11646SS=，所以2S，42SS，64SS成等差数列，公差为8，故 B正确，对于 D，由()330nSnn=得033n，故 D 正确；故选：ABD.10.已知函数()22e,1e,1xxxxf xxx C.2x=是()f x的极大值点 D.a的取值范围是222 ee,e82+【答案】BCD【解析】【分析】求出函数导数，利用导数求出函数的单调性，画出函数图象，数形结合即可判断每个选项.【详解】解：当1x，()f x单调递增，
22、当(2,0)x 时，()0fx，()f x单调递减，且24(2),(0)0eff=；当1x时，2e()xf xx=，则3e(2)()xxfxx=，当(1,2)x时，()0fx，()f x单调递增，且2e(1)e,(2)4ff=，且()0f x 恒成立，画出函数图象如下：第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 对 A：由函数图象可得 0是函数()f x的零点，故 A错误；对 B：由图可得212e()(0,e),(),e4f xf x，故1(0,1)x，2(1,3)x，使12()()f xf x，故 B正确；对 C：由图可得2x=是()f x的极大值点，故 C正确；对 D：方程2()2()0
23、()f xaf xaR=等价于()0f x=或()2f xa=，由图可得()0f x=有 1个实数根0 x=，所以方程2()2()0()f xaf xaR=有两个不等实根等价于()2f xa=有 1 个非零实根，则由图可得224e2e4a，解得222ee,82ea+，故 D正确.故选：BCD.11.已知具有相关关系的两个变量 x，y的一组观测数据()11,xy，()22,xy，.，(),nnxy，由此得到的线性回归方程为ybxa=+，则下列说法中正确的是（）A.回归直线ybxa=+至少经过点()11,xy，()22,xy，.，(),nnxy中的一个点 B.若11niixxn=，11niiyyn
24、=，则回归直线ybxa=+一定经过点(),x y C.若点()11,xy，()22,xy，.，(),nnxy都落在直线20 xy+=上，则变量 x，y的样本相关系数1r=D.若22020y=，22023y=，则相应于样本点()22,xy的残差为3【答案】BCD【解析】第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】选项 A、选项 B可由回归直线必经过样本中心点，不一定经过样本点来判断；选项 C，可通过已知方程，得到斜率，去判断相关系数；选项 D，样本点的残差等于该点的实际值减去模拟出的预测值，即可做出判断.【详解】线性回归方程为ybxa=+不一定经过()11,xy，()22,xy，(),n
25、nxy中的任何一个点，但一定会经过样本中心点(),x y，故 A错误，B 正确；选项 C，直线20 xy+=的斜率1k=，且所有样本点都落在直线20 xy+=上，所以这组样本数据完全负相关，且相关系数达到最小值1，即样本相关系数1r=，故 C 正确；选项 D，样本点()22,xy的残差为22202020233yy=，故 D正确.故选：BCD.三三.填空题（共填空题（共 3 小题）小题）12.一个盒子中有大小相同的 4 个红球 3个白球，若从中任取 3个小球，则在“抽取的 3 个球中至少有一红球”的前提下“抽取的 3个球全是红球”的概率是_；若用X表示抽取的三个球中白球的个数，则()E X=_.
26、【答案】.217 .97#217【解析】【分析】由条件概率求解；求出X所有可能的取值及其对应的概率，再由期望公式即可求出()E X.【详解】由题意知：X所有可能的取值为 0，1，2，3，所以()3437C40C35P X=；()214337C C181C35P X=；()124337C C122C35P X=；()3337C13C35P X=；所以X的概率分布为：X 0 1 2 3 P 435 1835 1235 135 则数学期望()41812190123353535357E X=+=记“抽取的 3 个球全是红球”为事件A，“至少有一红球”为事件B，第10页/共20页 学科网（北京）股份有限
27、公司 所以()()3437C40C35P AP X=，()()341335P BP X=，所以()()()4235341735P ABP A BP B=.故答案为：217；97.13.已知函数()2ln1f xx=，()()()()g xa xm=，若存在实数0a 使()()yf xg x=在)e,e上有 2个零点，则m的取值范围为_【答案】e,e2【解析】【分析】由题意可知：原题意等价于()2ln1f xx=与()()g xa xm=在)e,e内有 2个交点，求()yf x=在ex=处的切线方程，结合图象分析求解.【详解】令()()0yf xg x=，可得()()f xg x=，原题意等价于
28、()2ln1f xx=与()()g xa xm=在)e,e内有 2个交点，且0a，()()g xa xm=的横截距为m，因()2fxx=，则()()2e1,eeff=，即切点坐标为()e,1，切线斜率2ke=，则切线方程为()21eeyx=，即21eyx=，即()yf x=在ex=处的切线方程为21eyx=，该切线的横截距为e2，结合图象可知：若()2ln1f xx=与()()g xa xm=在)e,e内有 2个交点，为 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 则ee2m,即2018aa，所以，当1n=时，22218aa=，222189aa=+=，所以23a=.当2n=时，22328
29、2aa=，22321625aa=+=，所以35a=.当2n 时，()()()22222222112211nnnnnaaaaaaaa=+()()81828 1 1nn=+()8 1211n=+()1812n n=+2(21)n=，所以21nan=当1n=时，11a=也符合上式.综上，()*21nann=N 为 第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 解法二：因为2218nnaan+=，11a=，0na，所以，当1n=时，22218aa=，222189aa=+=，所以23a=.当2n=时，22328 2aa=，22321625aa=+=，所以35a=.因为2218nnaan+=，所以222
30、21(21)(21)nnaann+=+，即22221(21)(21)nnanan+=.所以2222211(21)(23)10nnanana=，即22(21)nan=.又0na，所以()*21nann=N【小问 2 详解】解法一：由（1）得21 1421,2,nnnnbn+=为奇数为偶数，即221,2,nnnnbn=为奇数为偶数 记1 23 45 615 16Sbbb bb bb b=+则123781 25 29 225 229 2S=+，2378921 25 221 225 229 2S=+-，得()2712389921 21 24 24 24 229 22429 2128141 2S=+=+
31、=，所以12814S=，故1 23 45 615 1612814bbb bb bb b+=.解法二：由（1）得21 1421,2,nnnnbn+=为奇数为偶数，即221,2,nnnnbn=为奇数为偶数.记1 23 45 615 16Sbbb bb bb b=+，则123456781 25 29 213 217 221 225 229 2S=+22072208544 13443200742412814=+=.故1 23 45 615 1612814bbb bb bb b+=.16.已知函数()2 lnaf xxa xx=有两个极值点12,x x.第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（1
32、）求实数a的取值范围；（2）若()()122ef xf x+，求实数a的取值范围.【答案】（1）(1,)+（2）(1,e)【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由题意可知12,x x是()0fx=即220 xaxa+=的两个正根，由此列出不等式组，即可求得答案；（2）化简()()122ef xf x+可得elnelnaa，判断其单调性，即可求得答案.【小问 1 详解】由()2 ln,0af xxa x xx=可得()222221aaxaxafxxxx+=+=，因为函数()2 lnaf xxa xx=有两个极值点12,x x，故12,x x是()0fx=即220 xaxa+=的两个正根，则 故2
33、1212440200aaxxax xa=+=，即1a，即实数a的取值范围为(1,)+.【小问 2 详解】由（1）可知12122,xxa x xa+=，1a，()()121122122 ln2 lnaaf xf xxa xxa xxx+=12121212()2 ln2 lna xxxxa x xax xa=+，由于()()122ef xf x+，故2e,elne2 lnlnaaaa，设()ln,(1),()ln10g xxx xg xx=+，第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 故()lng xxx=在(1,)+上单调递增，故由elnelnaa可得()(e),1eg aga，即实数a的
34、取值范围为(1,e)17.一个袋子中有 10 个大小相同的球，其中有 4个白球，6个黄球，从中依次随机地摸出 4 个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中黄球的个数分别为,X Y.（1）求()(),E XE Y；（2）现采用不放回摸球，设()1,2,3,4kAk=表示“第k次取出的是黄球”，证明：()()()()123123P A A AP A P AP A；（3）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过 0.2的概率.并比较所求两概率的大小，说明其实际含义.【答案】（1）()125E X=，()125E Y=（2）证明见解析 （3
35、）答案见解析【解析】【分析】（1）利用二项分布和超几何分布即可求解；（2）由题采用不放回摸球，每次取到黄球的概率都为3()5kP A=，3167123410()A CP A A AA=，然后求出结果对比即可得证；（3）由 题 样 本 中 黄 球 的 比 例 分 别 为 随 机 变 量,44X Y，然 后 分 别 求 出 有 放 回 摸 球 时 的 概 率1(0.60.2)(2)(3)4XPPP XP X=+=，不放回摸球时的概率2(0.60.2)(2)(3)4YPPP YP Y=+=，比较大小即可得结论.【小问 1 详解】对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为 0.6，且每次试验之间的结果是独立
36、的，则3312(4,),()4555XBE X=，对于不放回摸球，各次试验之间的结果不独立，所以Y的取值为 0，1，2，3，4，的 第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 则44410C1(0)C210P Y=，3146410CC24(1)C210P Y=，2246410CC90(2)C210P Y=，1346410CC80(3)C210P Y=，46410C15(4)C210P Y=，则12490801512()012342102102102102105E Y=+=；【小问 2 详解】()394106 A3A5kP A=，即采用不放回摸球，每次取到黄球的概率都为()35kP A=，(
37、)()()31233275125P A P AP A=，又()3167123410A C6 5 4 7127A10 9 8 76125P A A A =，则()()()()123123P A A AP A P AP A.【小问 3 详解】样本中黄球的比例分别为随机变量,44X Y，有放回摸球时，概率()()10.60.2234XPPP XP X=+=221323442323216216432CC5555625625625 =+=+=，不放回摸球时，概率()()223164642441010C CC C38170.60.2234CC72121YPPP YP Y=+=+=+=12，求正整数 m 的
38、取值范围.【答案】（1）5 （2）见解析 （3）12m 且*Nm【解析】【分析】（1）由题意建立等比数列，根据等比中项的性质，可得答案；（2）由题意结合等比数列的定义，可得答案；（3）根据求和公式求得数列 nc的通项公式，结合等比数列的定义，可得数列 nd的递推公式，利用辅助数法，可得其通项公式，可得答案.【小问 1 详解】由题意可知122334aaaaaa+，成等比数列.则()()()2231234aaaaaa+=+即()()24(1 3)1 13a+=+，41662a=+，解得45a=.【小问 2 详解】证明：1112(1)2(1)3 2nnnnnnnbb+=+=；11221122(1)2
39、(1)3 2nnnnnnnbb+=+=.11213 223 2nnnnnnbbbb+=+，1123 26bb+=，数列1nnbb+是以 6 为首项，以 2为公比的等比数列故数列具有性质P.【小问 3 详解】设数列 nc的前n项和为nS，则2nSnn=+当1n=时，211112cS=+=；当2n 时，()221(1)12nnncSSnnnnn=+=；经检验，2ncn=.由32123224ddcddc=+=，解得2313dd=，则12232,4dddd+=+=第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 由数列 nd具有性质P，则1nndd+为等比数列，2312422dddd+=+，故数列1nn
40、dd+为以 2 为首项以 2 为公比的等比数列，则112 22nnnndd+=，于是111122 22nnnndd+=+，即11111232 23nnnddn+=,由111236d=.则数列123ndn是以16为首项，以12为公比的等比数列，故11112362nnnd=，则12(1)3nnnd+=.310md，化简可得12(1)3000mm+.若m为偶数，则2log 3001m，即12m；若m为奇数，则2log 2099m，即13m；综上可得，m的取值范围是12m 且*Nm.19.若函数()f x在,a b上有定义，且对于任意不同的12,x xa b，都有()()1212f xf xxx，则称
41、()f x为,a b上的“类函数”.（1）若()22xf xx=+，判断()f x是否为1,2上的“2 类函数”；（2）若()()21 eln2xxf xa xxx=，为1,2上的“2 类函数”，求实数 a 的取值范围.【答案】（1）()22xf xx=+不是1,2上的“2类函数”.（2）221 5ln2,e2e+.【解析】【分析】（1）利用解析式化简()()12f xf x，结合12,1,2x x 放缩即可判断；（2）不 妨 设12xx，根 据 新 定 义 可 得()()()()21122122xxf xf xxx，整 理 后 可 得 第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()()1
42、12222f xxf xx+，根据()2f xx+和()2f xx的单调性可得()22fx，然后参变分离，构造函数()ln3exxxg xx+=，()ln1exxxh xx+=，分别利用导数求()ming x和()maxh x即可得解.【小问 1 详解】对于任意不同的12,1,2x x，设1212xx，则1224xx+，所以()()2212121222xxf xf xxx=+()121212222xxxxxx+=，所以()22xf xx=+不是1,2上的“2 类函数”.【小问 2 详解】因为()eln1xfxaxxx=，由题意知，对于任意不同的12,1,2x x，都有()()12122f xf
43、 xxx，不妨设12xx，则()()()()21122122xxf xf xxx，故()()112222f xxf xx+，故()2f xx+为1,2上的增函数，()2f xx为1,2上的减函数，所以()()220f xxfx+=+，()()220f xxfx=，故对任意1,2x，都有()22fx，即2eln12xaxxx ，所以ln13lneexxxxxxaxx+，令()ln3exxxg xx+=，()()()212lnexxxxgxx+=，令()2lnu xxx=，()u x在1,2单调递减，所以()()130u xu=，()0gx，()2ln20v=，即()0h x，()h x在()01
44、,x上单调递增，当()0,2xx时，()0v x，即()0h x，()h x在()0,2x上单调递减，所以()()000000max000ln12 11eeexxxxxh xh xxxx+=，由002ln xx=+，得000ln20eeexxxx+=，所以()2max1eh x=，又因为2215ln2e2e+，所以2215ln2e2ea+，所以 a 的取值范围为2215ln2,e2e+.【点睛】关键点睛：本题关键在于根据新定义转化为()2f xx+为1,2上的增函数，()2f xx为1,2上的减函数，再由函数单调性与导数的关系得()22fx，然后参变分离，转化为求函数最值问题，最后利用导数求解可得.本题还属于隐零点问题，需充分利用隐零点方程.