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1、动点、动角模型专题一、动点模型【例1】A、B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A、B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动。（1）几秒后，原点O恰好在两点正中间？（2）几秒后，恰好有OA:OB=1：2？【练习1】已知，如图，线段AB=12cm，M是AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿线段BA向左运动，在运动过程中，点C始终在线段AM上，点D始终在线段BM上，点E、F分别是线段AC和MD的中点。（1）当点C、D运动了2s，求EF的长度；（2）若点C、D运动时，总是有MD=3AC，求AM的长。【练习2】如图，数轴上点A、C对应的数分
2、别是a，c，且a，c满足，点B对应的数是-3.（1）求数a，c；（2）点A、B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动时间t秒，在运动过程中，点A、B两点到原点O的距离相等时，求t的值。【例2】如图，若点A在数轴上对应的数为a，若点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足：。（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解，在数轴上是否存在点P，使PA+PB=PC，若存在，直接写出点P对应的数；若不存在，请说明理由。（3）在（1）的条件下，将点B向右平移5个单位长度至，此时在原点O处放一个挡板，一小
3、球甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从处以2个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反方向运动，设运动时间为t（秒），求甲、乙小球到原点的距离相等时经过的时间。【练习1】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。（1）若点P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，它们同时出发，几分钟后P点到
4、点A、B的距离相等？【例3】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由。（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动。当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？【练习1】如图，AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运
5、动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s，P、Q同时出发，设运动时间是t（s）。（1）当点P在MO上运动时，PO=_cm（用含t的代数式）；（2）当点P在MO上运动时，t为何值，能使OP=OQ？（3）若点Q运动到距离O点16cm的点N停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果是，求出t的值；如果不能，请说明理由。【例4】如图，若点A在数轴上对应的数为a，若点B在数轴上对应的数为b，点A在负半轴，且，b是最小的正整数，（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解，在数轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由。
6、（3）如图Q是B点右侧一点，QA中点为M，N为QB的四等分点且靠近Q点，当Q在B的右侧运动时，有两个结论：的值不变；的值不变，其中只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。【练习1】如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，点P从O点出发沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发。（1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm？（3）当点P运动到线段AB上
7、时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值。【练习2】如图，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点。（1）出发多少秒后，PB=2AM？（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM-BP为定值。（3）当P在AB的延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：MN的长度不变；MA+PN的值不变。选择一个正确的结论，并求出其值。【例5】如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x。（1）PA=_，PB=_（用含x的式子表示）；（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。
8、（3）如图，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由。（4）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问：它们同时出发，几分钟时间点P到点A、点B的距离相等？【练习1】已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在D左侧），若，（1）求线段AB、CD的长；（2）M、N分别为线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN；（3）当CD运动到某
9、一时刻时，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，下列两个结论：是定值；是定值，请选择正确的一个并加以证明。【练习2】点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足.（1）求线段AB的长；（2）如图，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的根，在数轴上是否存在点P使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由。（3）如图，若P是B点右侧一点，PA中点为M，N为QB的三等分点且靠近P点，当Q在B的右侧运动时，有两个结论：的值不变；的值不变，其中只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。（选讲）【例6】如图，已知线段AB=180厘米，线段AB上的动点P从端点A开始在两个
10、端点A、B之间一直作往返移动，点P移动规则如下：第一次，点P从A点出发移动m（m0）厘米到达P1，第二次，点P从P1点出发移动2m厘米到达P2，第三次，点P从P2点出发移动3m厘米到达P3（点P在移动过程中到达线段AB端点处立即折返移动）【例】如：当m=30厘米时，P1、P2、P3、P4位置如图所示，其中P3与点B恰好重合，AP1=m=30厘米，P1P2=2m=60厘米，P2P3=3m=90厘米，P3P4=4m=120厘米；当m=20厘米时，P1、P2、P3、P4、P5位置如图所示，其中P4是点P从P3移动到点B后折返到途中的位置（即P3B+BP4=4m=80厘米），而P5恰好与P2重合。仔细
11、阅读上述材料后，解答下列问题：（1）若m=25厘米，请利用图操作实践，则P2P3=_厘米；（2）若m取值在20厘米与29厘米之间，且点P4恰好平分线段P2P3，在图中分析P1、P2、P3、P4的大概位置，并求出m的值。（3）若m的取值小于34厘米，且P2P4=20厘米，则m对应的值是_作业：1.已知线段AB=a，CD=b，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），与互为相反数。（1）求a，b的值；（2）若M，N分别是AC，BD的中点，BC=4，求MN的长；（3）当CD运动到某一时刻，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，问的值是否改变？若不变，求出其值，若改变，请说明理由
12、。2.如图，已知点A，B，C是数轴上三点，点C对应的数为6，BC=4，AB=12。（1）求点A，B对应的数；（2）动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动。M为AP的中点，N在CQ上，且CN=CQ，设运动时间为t（t0）。求点M，N对应的数（用含t的式子表示）t为何值时，OM=2BN。3.如图，数轴上线段AB=2，CD=4，点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16.若线段AB以6个单位/秒的速度向右运动，同时线段CD以2个单位/秒的速度向左运动。（1）问运动多少秒时BC=8？（2）当运动到BC=8时，点B在数轴上表示的数是_；（3）P是线段
13、AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式？若存在，求线段PC的长；若不存在，请说明理由。专题二、动角模型【例1】已知D是直线AB上的一点，COE是直角，OF平分AOE。（1）如图1，若COF=34，则BOE=_；若COF=m，则BOE=_；BOE与COF的数量关系为_（2）在图2中，若COF=75，在BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2BOD与AOF的和等于BOE与BOD的差的三分之一？若存在，请求出BOD的度数；若不存在，请说明理由。（3）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中BOE和COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由。若不成立，求出BOE与COF的数量关
14、系。【练习1】已知：AOB=60，OD、OE分别是BOC和COA的平分线。（1）如图1，OC在AOB内部时，求DOE的度数；（2）如图2，将OC绕O点旋转到OB的左侧时，OD、OE仍是BOC和COA的平分线，求此时DOE的度数；（3）当OC绕O点旋转到OA的下方时，OD、OE分别是BOC和COA的平分线，DOE的度数又是多少？（直接写出结论，不必写出解题过程）【练习2】已知AOB=160，COE=80，OF平分AOE（1）若COF=14，则BOE=_；若COF=n，则BOE=_；BOE与COF的数量关系为_（2）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中BOE和COF的数量关系是否仍
15、然成立？请说明理由。（3）在（2）的条件下，如图3，在BOE的内部是否存在一条射线OD，使得BOD为直角，且DOF=3DOE？若存在，求出COF的度数；若不存在，请说明理由。【练习3】已知：AOD=160，OB、OM、ON是AOD内的射线。（1）如图1，若OM平分AOB，ON平分BOD，当射线OB绕点O在AOD内旋转时，求MON的大小；（2）OC也是AOD内的射线，如图2，若BOC=20，OM平分AOC，ON平分BOD，当射线OB绕点O在AOD内旋转时，求MON的大小；（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒2的速度逆时针旋转t秒，如图3，若AOM：DON=2：3，求t的值。
16、【例2】已知OC是AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30/s、10/s的速度绕点O逆时针旋转。（1）如图，若AOB=140，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值；（2）如图，若OM、ON分别在AOC、COB内部旋转时，总有COM=3BON，求的值。（3）知识迁移，如图，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动，点M、N的速度比是2：1，在运动过程中始终有CM=2BN，求【练习1】已知AOB=100，COD=40，OE平分AOC，OF平分BOD。（1）如图1，当OB、OC重合时，求EOF的度
17、数；（2）当COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n（0n90）时，AOE-BOF的值是否为定值？若是定值，求出AOE-BOF的值；若不是，请说明理由。（3）当COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n（0n180）时，满足AOD+EOF=6COD，则n=_【练习2】已知点O是直线AB上的一点，COE=90，OF是AOE的平分线。（1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时，试试说明BOE=2COF；（2）当点C与点E，F在直线AB的两旁（如图2所示）时，（1）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由；（3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m（0m180），得到射线OD.设AOC=n
18、，若BOD=，则DOE的度数是_（用含n的式子表示）。【例3】如图，两个形状、大小完全相同的含有30，60的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转。（1）直接写出DPC的度数；（2）若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度（如图），若PF平分APD，PE平分CPD，求EPF的度数；（3）如图，在图基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3/s，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针，转速为2/s，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当2CPD=3BPM，求旋转的
19、时间是多少？【练习1】如图，在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM放在射线OB上，另一边ON放在直线AB的下方。（1）将图中的直角三角板绕点O逆时针旋转至图，点D为线段NO延长线上一点，且OD平分AOC。若BOC=11940，求COM的度数；试说明射线OM是BOC的角平分线。（2）将图中的三角板绕点O以每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周，若BOC=2AOC，且在旋转的过程中，第t秒时ON所在的直线恰好平分锐角AOC，求t的值。【练习2】如图，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使AOC：BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边O
20、M在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方。（1）将图中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为_度。（2）继续将图中的三角板绕点O按逆时针至图的位置，使得ON在AOC的内部。试探究AOM与NOC之间满足什么等量关系，并说明理由。（3）在上述直角三角板从图开始绕点O按30每秒的速度逆时针旋转270的过程中，是否存在OM所在直线平分BOC和AOC中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间t；若不存在，说明理由。作业：1.如图，AOD=150，BOC=30，BOC绕点O逆时针在AOD的内部旋转，其中OM平分AOC，ON平分BOD，
21、在BOC从OB与OA重合时开始到OC与OD重合时为止，以每秒2的速度旋转过程中，有下列结论，其中正确的是（）（1）射线OM的旋转速度为每秒2；（2）当AON=90时，时间为15秒；（3）MON的大小为60。A.（1）（2）（3）B.（2）（3）C.（1）（2）D.（3）2.已知AOB=110，COD=40，OE平分AOC，OF平分BOD。（1）如图所示，当OB、OC重合时，求AOE-BOF得值；（2）当COD从图示位置绕点O以每秒3的速度顺时针旋转t秒（0t10），在旋转过程中AOE-BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由。3.如图：（1）已知AO
22、B=90，BOC=30，OM平分AOC，ON平分BOC，求MON的度数；（2）如果（1）中AOB=，其他条件不变，求MON得度数；（3）如果（1）中BOC=（），其他条件不变，求MON的度数；（4）从（1）（2）（3）的结果中你得到什么样的规律？（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）（4），设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律。4.将一副直角三角板按如图摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，OBC=90，BOC=45，MON=90，MNO=30），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒8的速度顺时针方向
23、旋转t秒。（1）如图，当t=_秒时，OM平分AOC，此时NOC-AOM=_；（2）继续旋转三角板MON，如图，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想NOC与AOM有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）（3）直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒2的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时，两个三角板同时停止运动。当t=_时，MOC=15；请直接写出在旋转过程中，NOC与AOM的数量关系（数量关系中不能含t）.5.一副三角板如图放置，点A、O、B在直线MN上，其中BOD=30，AOC=45。（1）如图，OE平分DOC，OF平分BOC，求EOF的度数；（2）如图，若三角板AOC绕点O逆时针旋转（），OF平分BOC，OG平分AOD，求FOG得度数；（3）若三角板AOC绕点O顺时针（），（2）中其他条件不变，请直接写出FOG的度数。 图图图6.已知：O是直线AB上一点，COD是直角，OE平分BOC。（1）如图，若AOC=30，求DOE的度数；（2）在图中，若AOC=，直接写出DOE的度数（用含的代数式表示）；（3）将图中的DOE绕顶点O顺时针旋转至图的位置。探究AOC与DOE的度数之间的关系；在AOC的内部有一条射线OF，满足AOC-4AOF=2BOE+AOF，试确定AOF与DOE的度数之间的关系，并说明理由。